inaoeelectronica.files.wordpress.com · teoría electromagnética murphy

Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————

——————————————————————————————————————————————— —526—

CAPÍTULO 8 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS l Medio más rápido conocido para transmitir

información (energía).

l Presentes en todo el universo en un rango de frecuencias en principio infinito.

l Múltiples aplicaciones: iluminación; calefacción; comunicaciones; medicina; procesamiento de alimentos; astronomía; medición; investigación; ….

l Interactúan fuertemente con la materia: transferencia de energía.


——————————————————————————————————————————————— —527—

Función de onda:

Cualquier f(r,t) que satisfaga:

22

2 21

f ( , t ) f ( , t ) f ( ,t)tv t

∂ ∂∇ = + κ

∂∂r r r

Es una onda válida.

Onda física: perturbación periódica de un medio o variación periódica de una cantidad. v velocidad de propagación κ factor de amortiguamiento

Si éste es cero: 2

22 2

1f ( , t ) f ( , t)

v t∂

∇ =∂

r r


——————————————————————————————————————————————— —528—

Onda armónica: Representación matemática más simple de una onda física:

[ ]f(y,t) A cos k(y vt)= − + ϕ A≡Amplitud de la onda. Valor máximo de ésta. Puede

ser función de las coordenadas espaciales y el tiempo. Unidades: las de la onda; si es una onda de voltaje, A tendrá unidades de Volts, etc.

k≡ Número de onda en una dimensión, y vector de

onda en las tres espaciales Apunta en la dirección de propagación de la onda. Magnitud:

2k

π=

λ (1/m)


——————————————————————————————————————————————— —529—

v≡Velocidad de propagación de la onda.

v fkω

= λ =

ω ≡ Frecuencia angular. Unidades: s-1 (rad/s).

2 f kvω = π = T≡Período de la onda, medido en segundos.

1 2T

f vπ λ

= = =ω

ϕ ≡ Angulo de fase. Indica qué tanto está atrasada

una onda (en posición o tiempo), con respecto a otra. Adimensional.


——————————————————————————————————————————————— —530—

Una onda armónica satisface la ecuación de onda:

[ ]f(y,t) kAsen k(y vt)y∂

= − − + ϕ∂

[ ]2

2 22 f(y,t) k Acos k(y vt) k f(y,t)

y

∂= − − + ϕ = −

∂

[ ]f(y,t) kvAsen k(y vt)t

∂= − + ϕ

∂

[ ]2

2 2 2 22 f(y,t) k v Acos k(y vt) k v f(y,t)

t∂

= − − + ϕ = −∂

( )2 2

2 2 22 2 2 2

1 1f(y,t) k f(y,t) f(y,t) k v f(y,t)

y v t v

∂ ∂ = − = = − ∂ ∂


——————————————————————————————————————————————— —531—

f(y,t) Acos[k(y vt) ] Acos[ky t ]= ± + ϕ = ± ω + ϕ Signo +: La onda viaja a la izquierda

Signo —: La onda viaja a la derecha Ondas complejas: f(y,t) A exp[ j(ky t )]= ± − ω + ϕ =%

[Aexp( j )]exp[ j(ky t)] A exp[ j(ky t)]= ± ϕ ± − ω = ± − ω%

Amplitud compleja: A A exp( j )= ± ϕ% Signo +: La onda viaja en contra de las manecillas del reloj.

Signo —: La onda viaja a favor de las manecillas del reloj


——————————————————————————————————————————————— —532—

Una onda compleja satisface la ecuación de onda:

f(y,t) jkAexp[ j(ky t)] jkf(y,t)y∂

= ± − ω =∂

% %%

2

2 2 22 f(y,t) j k Aexp[ j(ky t)] k f(y,t)

y

∂= ± − ω = −

∂% %%

f(y,t) j Aexp[ j(ky t)] j f(y,t)t

∂= − ω ± − ω = − ω

∂% %%

2

2 2 22 f(y,t) j Aexp[ j(ky t)] f(y,t)

t∂

= ω ± − ω = −ω∂

% %%

( ) ( )2 2 2 22 2

1 1k f(y,t) f(y,t) k v f(y,t)

v v − = −ω = −

% % %


——————————————————————————————————————————————— —533—

Onda física ⇒ parte real de la onda compleja:

( )[ ]{ }f(y,t) f(y,t) Aexp j ky t= ℜ = ℜ ± − ω % %

( )[ ]f ( ,t) A exp j t= ± • − ωr k r% % k ⇒ vector de onda; indica la dirección de propagación de la onda.

x y zˆ ˆ ˆk k k= + +k i j k

( ) ( )x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆk k k x y z k x k y k z• = + + • + + = + +k r i j k i j k

( )[ ]f ( ,t) Aexp j t dk

+∞

−∞

= • − ω∫r k r% %


——————————————————————————————————————————————— —534—

Clasificación de ondas: Longitudinales: la perturbación es en la misma dirección (paralela o antiparalela) que la de propagación.

ondas sonoras

Transversales: la perturbación es en dirección perpendicular a la dirección de propagación.

ondas en una cuerda, movimiento de un corcho en el agua al pasar una ola.

Las ondas electromagnéticas son esféricas; la perturbación se extiende en dirección radial desde el punto en donde se origina. Matemáticamente es más fácil tratarlas como ondas planas.


——————————————————————————————————————————————— —535—

onda plana

onda esférica

kpropagación


——————————————————————————————————————————————— —536—

Polarización en una onda transversal: Dirección de la perturbación ⇒ polarización. En una OEM: TE: Transversal eléctrica. Polarización indicada por

la variación del campo eléctrico. Forma más común.

TM: Transversal magnética. Polarización indicada por

la variación del campo magnético. Polarización: Elíptica (derecha; izquierda) Circular (derecha; izquierda) Lineal (vertical; horizontal)


——————————————————————————————————————————————— —537—

z

y

x

Eoz

Eoy

OEM saliendo del plano de la pantalla


——————————————————————————————————————————————— —538—

y oyE E cos( )= ψ z ozE E cos( )= ψ + ϕ

xE 0=

kx tψ = − ω Magnitud del campo eléctrico:

2 2y zE E E= +

La gráfica de E vs. ψ describe una curva en el espacio;

elipse, círculo o línea recta


——————————————————————————————————————————————— —539—

a) Eoy ≠ Eoz; ϕ ≠ mπ (m= 0, ±1, ±2, …) E traza una elipse circunscrita en un rectángulo de lados 2Eoy y 2Eoz Polarización derecha: el vector gira en dirección de

las manecillas del reloj Polarización izquierda: gira en sentido contrario. b) Eoy = Eoz; ϕ = (m+1/2)π (m= 0, ±1, ±2, …) E traza un círculo, girando con o en contra de las manecillas del reloj. c) ϕ = mπ (m= 0, ±1, ±2, …) sin importar las

magnitudes de Eoy y Eoz E traza una línea recta, vertical o horizontal.


——————————————————————————————————————————————— —540—

Polarización lineal: ( )m ozz

y oy

EE1

E E

= −

%%

Polarización circular derecha: z

y

Ej

E= −

%%

Polarización circular izquierda: z

y

Ej

E= +

%%

Polarización elíptica derecha: z

y

E(Real) - (Imag)

E=

%%

Polarización elíptica izquierda: z

y

E(Real) + (Imag)

E=

%%


——————————————————————————————————————————————— —541—

Ondas electromagnéticas en el espacio libre:

Ecuaciones de Maxwell:

0∇ • =E 0∇ • =B

t

∂∇ × = −

∂E B o o t

∂∇ × = µ ε

∂E

B

Para desacoplarlas:

( ) ( ) 2

t∂ ∇ × ∇× = ∇ ∇ • − ∇ = ∇ × − ∂

E E E B

( ) ( )2

t t∂ ∂ ∇ × ∇× = −∇ = ∇ × − = − ∇ × ∂ ∂

E E B B

2

2o o o o 2t t t

∂ ∂ ∂ ∇ = µ ε = µ ε ∂ ∂ ∂E E E


——————————————————————————————————————————————— —542—

Para el campo magnético:

( ) ( ) 2o o t

∂ ∇ × ∇× = ∇ ∇ • − ∇ = ∇ × µ ε ∂ B B B E

( ) ( )2o o o ot t

∂ ∂ ∇ × ∇× = −∇ = ∇ × µ ε = µ ε ∇× ∂ ∂ B B E E

2

2o o o o 2t t t

∂ ∂ ∂ ∇ = µ ε = µ ε ∂ ∂ ∂B B B

Satisfacen la ecuación de onda si:

o o21v

= µ ε ⇒ o o

1v =

µ ε

v = 2.998X108 m/s


——————————————————————————————————————————————— —543—

8 10

o o

1c 2.998X10 m/s=2.998X10 cm/s= =

µ ε

Velocidad de propagación de una OEM en un medio LIH, de permitividad ε y permeabilidad µ, sin corriente libre ni carga libre:

m o e o o o m e

1 1 1 1 cv

nk k k k= = = =

µε µ ε µ ε

Índice de refracción del medio:

m en k k≡

n ≥ 1


——————————————————————————————————————————————— —544—

Para ser OEM ⇒ E y B deben satisfacer la ecuación de onda y las Ecuaciones de Maxwell.

( )[ ]o( ,t) exp j t= • − ωE r E k r% %

( )[ ]o( , t ) exp j t= • − ωB r B k r% %

Para onda propagándose a lo largo de eje x:

( )[ ]o(x,t) exp j kx t= − ω =E E% %

( )[ ]ox oy ozˆ ˆ ˆE E E exp j kx t + + − ω i j k% % %


——————————————————————————————————————————————— —545—

Ley de Gauss, 0∇ • =E :

( )[ ]{ }ox(x,t) E exp j kx tx∂

∇ • = − ω +∂

E% %

( )[ ]oy ozE E exp j kx t 0y z∂ ∂ + − ω = ∂ ∂

% %

( )[ ]ox ox oy ozE jkE E E exp j kx t 0x y z∂ ∂ ∂ + + + − ω = ∂ ∂ ∂

% % % %

ox ox oy ozE jkE E E 0x y z∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

% % % %

Se cumple sólo si: oxE% =0 oyE% ≠f(y) ozE% ≠f(z)


——————————————————————————————————————————————— —546—

También se debe cumplir ∇ • B = 0: oxB% =0 oyB% ≠f(y) ozB% ≠f(z)

∴ Las ondas electromagnéticas en el espacio libre son transversales:

( )[ ] ( )[ ]o oy ozˆ ˆ(x,t) exp j kx t E E exp j kx t = − ω = + − ω E E j k% % % %

( )[ ] ( )[ ]o oy ozˆ ˆ(x,t) exp j kx t B B exp j kx t = − ω = + − ω B B j k% % % %

Falta determinar amplitudes complejas: oyE% ozE% oyB% ozB%


——————————————————————————————————————————————— —547—

Los campos deben satisfacer la Ley de Faraday:

( )[ ]{ }oy ozˆ ˆ(x,t) E E exp j kx t ∇ × = ∇ × + − ω = E j k% % %

( )[ ] ( )[ ]oz oyÊ exp j kx t E exp j kx t

y z∂ ∂ − ω − − ω + ∂ ∂

i% %

( )[ ]{ } ( )[ ]{ }oz oyˆ Ê exp j kx t E exp j kx t

x x∂ ∂

− − ω + − ω =∂ ∂

j k% %

( )[ ] oz oyêxp j kx t E E

y z ∂ ∂

− ω − + ∂ ∂ i% %

oz oz oy oyˆ Ê jkE E jkEx x∂ ∂ − − + + ∂ ∂

j k% % % %


——————————————————————————————————————————————— —548—

( )[ ]{ }oy ozˆ ˆ(x,t) B B exp j kx t

t t∂ ∂ − = − + − ω = ∂ ∂

B j k% % %

( )[ ]{ }oy ozˆ ˆj B B exp j kx t ω + − ω j k% %

Componente por componente:

oz oyE E 0y z∂ ∂

− =∂ ∂

% %

oz oz oyE jkE j Bx∂

− − = ω∂

% % %

oy oy ozE jkE j Bx∂

+ = ω∂

% % %

Sólo si:

ozE f(y)≠% oyE f(z)≠% ozE f(x)≠% oyE f(x)≠%


——————————————————————————————————————————————— —549—

Las amplitudes complejas son entonces: oxE 0=% oxB 0=%

oyE f(x,y,z)≠% oy ozk

B E f(x,y,z)= − ≠ω

% %

ozE f(x,y,z)≠% oz oyk

B E f(x,y,z)= ≠ω

% %

La dependencia de los campos con la posición y el

tiempo está totalmente incluida en el término de propagación, y las amplitudes complejas son

constantes


——————————————————————————————————————————————— —550—

( ) ( )o oz oy o ok k k 1ˆ ˆ ˆˆE E

c= − + = × = ×

ω ω ωB j k i E i E% % % % %

El campo magnético es perpendicular al campo eléctrico y a la dirección de propagación

En general:

( )[ ]o( ,t) E exp j t ˆ= • − ωE r k r n% %

( ) ( )[ ]( )o oo

Eˆ ˆˆ exp j t ˆc c

= × = • − ω ×

EB k n k r k n

% %%

{ } ( )o( ,t) ( ,t) E cos t ˆ= ℜ = • − ωE r E r k r n%

{ } ( ) ( )oE ˆ( , t) ( ,t) cos t ˆc

= ℜ = • − ω × B r B r k r k n%


——————————————————————————————————————————————— —551—

En conclusión: — Las ondas electromagnéticas en el espacio libre, y

en un medio LIH en ausencia de cargas y corrientes libres, son ondas transversales.

— Consisten de un campo eléctrico y un campo magnético, perpendiculares a la dirección de propagación y perpendiculares entre sí.

— Cada campo tiene amplitud constante.

— La amplitud del campo magnético es c veces menor a la del campo eléctrico.

— Los campos están en fase.


——————————————————————————————————————————————— —552—

Mecanismos de radiación: a) Radiación por antenas b) Radiación por desaceleración (bremsstrahlung) c) Transiciones electrónicas

2 1hf U U U= ∆ = − d) Decaimiento Gamma e) Radiación de cuerpo negro

3

mT 2.898X10 mK−λ =


——————————————————————————————————————————————— —553—

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

300 400 500 600 700 800 900

Rad

iaci

—n

(UA

)

longitud de onda (nm)

T=6,000 K


——————————————————————————————————————————————— —554—

El espectro electromagnético:

f (Hz) Radiación λ (m) 1022 Rayos Gamma 3 X 10-14 1021 3 X 10-13 1020 3 X 10-12 1019 3 X 10-11 1018 Rayos X 3 X 10-10 1017 3 X 10-9 1016 Ultravioleta lejano 3 X 10-8 1015 Ultravioleta cercano 3 X 10-7 1014 Visible 3 X 10-6 1013 Infra-rojo 3 X 10-5 1012 3 X 10-4 1011 Ondas milimétricas 3 X 10-3


——————————————————————————————————————————————— —555—

El espectro electromagnético (continuación):

f (Hz) Radiación λ (m) 1010 Comunicación Satelital 3 X 10-2 109 Telefonía Celular; Radar 3 X 10-1 108 Micro-ondas 3 X 100 107 FM, TV 3 X 101 106 AM; TV; Banda Civil; RF 3 X 102 105 Policía; Servicios 3 X 103 104 Onda larga 3 X 104 103 3 X 105 102 3 X 106 101 Energía Eléctrica 3 X 107


——————————————————————————————————————————————— —556—

Bandas para comunicaciones y radar:

Nombre de la banda Rango de Frecuencia HF 3-30 MHz VHF 30-300 MHz UHF 300-1,000 MHz Banda L 1-2 GHz Banda S 2-4 GHz Banda C 4-8 GHz Banda X 8-12 GHz Banda Ku 12-18 GHz Banda K 18-27 GHz Banda Ka 27-40 GHz Banda milimétrica 40-300 GHz


——————————————————————————————————————————————— —557—

El espectro visible:

f (Hz) Radiación λ (m) 1.0 X 1015 Ultravioleta cercano 3.0 X 10-7 7.5 X 1014 Azul extremo 4.0 X 10-7 6.5 X 1014 Azul 4.6 X 10-7 5.6 X 1014 Verde 5.4 X 10-7 5.1 X 1014 Amarillo 5.9 X 10-7 4.9 X 1014 Naranja 6.1 X 10-7 3.9 X 1014 Rojo extremo 7.6 X 10-7 3.0 X 1014 Infrarrojo cercano 1.0 X 10-6


——————————————————————————————————————————————— —558—

Energía en ondas electromagnéticas:

22

EM E M oo

1 1 Bu u u E

2 2= + = ε +

µ

Para OEM en el espacio libre:

22 2 2 2o o

EM o o oo o

1 1 E 1u E E E E

2 c 2

ε µ = ε + = ε + = ε µ µ

Flujo de energía del Vector de Poynting:

( )o

1= × = × =

µS E H E B

22 2o

oE ˆc cos ( t)

c

ε • − ω

k r k

2

o EMˆ ˆcE cu= ε =S k k


——————————————————————————————————————————————— —559—

Momento:

EM21 1 ˆu

cc= =p S k

Valores promedio:

2EM o

1u E

2< >= ε

EM ˆc u< >= < >S k

EM1 ˆuc

< >= < >p k

Intensidad de la onda:

=< >I S


——————————————————————————————————————————————— —560—

Reflexión y transmisión de ondas electromagnéticas:

Condiciones de frontera:

( )ˆ • − = σ2 1n D D ( )ˆ 0× − =2 1n E E

( )ˆ 0• − =2 1n B B ( )ˆ × − =2 1n H H K

En ausencia de carga libre y corriente libre:

( )ˆ 0• − =2 1n D D ⇒ 1 1n 2 2nE Eε = ε

( )ˆ 0× − =2 1n E E ⇒ 1t 2tE E=

( )ˆ 0• − =2 1n B B ⇒ 1n 2nB B=

( )ˆ 0× − =2 1n H H ⇒ 1t 2t1 2

1 1B B=

µ µ


——————————————————————————————————————————————— —561—

Incidencia normal:

ε1 µ1 k1 k2 µ2 ε2

z

y

x

kR

kI

kT

incidente

reflejada

transmitidaEI~

ER~

ET~

BI~

BR~

BT~

Onda incidente:

( )[ ]I oI 1 ˆ(y,t) E exp j k y t= − ωE k% %

( )[ ] ( )[ ]oII oI 1 1

1

Eˆ ˆ(y,t) B exp j k y t exp j k y tv

= − ω = − ωB i i%% %


——————————————————————————————————————————————— —562—

Onda reflejada:

( )[ ]R oR 1 ˆ(y,t) E exp j k y t= − − ωE k% %

( )[ ]R oR 1ˆ(y,t) B exp j k y t= − − − ωB i% %

( )[ ]oR1

1

E ˆexp j k y tv

= − − − ω i%

Onda transmitida:

( )[ ]T oT 2 ˆ(y,t) E exp j k y t= − ωE k% %

( )[ ] ( )[ ]oTT oT 2 2

2


= − ω = − ωB i i%% %


——————————————————————————————————————————————— —563—

De: 1 1n 2 2nE Eε = ε ⇒ 0=0 porque En=0 De: 1t 2tE E= oI oR oTE E E+ =% % % De: B1n = B2n ⇒ 0=0 porque Bn=0

De: 1t 2t1 2

1 1B B=

µ µ oI oR oT

1 1 1 2 2

1 1 1 1 1E E E

v v v

− = µ µ % % %

1 1

oI oR oT oT2 2

vE E E E

vµ

− = = βµ

% % % %

1 1 1 2 1 2 2 2

2 2 2 1 2 1 1 1

v n vv n v

µ µ µ ε εβ = = = =

µ µ µ ε ε


——————————————————————————————————————————————— —564—

oR oI1

E E1

− β = + β % % oT oI

2E E

1 = + β

% %

Caso común: µ1 ≈ µ2 ≈ µo 1 2

2 1

v nv n

β = =

2 1 1 2oR oI oI

1 2 1 2

v v n nE E E

v v n n − −

= = + + % % %

2 1oT oI oI

1 2 1 2

2v 2nE E E

v v n n

= = + + % % %

j2 1 2 12 1

oR oI oI oI1 2 1 2 1 2

v v v vv vE E ( 1) E e E

v v v v v vπ− − −

= = − = + + + % % % %


——————————————————————————————————————————————— —565—

Intensidad: Parte real de:

2o

1 ˆv E2

=< >= εI S j

Onda incidente: 2I 1 1 oI

1I v E

2= ε

Onda reflejada: 2R 1 1 oR

1I v E

2= ε

Onda transmitida: 2T 2 2 oT

1I v E

2= ε

Coeficiente de Reflexión:

2 221 1 oR oRR

2I 1 1 oI oI

v E EI 1I 1v E E

ε − β ≡ = = = + βε R


——————————————————————————————————————————————— —566—

Si µ1 ≈ µ2: 2 2

2 1 1 2

1 2 1 2

v v n nv v n n

− −≅ = + +

R

Coeficiente de Transmisión:

222 2 oR oRT 2 2

2I 1 11 1 oI oI

v E EI vI vv E E

ε ε≡ = = = εε

T

2 2

2 2

1 1

v 2 2v 1 1

ε = β ε + β + β

Si µ1 ≈ µ2:

2 2 22 2 2 2 2 1 2 1

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2

v 2v v 2n n 2nv v v v n n n n n

ε ε≅ = = ε + ε + +

T


——————————————————————————————————————————————— —567—

Si no hay pérdidas de energía en los medios:

1+ =R T

( )( )( )

2 2 22

2 211 2 1 2 4 1

1 1 1 1

+ β− β − β + β + β + β = = = + β + β + β + β

Ejemplo 61.- Coeficientes de reflexión y transmisión para OEM del aire (n ≈ 1) a un vidrio con n=1.5. Suponga µ1 ≈ µ2.

En este caso (µ1 ≈ µ2), el coeficiente de reflexión está dado por:

2 2 21 2

1 2

n n 1 1.5 0.5 10.04

n n 1 1.5 2.5 25 − − − = = = = = + +

R


——————————————————————————————————————————————— —568—

Por lo que:

1 1 0.04 0.96= − = − =T R Alternativamente:

2 22 1

1 1 2

n 2n 1.5 2(1) 161.5 0.96

n n n 1 1 1.5 25 = = = = + +

T

En casos reales:

1+ <R T Hay disipación de energía en el medio; la OEM le

cede energía al material


——————————————————————————————————————————————— —569—

Incidencia oblicua: La onda incidente no es normal a la entrecara; tiene componentes normal y perpendicular a la misma:

θR

θI

θT

ε1 µ1 k1 k2 µ2 ε2

z

y

x

kR

kI

kT

n̂


——————————————————————————————————————————————— —570—

Campos:

( )[ ]I oI I( , t ) exp j t= • − ωE r E k r% %

( )[ ] ( )I oI I I I1

1 ˆ( ,t) exp j tv

= • − ω = ×B r B k r k E% % %

( )[ ]R oR R( ,t) exp j t= • − ωE r E k r% %

( )[ ] ( )R oR R R R1

1 ˆ( , t ) exp j tv

= • − ω = ×B r B k r k E% % %

( )[ ]T oT T( , t ) exp j t= • − ωE r E k r% %

( )[ ] ( )T oT T T T2

1 ˆ( , t ) exp j tv

= • − ω = ×B r B k r k E% % %


——————————————————————————————————————————————— —571—

1 2ω = ω ⇒ I R Tω = ω = ω

1 I 1 R 2 Tv k v k v k= = ⇒ 2I R T

1

vk k k

v= =

Todas las condiciones de frontera son de la forma: { } ( )[ ] { } ( )[ ]I Rexp j t exp j t∗ • − ω + ∗ • − ω =k r k r

{ } ( )[ ]Texp j t∗ • − ωk r

∴ I R Tt t t• − ω = • − ω = • − ωk r k r k r

I R T• = • = •k r k r k r


——————————————————————————————————————————————— —572—

En y=0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ix Iz Rx Rz Tx Tzk x k z k x k z k x k z• = + = + = +k r

Se cumple sólo si cada componente es igual separadamente. Si z=0:

( ) ( ) ( )Ix Rx Txk x k x k x= = Si x=0, z ≠ 0:

( ) ( ) ( )Iz Rz Tzk z k z k z= = Ejes orientados a manera que kI esté en el plano yz:

( ) ( ) ( )Ix Rx Txk x k x k x 0= = =


——————————————————————————————————————————————— —573—

En conclusión: 1) Los vectores de onda incidente, reflejado y

transmitido forman un plano, llamado plano de incidencia, que incluye la normal a la entrecara.

2) Para satisfacer las condiciones de frontera:

I I R R T Tk sen k sen k senθ = θ = θ θI ≡ Angulo de incidencia θR ≡ Angulo de reflexión θT ≡ Angulo de transmisión o refracción En magnitud kI = kR, por lo que:

R Iθ = θ


——————————————————————————————————————————————— —574—

3) Y ya que:

2 1I R T T

1 2

v nk k k k

v n= = = ⇒ T I 1

I T 2

sen k nsen k n

θ= =

θ

Ley de Snell:

1 1T I

2

nsen sen

n−

θ = θ

Si n1>n2, y θI > 1 2C

1

nsen

n−

θ =

Entonces θT = imaginario (senθT>1)

Reflexión Interna Total


——————————————————————————————————————————————— —575—


—6 ecuaciones— 1 oI oR 2 oTy y

E E Eε + = ε % % %

oI oR oTx,z x,z

E E E+ = % % %

oI oR oTy y

B B B+ = % % %

oI oR oTx,z x,z1 2

1 1B B B+ = µ µ% % %

Dos casos generales; E polarizado paralelo al plano de

incidencia, y E polarizado perpendicular al plano de incidencia.


——————————————————————————————————————————————— —576—

Polarización paralela al plano de incidencia:

θR

θI

θT

ε1 µ1 k1 k2 µ2 ε2

z

y

x

θIEI~

ER~

ET~

BI~

BR~

BT~


——————————————————————————————————————————————— —577—

De condiciones de frontera:

1 oI I oR I 2 oT TE sen E sen E senε − θ + θ = ε − θ % % %

oI I oR I oT Tz zE cos E cos E cosθ + θ = θ % % %

T

I

coscos

θα ≡

θ T

oI oR oT oTI

cosE E E E

cosθ

+ = = α θ% % % %

oI oR oTx x1 2

1 1B B B+ = µ µ% % %

oI oR oT1 1 2 2

1 1E E E

v v− = µ µ

% % %

1 1

oI oR oT oT2 2

vE E E E

vµ

− = = β µ% % % %


——————————————————————————————————————————————— —578—

Ecuaciones de Fresnel (2/4):

oR oIE Eα − β = α + β

% % oT oI2

E E = α + β % %

Las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida dependen del ángulo de incidencia:

( )[ ]221 2 ITT

I I I

1 n / n sen1 sencoscos cos cos

− θ− θθα = = =

θ θ θ

Cuando α=β, la amplitud de la onda reflejada es cero; θI = θB, Ángulo de Brewster:

( )[ ]21 2 B

B

1 n / n sencos

− θβ =

θ


——————————————————————————————————————————————— —579—

21

B 221

2

1sen

nn

−

−β θ = − β

Caso particular µ1 ≈ µ2: 1 1 2B

1

ntan tan

n− −

θ = β =

Aplicación: Polarizador

Una onda polarizada en cualquier dirección es incidente al ángulo de Brewster; sólo la componente

con E perpendicular al plano de incidencia es reflejada


——————————————————————————————————————————————— —580—

Potencia impartida a la superficie:

I ˆ= •S n

2I 1 1 oI I

1I v E cos

2= ε θ 2

R 1 1 oR I1

I v E cos2

= ε θ

2T 2 2 oT T

1I v E cos

2= ε θ

2 221 1 oR I oRR

2I 1 1 oI I oI

v E cos EII v E cos E

ε θ α − β ≡ = = = α + βε θ R

22

2 2 oR TT2

I 1 1 oI I

v E cosI 2I 1v E cos

ε θ ≡ = = αβ + βε θ T


——————————————————————————————————————————————— —581—

Polarización perpendicular al plano de incidencia:

θR

θI

θT

ε1 µ1 k1 k2 µ2 ε2z

y

x

EI~

ER~ ET

~

BI~

BR~

BT~


——————————————————————————————————————————————— —582—


oI oR oTE E E+ = % % %

oI I oR I oT TB sen B sen B senθ + θ = θ % % %

oI I oR I oT T1 2

1 1B cos B cos B cos− θ + θ = − θ µ µ% % %

oI I oR I oT T1 1 2 2

1 1E cos E cos E cos

v vθ − θ = θ µ µ

% % %

T 1 1oI oR oT oT

I 2 2

cos vE E E E

cos v θ µ

− = = αβ θ µ % % % %


——————————————————————————————————————————————— —583—

Ecuaciones de Fresnel (4/4):

oR oI1

E E1

− αβ = + αβ % % oT oI

2E E

1 = + αβ

% %

No presentan un análogo al ángulo de Brewster

2 221 1 oR I oRR

2I 1 1 oI I oI

v E cos EI 1I 1v E cos E

ε θ − αβ ≡ = = = + αβε θ R

222 2 oR TT

2I 1 1 oI I

v E cosI 2I 1v E cos

ε θ ≡ = = αβ + αβε θ T


——————————————————————————————————————————————— —584—

Reflexión interna total: Onda pasa de un medio a otro menos denso. Ángulos de refracción imaginarios para valores del ángulo de incidencia mayores al ángulo crítico.

θR

θI

ε1 µ1 k1 k2 µ2 ε2

z

y

x

kR

kI

n̂onda

"tr

ansm

itida

"


——————————————————————————————————————————————— —585—

Incidente:

( )[ ]I oI I( , t ) exp j t= • − ωE r E k r% %

( ) ( )I 1 I 1 Ik sen y k cos z• = − θ + θk r Reflejada:

( )[ ]R oR R( ,t) exp j t= • − ωE r E k r% %

( ) ( )R 1y 1zk y k z• = +k r Transmitida:

( )[ ]T oTx oTy oTz Tˆ ˆ ˆ( ,t) E E E exp j t = + + • − ω E r i j k k r% % % %

( ) ( )T 2y 2zk y k z• = +k r


——————————————————————————————————————————————— —586—

2 2 22

T T T 2 2 T2 2 2( , t)y z t

∂ ∂ ∂∇ = + = ε µ

∂ ∂ ∂E r E E E% % % %

y=0 en la entrecara: ( ) ( )1 I 1zk sen z k zθ = ⇒ 1 I 1zk sen kθ = De:

2 2 2

R R 1 1 R2 2 2y z t

∂ ∂ ∂+ = ε µ

∂ ∂ ∂E E E% % %

2 2 21y 1z 1 1k k+ = ε µ ω

2 2 2 2 2 21y 1 1 1z 1 1 1 Ik k k sen= ε µ ω − = ε µ ω − θ


——————————————————————————————————————————————— —587—

2 21 1 1k = ε µ ω ;

( )2 2 2 2 2 21y 1 1 1 I 1 1 Ik k sen 1 sen= ε µ ω − θ = ε µ ω − θ =

2 2

1 1 Icosε µ ω θ

1y 1 Ik k cos= θ

Ángulo de reflexión igual al ángulo de incidencia En y=0: 1 I 2zk sen kθ =

2 2 22y 2z 2 2k k+ = ε µ ω

2 2 2 2 2 2 2

2y 2 2 2z 2 2z 2 1 Ik k k k k k sen= ± ε µ ω − = ± − = ± − θ


——————————————————————————————————————————————— —588—

2 22 21 1

2y 2 I 2 I2 2

k nk k 1 sen k 1 senk n

= ± − θ = ± − θ

Pero: 2

21I

2

nsen 1

n

θ >

; 2

212y 2 I

2

nk jk sen 1n

= ± θ −

Término de propagación:

( )[ ] [ ] ( )[ ]{ }T o 1 Iexp j t exp y exp j k sen z t• − ω = −δ θ − ωk r

2o 2 2

2 21 12 I I

2 2

1

n nk sen 1 2 sen 1n n

λδ ≡ =

θ − π θ −

La onda se atenúa rápidamente con la distancia


——————————————————————————————————————————————— —589—

La onda transmitida viaja paralela a la entrecara sin atenuación en esa dirección, con longitud de onda:

1z

1 I I

2k sen sen

π λλ = =

θ θ ⇒ 1

zI

vv

sen=

θ

Polarización perpendicular al plano de incidencia: De condiciones de frontera:

oI oR oTx xE E E+ = % % %

oI I oR I oTyB sen B sen B θ + θ = % % %

I oI oR oTy1

1sen E E B

v θ + = % % %


——————————————————————————————————————————————— —590—

oI I oR I oTz1 2

1 1B cos B cos B− θ + θ = µ µ% % %

oR oI I oTz1 1 2

1 1E E cos B

v− θ = µ µ

% % %

Cuatro incógnitas; EoR, EoTx, BoTy, y BoTz, sólo 3 ecuaciones.

T oTy oTzB B 0y y∂ ∂

∇ • = + =∂ ∂

B% % %

2y oTy 2z oTzk B k B 0+ =% % ⇒ 2yoTz oTy

2z

kB B

k= −% %

2z 2oR oI I I oI oR

2y 1 1 1

k 1E E cos sen E E

k v vµ

− − θ = θ + µ% % % %


——————————————————————————————————————————————— —591—

( )( )( )( )

I 2y 2z 1 2 IoR

oI I 2y 2z 1 2 I

cos k / k / senEE cos k / k / sen

θ − µ µ θ=

θ + µ µ θ

%%

2

2 2I

2y 1

2z I

nsen

k nj

k sen

θ −

=θ

221 2

I I2 1oR

2oI 21 2I I

2 1

ncos j sen

nEE ncos j sen

n

µθ − θ − µ =

µθ + θ − µ

%%


——————————————————————————————————————————————— —592—

Expresión del tipo:

2 2

2 2a jb a jb (a b ) j(2ab)

Ga jb a jb a b

− − − − = = + − +

Magnitud:

[ ]2 22 2 4 2 2 4 2 2

2 2 2 2

a b 2ab a 2a b b 4a bG

a b a b

− + − + + = =+ +

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2a 2a b b a b

G 1a b a b+ + +

= = =+ +

oR

oI

E1

E=

%%


——————————————————————————————————————————————— —593—

[ ]oR

oI

Eexp j

E= ϕ

%%

221 2

I1 2 1

I

nsenn

2tancos

−

µ θ − µ ϕ = − θ

oTx I

2oI21 2

I I2 1

E 2cosE ncos j sen

n

θ=

µθ + θ − µ

%%

( )oTy 1 I I2oI

21 2I I

2 1

B 2 n / c sen cosE ncos j sen

n

θ θ=

µθ + θ − µ

%%


——————————————————————————————————————————————— —594—

( )2

2 21 I I

1oTz2oI

21 2I I

2 1

n2 n / c cos sennB

jE n

cos j senn

θ θ − = − µ

θ + θ − µ

%%

[ ] ( )[ ]T oTx o 1 IˆE exp y / exp j k sen z t = − δ θ − ω E i% %

[ ] ( )[ ]T oTy oTz o 1 Iˆ ˆB B exp y / exp j k sen z t = + − δ θ − ω B j k% % %

Flujo de energía:

( )*T T

12

< >= ℜ × =S E H%

221 2 1 I I

o I2 1

n n cos senˆ ˆS j senn c

µ θ θ ℜ − θ − + µ

j k

Roberto S. Murphy

Callout

*


——————————————————————————————————————————————— —595—

( ) [ ]22 I oI o

o 2 22 21 2

I I2 1

2 / cos E exp 2y/S

ncos senn

µ θ − δ=

µθ + θ − µ

( ) [ ]22 I oI o 1 I I

2 22 21 2

I I2 1

2 / cos E exp 2y/ n cos sen ˆcn

cos senn

µ θ − δ θ θ < >= µ θ + θ − µ

S k

Sólo hay flujo de energía en dirección paralela a la entrecara. La onda transmitida viaja más lenta que una

onda cualquiera en el medio 2; está fuertemente confinada a la superficie; pierde amplitud rápidamente;

se le llama “onda superficial lenta”.


——————————————————————————————————————————————— —596—

Ejemplo 62.- OEM de f=1GHz, de agua de mar (ke ≈ 81, km ≈ 1) a la atmósfera (ke ≈ 1, km ≈ 1). a) 1 e mn k k 81 9= = =

n2=1: 1 12C

1

n 1sen sen 6.38

n 9− − θ = = = °

b) o 221

2 I2

1

nk sen 1n

δ ≡

θ −

1

22 f

k 20.958mc

−π= = 2

o 1.09X10 m 1.09cm−δ = =


——————————————————————————————————————————————— —597—

Polarización paralela al plano de incidencia:

221

I2T

I I

nsen 1

ncosj

cos cos

θ − θ α ≡ =

θ θ

Ecuaciones de Fresnel:

221 2 1 2

I I2 1 2 1

oR oI221 2 1 2

I I2 1 2 1

n n ncos j senn n n

E En n n

cos j senn n n

µ − θ + θ − µ = µ

θ + θ − µ

% %


——————————————————————————————————————————————— —598—

oR

oI

E1

E=

%%

[ ]oR

oI

Eexp j

E= ϕ

%%

221 2

I1 2 1

I

nsenn

2tancos

−

µ θ − µ ϕ = − θ

IoT oI2

21 2 1 2I I

2 1 2 1

2cosE E

n n ncos j sen

n n n

θ

= µ

θ + θ − µ

% %


——————————————————————————————————————————————— —599—

Dispersión: Velocidad de una OEM en un medio LIH:

1 cv

n= =

µε

⇒ Constante sólo si µ y ε son constantes. ⇒ Luz blanca por un prisma: se separa en sus distintos

componentes. ⇒ El ángulo de refracción se determina del índice de

refracción. ⇒ ∴El índice de refracción es función de la

frecuencia, y la velocidad de propagación es función de la frecuencia: Dispersión.

⇒ µ y/o ε son funciones de la frecuencia.


——————————————————————————————————————————————— —600—

Modelo clásico para un gas diluido:

Fuerza de unión:

2U oK= − = − ωF y yem

Fuerza de amortiguamiento:

A t∂

= − ς∂y

F em

Fuerza de excitación:

[ ]( )E oe e E exp j t= = − ωF E %

Fuerza resultante:

[ ]( )2

2o o2 e E exp j t

tt∂ ∂

= = = − ω − ς + − ω∂∂∑ y y

F a y %e e e em m m m


——————————————————————————————————————————————— —601—

[ ]( )2

2o o2

eE exp j t

tt∂ ∂

+ ς + ω = − ω∂∂

y yy %

em

Ecuación de un oscilador armónico simple con amortiguamiento. Solución:

[ ]oy(t) y exp j t= − ω% %

( )( ) ( )o o2 2

o

e /y E

j=

ω − ω − ςω%% em

Momento dipolar eléctrico:

( )( ) ( )

[ ]2

o2 2o

e /(t) e (t) E exp j t

j

= = − ω ω − ω − ςω

p y %% % em


——————————————————————————————————————————————— —602—

Polarización compleja:

( ) ( )

2n

2 2n n

Ne f(t) (t)

j

= ω − ω − ς ω ∑P E% %

em

N moléculas por unidad de volumen; fracción fn de electrones con frecuencia natural ωn y constante de amortiguamiento ςn dentro de cada molécula. Susceptibilidad compleja:

( ) ( )

2n

e 2 2o n n

Ne f

j

χ = ε ω − ω − ς ω ∑%

em


——————————————————————————————————————————————— —603—

Permitividad compleja:

( ) ( ) ( )

2n

o e o 2 2o n n

Ne f1 1

j

ε ≡ ε + χ = ε + ε ω − ω − ς ω ∑% %

em

OEM viajando en un gas diluido:

22

21

t

∂∇ =

εµ ∂E E% %

%

Acepta ondas planas como soluciones con:

k = ω εµ% %

R Ik k jk= +%


——————————————————————————————————————————————— —604—

( ) [ ]( )o o R I(y,t) exp j ky t exp j k jk y t = − ω = + − ω = E E E%% % %

[ ] ( )[ ]o I Rexp k y exp j k y t− − ωE%

La amplitud del campo es función de la posición, decreciendo exponencialmente con y

Coeficiente de absorbción:

I2kα ≡

Disipación: La OEM le cede energía al medio, calentándolo.

Velocidad de propagación:

R

vkω

= Rc

n k=ω


——————————————————————————————————————————————— —605—

Un medio dispersivo es también disipativo n=f(ω) α= f(ω)

Dispersión anómala y absorbción resonante: Dispersión “normal”: Aumento del índice de refracción con la frecuencia. Dispersión anómala: Decremento del índice de refracción con la frecuencia, alrededor de las frecuencias naturales de oscilación. Absorbción resonante: Gran aumento del coeficiente de absorbción alrededor de las frecuencias naturales. Una OEM se atenúa rápidamente, cediéndole toda la energía al medio.


——————————————————————————————————————————————— —606—

Coeficiente de transmisión en la atmósfera:


——————————————————————————————————————————————— —607—

Índice de refracción del silicio en el visible:

1

2

3

4

5

6

7

300 400 500 600 700 800

Índice de Refracción del SilicioÍn

dic

e d

e r

efra

cció

n

Longitud de onda, nm

Valor en DC 3.4496

Espectro visible


——————————————————————————————————————————————— —608—

Ondas electromagnéticas en medios conductores: — Caso electrostático: E dentro de un conductor =

cero. — Caso dinámico: E no conservativo, que

proporciona la energía para de corriente y campo electrostático.

— E induce polarización en los átomos fijos del

medio ⇒ ε. — Distribución de carga:

[ ](t) (t 0)exp ( / )tρ = ρ = − σ ε


——————————————————————————————————————————————— —609—

— Tiempo de relajación dieléctrica para un buen conductor:

1810 s−ε

≈σ

— Flujo de corriente en la superficie del conductor. — OEM en un conductor satisface las ecuaciones de

Maxwell. Para medio LIH:

ρ

∇ • =ε

E t

∂∇ × = −

∂E B

0∇ • =B t

∂∇ × = µ + µε

∂E

B J


——————————————————————————————————————————————— —610—

Considerando ρ=0 y J ≈ σE:

0∇ • =E t

∂∇ × = −

∂E B

0∇ • =B t

∂∇ × = µσ + µε

∂E

B E

Los campos satisfacen la ecuación de onda con amortiguamiento:

2

22 tt

∂ ∂∇ = µε + µσ

∂∂E E E

2

22 tt

∂ ∂∇ = µε + µσ

∂∂B B B


——————————————————————————————————————————————— —611—

Solución:

( )o( ,t) exp j t = • − ω E r E k r% % %

( )o( , t ) exp j t = • − ω B r B k r% % %

k% = vector de onda complejo

OEM propagándose a lo largo del eje y:

jky∂

=∂

E E%% % jt

∂= − ω

∂E E% %

2

22 k

y

∂= −

∂E E%% %

22

2t∂

= −ω∂

E E% %

2 2k j− = −µεω − µσωE E E% % % %


——————————————————————————————————————————————— —612—

2 2k j= µεω + µσω% R Ik k jk= +% ⇒ ( ) ( )2 2 2

R I R Ik k k j 2k k= − +%

2 2 2

R Ik k− = µεω R I2k k = µσω

1/22

R,Ik 1 12

εµ σ = ω + ± εω

( )[ ]o R I(y,t) exp j k y jk y t= + − ω =E E% %

[ ] ( )[ ]o I Rexp k y exp j k y t− − ωE%


——————————————————————————————————————————————— —613—

( )[ ]o R I(y,t) exp j k y jk y t= + − ω =B B% %

[ ] ( )[ ]o I Rexp k y exp j k y t− − ωB%

Las ondas pierden amplitud con la distancia, impartiéndole energía al medio, que se presenta en

forma de calor Velocidad de propagación:

R

vkω

= Rc

n k=ω

Un conductor es disipativo y dispersivo


——————————————————————————————————————————————— —614—

Profundidad de piel ⇒ Medida de la atenuación de la OEM en el conductor:

11/22

I

11 1

k 2

− εµ σ δ ≡ = ω + − εω

Buen conductor: δ ˜ nanómetros Conductor ideal: δ = 0 Dieléctrico perfecto: δ → ∞

δ es función de la frecuencia


——————————————————————————————————————————————— —615—

Buen conductor; σ >> εω:

1/2 1/22 2

R,Ik 1 1 12 2

εµ σ εµ σ = ω + ± ≈ ω ± εω εω

2

2 2εµ σ σµω π

≈ ω = ≈εω λ

22λ

δ ≈ ≈σµω π

Una OEM no alcanza a completar un ciclo en el

material


——————————————————————————————————————————————— —616—

Mal conductor; σ << εω:

1 / 22

Rk 1 1 22 2

εµ σ εµ = ω + + ≈ ω = ω εµ εω

Velocidad de propagación “independiente” de frecuencia. (La permitividad es función de f.)

1 / 22

Ik 1 12

εµ σ = ω + − ≈ εω

1/22 2

2 21

1 12 2 2 22

εµ σ εµ σ σ µ ω + − ≈ ω = εω ε ε ω


——————————————————————————————————————————————— —617—

Profundidad de piel:

2 εδ ≈

σ µ

También aparentemente independiente de frecuencia,

pero σ=f(ω) y ε=f(ω). Definición de buen o mal conductor: función de ω

b) Comunicación bajo el mar

c) Espejos

d) Horno de microondas


——————————————————————————————————————————————— —618—

Campos eléctrico y magnético en un conductor:

[ ] ( )[ ]o R ˆ(y,t) E exp y / exp j k y t= − δ − ωE k% %

[ ] ( )[ ]o Rˆ(y,t) B exp y / exp j k y t= − δ − ω =B i% %

[ ] ( )[ ]o Rk ˆE exp y / exp j k y t − δ − ω ω

i% %

[ ]k k exp j= ϕ%

2 2R Ik k k= + 1 I

R

ktan

k−

ϕ =

[ ]o o EE E exp j= ϕ% [ ]o o BB B exp j= ϕ%


——————————————————————————————————————————————— —619—

[ ] [ ] [ ] ( )[ ]oo B o E E

k exp j k EB exp j E exp j exp j

ϕϕ = ϕ = ϕ + ϕ

ω ω

[ ] ( )[ ]B Eexp j exp jϕ = ϕ + ϕ ⇒ B Eϕ = ϕ + ϕ El campo magnético en un conductor está “detrás” del

campo eléctrico Amplitudes reales:

1/42o

o

kB1

E

σ = = µε + ω εω

Roberto S. Murphy

Callout

checar


——————————————————————————————————————————————— —620—

Para un buen conductor:

k2 2

σµω σµω≈ + = σµω

( )1 1I

R

ktan tan 1

k 4− − π

ϕ = ≈ =

o

o

kBE

σµω σµ= = =

ω ω ω

Dependiendo del rango de frecuencia, B puede ser mayor en magnitud a E


——————————————————————————————————————————————— —621—

Campos reales: [ ] ( )o R E

ˆ(y,t) E exp y / cos k y t= − δ − ω + ϕE k

[ ] ( )o R Ek ˆ(y,t) E exp y / cos k y t = − δ − ω + ϕ + ϕ ω

B i

Energía: 2 21 1u E B

2 = ε + µ

[ ]2o

1u E exp 2y/

2= − δ

( ) ( )2

2 2R E R E

kcos k y t cos k y t

ε − ω + ϕ + − ω + ϕ + ϕ ω


——————————————————————————————————————————————— —622—

Y el promedio temporal de la densidad de energía es:

[ ]2

2o

1u E exp 2y/ 1 1

4

σ < >= ε − δ + + εω

Buen conductor; la energía está prácticamente asociada únicamente al campo magnético:

[ ]2o

1u E exp 2y/

4σ < >≈ − δ ω

Ejemplo 63.- Tablilla de conductividad σ, espesor d, área A, expuesta a OEM. Energía cedida por la onda al material se convierte a calor por efecto Joule.


——————————————————————————————————————————————— —623—

Vector de Poynting:

( ) [ ]2ok E1

exp 2y /

= × = − δ µ µω S E B

( ) ( )[ ]R E R Eˆcos k y t cos k y t− ω + ϕ − ω + ϕ + ϕ j

Valor promedio:

[ ] ( )2ok E ˆexp 2y/ cos

2

< >= − δ ϕ µω

S j

Rkk

cos( )=

ϕ


——————————————————————————————————————————————— —624—

[ ] ( )2oR Ek êxp 2y/ cos

cos( ) 2

< >= − δ ϕ = ϕ µω

S j

[ ]2

R ok E êxp 2y/2

− δ µω

j

Cambio de un extremo al otro:

[ ] [ ]{ }2

R ok E êxp 0 exp 2d /2

∆ < >= − − δ = µω

S j

[ ]{ }2

R ok E ˆ1 exp 2d /2

− − δ µω

j

Potencia cedida:

[ ]{ }2

R ok AEP S A 1 exp 2d /

2

= ∆ < > = − − δ µω


——————————————————————————————————————————————— —625—

Pérdidas por efecto Joule:

( )P d= • τ∫ E J

De la Ley de Ohm:

2E• = • σ = σ =E J E E

[ ] ( )[ ]2o R EE exp y / cos k y tσ − δ − ω + ϕ

Promedio temporal:

[ ]2oE

exp 2y/2

σ< • >= − δE J


——————————————————————————————————————————————— —626—

( ) [ ]2oE

P d exp 2y/ d2

σ= • τ = − δ τ =

∫ ∫E J

[ ]d

2o

0

Eexp 2y/ Ady

2

σ− δ

∫

[ ]{ }2o

I

AE 1P 1 exp 2y/

4 k σ

= − − δ

Pero:

1/222 2

R Ik k 1 12 2 2

εµ σ εµ σ µσω = ω + − = ω = εω εω


——————————————————————————————————————————————— —627—

R

I

1 2kk

=µσω

⇒ [ ]{ }2o RAE 2k

P 1 exp 2y/4

σ = − − δ µσω

[ ]{ }2

R ok AEP 1 exp 2y/

2= − − δ

µω

∴ la energía cedida por la onda al material se convierte en calor por efecto Joule

Para todos los medios —dieléctricos y conductores— el vector de onda se puede expresar como una cantidad compleja, y existirá disipación y dispersión.

No se conoce ningún medio que no absorba energía de una OEM


——————————————————————————————————————————————— —628—

Reflexión y transmisión en una superficie conductora: OEM viajando en un medio dieléctrico LIH incide normalmente en un medio conductor LIH.

ε1 µ1 k1 k2~ µ2 ε2

z

y

x

kR

kI

kT~

incidente

reflejada

transmitida

σ

conductordieléctrico

EI~

ER~

ET~

BI~

BR~

BT~


——————————————————————————————————————————————— —629—


( )ˆ • − = σ2 1n D D ⇒ 1 1n 2 2nE Eε − ε = σ

( )ˆ 0× − =2 1n E E ⇒ 1t 2tE E=

( )ˆ 0• − =2 1n B B ⇒ 1n 2nB B=

( )ˆ × − =2 1n H H K ⇒ 1t 2t1 2

1 1B B ˆ− = ×

µ µK n

Para conductores óhmicos K = 0


——————————————————————————————————————————————— —630—

( )[ ]I oI 1 ˆ(y,t) E exp j k y t= − ωE k% %

( )[ ] ( )[ ]oII oI 1 1

1


= − ω = − ωB i i%% %

( )[ ]R oR 1 ˆ(y,t) E exp j k y t= − − ωE k% %

( )[ ] ( )[ ]oRR oR 1 1

1


= − − − ω = − − − ωB i i%% %

( )[ ]T oT 2 ˆ(y,t) E exp j k y t= − ωE k% %

( )[ ] ( )[ ]2T oT 2 oT 2

kˆ ˆ(y,t) B exp j k y t E exp j k y t= − ω = − ωω

B i i%% % %

2k% ⇒ complejo


——————————————————————————————————————————————— —631—


oI oR oTE E E+ =% % %

2oI oR oT

1 1 1 2

1 1 1 1 kE E E

v v

− = µ µ ω

%% % %

1 1 2

oI oR oT oT2

v kE E E E

µ− = = β µ ω

% %% % % %

β% ⇒ compleja 1 1 2

2

v kµβ ≡

µ ω

%%

oR oI1

E E1

− β = + β

%% %% oT oI2

E E1

= + β % %%


——————————————————————————————————————————————— —632—

Para un conductor ideal; σ → ∞:

2 2R 2Ik k jk j2 2

σµω σµω= + ≈ + → ∞%

1 1 2

2

v kµβ = → ∞

µ ω

%%

oR oI oI oI1

E E E E1

− β −∞ = ≅ = − + β ∞

%% % % %%

oT oI oI2 2

E E E 01 1

= ≈ → + β + ∞ % % %%

En un conductor real, no toda la OEM (energía) es reflejada; parte es transmitida al medio.


——————————————————————————————————————————————— —633—

Conductividad compleja: Modelo para la conductividad: Gas de electrones en el material; se puede despreciar la fuerza de unión de los electrones al átomo.

[ ]( )2

o2 e E exp j ttt

∂ ∂= = = − ς + − ω

∂∂∑ y yF a %e e em m m

ς debido a mecanismos de dispersión Soluciones:

[ ] ( ) [ ]o o2e /

y(t) y exp j t E exp j tj

= − ω = − ωω + ςω

%% % em


——————————————————————————————————————————————— —634—

Velocidad compleja, v% :

( ) [ ]o2j e /

v y(t) E exp j tt j

ω∂= = − ω

∂ ω + ςω%% % em

( ) [ ]

2

o2 2j e / j

v E exp j tj j

ω ω − ςω= − ω =

ω + ςω ω − ςω %% em

( )( ) [ ]o2 2e / j

E exp j tς + ω

− ωω + ς

%em

Densidad volumétrica de corriente compleja, J% :

( )( )2 2

e / jfNe

ς + ω= ρ = ω + ς

J v E% %% em


——————————————————————————————————————————————— —635—

Conductividad compleja:

2

2 2fNe j ς + ω

σ = ω + ς

%em

( ) ( )2 2

R I 2 2 2 2fNe fNe

j j ς ω σ = σ + σ = + ω + ς ω + ς

%e em m

Vector de propagación:

[ ] [ ]2I Rk j= µω εω−σ + µσ ω%

Un medio con conductividad compleja es disipativo y

dispersivo


——————————————————————————————————————————————— —636—

Ionosfera: Plasma de electrones libres y iones 50 → 400 km sobre el nivel del mar

⇒ Colisiones muy poco frecuentes; ς˜ 0

∴ conductividad totalmente imaginaria

[ ]2

2 2o o I o o

o

fNek

= µ ω ε ω − σ = µ ε ω − ε

%em

Frecuencia del plasma:

22p

o

fNeω ≡

ε em

2 2 2 2 2

o o p p21

kc

= µ ε ω − ω = ω − ω %


——————————————————————————————————————————————— —637—

Para ω > ωp: Vector de onda real; propagación sin atenuación

( )p 1 / 22

p

cv

k1 /

ω= =

− ω ω

( )2pn 1 /= − ω ω

Para ω < ωp: Vector de onda imaginario; atenuación

p

cδ ≈

ω


——————————————————————————————————————————————— —638—

Con 1011m-3 electrones libres en la ionosfera ωp˜ 3MHz Comunicaciones vía satélite: GHz Radio AM (0.540 → 1.6 MHz), señal “rebotada” en la ionosfera

inaoeelectronica.files.wordpress.com · teoría electromagnética murphy

Documents