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FVela-10

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DESERIES DE TIEMPO

Fortino Vela Peónfvela@correo.xoc.uam.mx

Noviembre, 2010(BORRADOR: PUEDE C ONTENER E RRORES)

Muy pocas series de tiempo en el mundo económicoreal son estacionarias .

La mayoría suelen presentar tendencia , suelen tenervarianza no constante y también suelen presentarvariaciones estacionales .

La presencia de variaciones estacionales se traduce enuna variabilidad de la media del proceso, lo que escontrario a la hipótesis de estacionariedad.

En esta sesión revisaremos algunos conceptosclaves del análisis de series de tiempo .

Introducción

En el análisis de series de tiempo (lineal) comúnmentese supone que la serie a ser modelada puederepresentarse o aproximarse mediante una ecuaciónen diferencia lineal . Veamos esto con un poco más dedetalle.

Suponga

tX0p-tp2-t21-t10t Y... Y Y Y γββββ +++++=t2211 ... uXXX ststt +++++ −−− γγγ

llevando las variables dependientes rezagadas del ladoizquierdo se tiene

tX00p-tp2-t21-t1t Y... Y Y- Y γββββ +=−−−t2211 ... uXXX ststt +++++ −−− γγγ

…(1)

Al aplicar el operador de rezagos a las variables sereescribe como:

( )Lβ ( )LγSe definen los polinomios y como

( ) 0t2-t2

1 Y... Y L-1 ββ =−−− pLL

( ) t2

21 ...1 uXLLL ts

s +++++ γγγ

( ) pLL −−−= ... Y L-1L 2-t2

1ββ( ) s

sLLLL γγγγ ++++= ...1 221

por lo que el modelo inicial puede formularse como:

El modelo expresado como (1) o (2), ya que es elmismo, es una ecuación en diferencia ..

( ) ( ) ttt uXLY += γβ L

Una ecuación en diferencia es una expresiónmatemática que nos permite calcular el valor de unafunción recursivamente a partir de un conjunto devalores dados .

…(2)

Las ecuaciones en diferencia son una forma dedescribir la dinámica de un sistema o incluso de unaserie. Para verificar la estabilidad del modelo , lospolinomios β(L) y γ(L) son considerados comopolinomios en el plano complejo CC, los cuales tienen py s raíces complejas , respectivamente, para nuestroejemplo.

Estas raíces son determinantes importantes delcomportamiento de la serie.

Una condición suficiente y necesaria para laestabilidad es que todas las raíces de ββββ(L) y γγγγ(L) seencuentren fuera del circulo unitario en CC.

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Para dar un poco de claridad a esto, considere unmodelo AR(1) para Y t,

o expresado como

Note que en este caso ββββ(L) es un polinomio derezago de primer orden , esto es:

Para resolver este polinomio para L se tiene

t110t Y uYt ++= −ββ

t0t L)Y-(1 u+= β

L -1(L) 1ββ =

0(L) =β( ) 0L -1 1 =β

1

1β

=L

…(3)

La condición de que | L | >1 implica que | ββββ1111| < 1. Estacondición es necesaria para que AR(1) sea estable .

Al sustituir en el polinomio β(L) al operador derezago L por la variable λ y establecer que es igual acero, se obtiene -en términos generales- la ecuacióncaracterística asociada con la ecuación en diferenciadel modelo, esto es:

β(λ) = 0

La expresión (4) representa a la denominada forma decoeficientes de una ecuación característica , la cualcorresponde a un polinomio de orden 1, que en formadesplegada es:

1 – β1λ = 0

…(4)

Cualquier valor de λ que satisface a la ecuacióncaracterística es denominada la raíz del polinomio β(λ).Un polinomio de grado p tiene p raíces λk, k = 1,…,p.

En general, las raíces son números complejos :

donde y son números reales, e .

ib a kkk ±=λ a k kb 1-i =

Nota : Para mayor detalle de ecuaciones diferenciales puede consultarse:

• Baumol, William J. (1972). Introducción a la dinámica económica, Marcombo, Barcelona.

• Chiang, Alpha C. (2003). Métodos fundamentales de Economía Matemática, 4ª. ed., Mc-Graw Hill,México.

• Gandolfo, Giancarlo (1976). Métodos y modelos matemáticos en dinámica económica, Tecnos,Madrid.

• Goldberg, Samuel (1964). Introducción a las ecuaciones en diferencias finitas, Marcombo,Barcelona.

La expresión (4) representa la denominada forma decoeficientes de la ecuación característica, la que paraun polinomio de orden p esta dada por:

1 – β1λ – … – βpλp = 0

Una forma alternativa es la forma raíz dada por:

Esta última expresión revela las raíces directamente,esto es, los valores de λ, para los cuales la ecuacióncaracterística es satisfecha.

( )( ) ( ) ( ) 0...1

21 =−=−−− ∏=

p

iip λλλλλλλλ

En términos de un modelo econométrico se tiene, porejemplo, que para

el polinomio β(L) puede reescribirse como

donde las raíces 1/βi deben ser tales que | L | >1 , las praíces están fuera del circulo unitario lo que implicaque | ββββ1111| < 1 para i=1,2,…,p.

( )( ) ( )pLLL ββββ −−−= 1...11)( 21

Y... Y Y Y p-tp2-t21-t10t ββββ ++++=El operador suma , aplicado a una variable conrezagos infinitos , esto es,

de manera tal que

tXL−

=1

1

... X XX X 2-t1-tt0t

i-t +++=∑∞

=

Expresiones especiales con el operador rezago

... X XX t2

tt +++= LL

( ) t2 X ... 1 +++= LL

∑∞

=−=

−=

− 0111

iit

tt X

L

XX

L

3

Otra expresión útil donde interviene el operador suma,es cuando es aplicado a una variable con rezagosinfinitos multiplicada por un parámetro λλλλ, donde,0<λλλλ<1:

de manera tal que

... X XX X 2-t2

1-tt0t

i-ti +++=∑

∞

=

λλλ.. X. X XX t

33t

22tt ++++= LLL λλλ

( ) t3322 X ... 1 ++++= LLL λλλ

∑∞

=−=

− 011

iit

it XX

Lλ

λ

Si los valores de las observaciones X t se encuentranacotadas y no todas son cero , se puede considerarque:

la varianza de es infinita , mientras que

la varianza de sea finita .

Observe que la diferencia entre estas expresiones seencuentran en el denominador , ya que una tiene unaparámetro que es menor a uno, mientras que la otra unparámetro igual a uno.

Estas expresiones se presentan con frecuencia dentrode la literatura econométrica de series de tiempo .

LX t

λ−1

LX t

−1

El operador diferencia se define como

y su relación con el operador rezago se establecemediante

lo que implica que

Entonces la inversa del operador , , es decir es

1-ttt X-XX =∇

∑ ⋅=−

=∇−

L111

Relación entre el operador rezago y eloperador diferencia

tt X)1(X L−=∇

L−=∇ 1∇ 1−∇

En la investigación económica, este operador seemplea para eliminar la tendencia . Por ejemplo, laprimera diferencia elimina la tendencia lineal en unavariable, esto es:

Cuando se diferencia dos veces una variable eliminala tendencia en la tasa de crecimiento de la variable:

En ocasiones con ciertas variables son relevantes lasdiferencias estacionales , la cual ajusta estacionalidad

( ) 11-t-tt ==∇

( ) 44

4 1 −−=−=∇ tttt YYYLY

1-ttt2 X-XX ∇∇=∇

Un modelo de series de tiempo es una representaciónsimplificada y operativa de la realidad a través de dospartes o factores: una sistemática y otra nosistemática o aleatoria . Un enfoque simple eintroductorio que permite generar una serie temporalprocede de la ecuación:

en la que la parte sistemática incluye el componentetendencial mientras que la parte no sistemática vienerepresentada por la variable aleatoria .

ttt T Y u+=

tttt S T Y u++=

Componentes de una serie de tiempo Otra posibilidad es representar la serie a través de laecuación:

en la que la parte sistemática incluye loscomponentes tendencial y estacional mientras quela parte no sistemática viene representada por lavariable aleatoria.

tttt S T Y u++=

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La forma más simple de representar el componentetendencial es a través de una ecuación en la queinterviene explícitamente la variable tiempo. A este tipode series se les denomina TS.

Por ejemplo, a través de un modelo de tendenciadeterminista lineal:

o bien de un modelo de tendencia deterministacuadrática:

t1ot u t Y ++= ββ

t2

210t t t Y u+++= βββ

Caracterización de la tendencia Otra forma alternativa de representar el componentetendencial es a través de un modelo autorregresivo .Se trata de un modelo en el que las variablesexplicativas son la propia variable endógena rezagadauno o varios períodos de tiempo.

Por ejemplo, un modelo autorregresivo de primerorden con φ1=1, esta dado por:

o un modelo autorregresivo sin constante (deriva ) yφ1=1, como

Estos son modelos con tendencia estocástica . Aestos procesos se les denomina DS.

t1-t1t u Y Y ++= φδ

t1-t1t u Y Y += φ

En la caracterización del componente tendencial sepueden distinguir, básicamente, dos tipos detendencia : la determinista y la estocástica .

Se dice que una serie de tiempo presentatendencia determinista (no estacionaria enmedia) si la esperanza de la serie E(Y t) esfunción del tiempo. Análogamente se dice queuna serie temporal presenta tendenciaestocástica (no estacionaria en varianza) si lavarianza de la serie Var(Y t) es función deltiempo.

Así, dentro del análisis del componentetendencial se pueden distinguir , desde el punto devista formal, cuatro modelos según elcomportamiento de la tendencia.

1) Sin tendencia (serie estacionaria enmedia y varianza);

2) Tendencia determinista (no estacionaríaen media);

3) Tendencia estocástica (no estacionaría envarianza);

4) Tendencia determinista junto conestocástica (no estacionaria en media nien varianza).

A continuación se revisan estos cuatro modelossegún el comportamiento de la tendencia.

Un modelo de series de tiempo estacionario se puederepresentar por :

donde ut es una variable aleatoria ruido blanco, es decir:

El modelo (1) se caracteriza por el hecho de que laesperanza y la varianza de la serie Y t sonindependientes del tiempo . En efecto, para este modelose tiene:

tt u Y += µ

1) Ausencia de tendencia (serie estacionariaen media y varianza)

)(u var0, )E(u 2utt σ==

…(1)

)(Y var0, )E(Y 2utt σ==

Otro modelo de series temporales con ausencia detendencia se puede especificar como:

donde es una variable aleatoria ruido blanco,además .

Operando y sustituyendo se tiene:

t11t u Y ++= −tYφµ

11 <φtu

t11t u Y ++= −tYφµt1-t211 u)u ( ++++= −tYφµφµt1-t12

211 uu ++++= − φφµφµ tY

22

1t1-t11 uu −++++= tYφφµφµ

5

22

1t1-t11 uu −++++= tYφφµφµ)u ( uu 2-t31

21t1-t11 ++++++= −tYφµφφµφµ

2-t2

133

12

1t1-t11 u uu φφµφφµφµ ++++++= −tY

33

12-t2

12

1t1-t11 u uu −++++++= tYφφµφφµφµ......................................................

1-t1t3

12

11 uu... φµφµφµφµ ++++++=03-t

312-t

21 ....u u Y+++ φφ

1-t1t3

12

11 uu...) 1( φφφφµ ++++++=03-t

312-t

21 ....u u Y+++ φφ

11 <φSi entonces

03-t3

12-t2

11-t1t1

....u u uu 11

Y++++++

= φφφφ

µ

Si se supone que Y0= 0 se tiene que la esperanza de Yt es:

( ) ( )....u u uu 11

3-t3

12-t2

11-t1t1

φφφφ

µ +++++

= EYE t

( )1 1

1φ

µ+

=tYE

Dado que la esperanza no es función del tiempo , la serieen cuestión es estacionaria en media , es decir, nopresentaría tendencia determinista .

Para la varianza se tiene ( )[ ]2ttt YE-Y )Var(Y E=

( ) ( )2

12-t

312-t

211-t1t

1 11

....u u uu 11

+−++++

+=

φµφφφ

φµEYE t

[ ]22-t3

12-t2

11-t1t ....u u uu φφφ +++= E

[ 1123-t6

12

2-t4

12

1-t2

12t 2...u u uu −+ ++++= ttuuE φφφφ

]...22 33

122

1 +++ −− tttt uuuu φφ... 26

124

122

12

uuuu σφσφσφσ +++=

( )... 1 61

41

21

2 φφφσ +++= u

( ) 21

2

11φ

σ+

= utYVarDado que la varianza de la serie no esfunción del tiempo, la serie en cuestiónsería estacionaria en varianza , es decir,no presentaría tendencia estocástica.

En definitiva, la serie de tiempo susceptible de serrepresentada por la ecuación

(cuando | φφφφ1111=1| < 1) no presenta tendencia (nideterminista ni estocástica ) ya que es estacionariaen media y varianza .

En los gráficos siguientes se han representado dosseries estacionarias que no presentan tendencia ,pudiendo comprobar que ambas series oscilanalrededor de un valor medio.

t1-t1t u Y Y ++= φδ

2) Tendencia determinista (no estacionaría enmedia)

En este caso el componente tendencial es unafunción del tiempo . Un primer ejemplo es la serie Yt ,que viene determinada por una relación lineal deltiempo .

Así se tiene: donde ut es unavariable aleatoria ruido blanco.

Se puede comprobar que en la ecuación anterior laesperanza de la variable Yt depende del tiempo,mientras que la varianza es independiente del tiempo.

t10t u t Y ++= ββ

( ) t10t u t YE ++= ββ ( ) 2ut YVar σ=

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Un segundo ejemplo de este tipo de modelos es:

donde ut es una variable aleatoria ruido blanco yademás, | φφφφ1111 | < 1.

En este caso, también se puede comprobar que laesperanza de la variable Y t depende del tiempo ,mientras que la varianza es independiente deltiempo . Sustituyendo reiteradamente en la ecuaciónde comportamiento se obtiene:

t1-t110t u Y t Y +++= φββ

( ) 21

2u

2u

61

2u

41

2u

21

2ut 1

1... YVar

φσσφσφσφσ

−=++++=

( ) ( ) ( ) ...2t 1t t -11

YE 12

11111

0t +−+−++= βφβφβφ

β

t1-t110t u Y t Y +++= φββ

( ) ( ) ( ) ...2t 1t t -11

YE 12

11111

0t +−+−++= βφβφβφ

β

( )( ) t1-t2110110 uu 1-t t ++++++= −tYφββφββ( ) t1-t12

21110110 uu 1-t t ++++++= − φφβφβφββ tY

( ) 22

11-t1t111010 u u 1-t t −++++++= tYφφβφββφβ( ) ( ) t1

211110

21010 u 2-t 1-t t ++++++= βφβφββφβφβ

así sucesivamente

... u 33

122

11-t1 ++++ −− tt Yu φφφ

( ) ( ) 2-t 1-t t... 12

111103

102

1010 βφβφββφβφβφβ +++++++=( ) 03

312

211-t11

31 ... u ...3-t Yuuu ttt ++++++++ −− φφφβφ

Si se supone que Y0=0, se obtiene la esperanza

Para la varianza, se tiene ( )[ ]2ttt YE-Y )Var(Y E=

( )2

33

122

11-t1 ... u E ++++ −− ttt uuu φφφ

( )23213

612

41

222 ... 2 2 2... E 3121111

++++++++−−−− −− ttttt

uuuuuuuuuu ttttt φφφφφφ

... 23

61

241

222

1++++= − utuuu u σφσφσφσ

( ) 21

2u

2u

61

2u

41

2u

21

2ut 1

1... YVar

φσσφσφσφσ

−=++++=

En los gráficos siguientes se han representado dosseries que presentan tendencia determinista.

3) Tendencia estocástica ( no estacionaría envarianza)

La característica de los modelos de series de tiempocon tendencia estocástica es que su varianzadepende del tiempo . Entre otros ejemplos, cabedestacar el siguiente modelo, denominado paseoaleatorio o caminata aleatoria :

donde ut es una variable aleatoria ruido blanco.

Si se supone que Y0=0, se puede comprobar que en elmodelo la esperanza de Yt es: E(Yt)=Y0=0 pero suvarianza : es función del tiempo .

t1-tt u Y Y +=

( ) 2ut t YVar σ=

Un segundo ejemplo , dentro de los modelos deseries de tiempo de tendencia estocástica son lasvariables susceptibles de ser modelizadas a través dela ecuación1/ :

donde ut es una variable aleatoria ruido blanco y

además | αααα1111 | < 1.

Al igual que los casos anteriores, sustituyendo Yt-1 por

su valor de forma reiterada, y si se supone que Y0=0.

se obtiene:

1t1-tt )1(u Y Y −−−+= tuα

∑∑ −−−+= itu)1(u Y Y i-t0t α1/ Esta ecuación corresponde al modelo del suavizamiento exponencial simple.

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Se puede comprobar que la esperanza de la serie Yt

es independiente del tiempo:

mientras que la varianza de la serie Yt depende del

tiempo a través de la relación:

( ) 0 YE 0t == Y

( ) t2u

2t YVar σα=

En los gráficos siguientes se representan dos seriesque presentan tendencia estocástica.

4)Tendencia determinista junto con estocástica(no estacionaria en media ni en varianza))

Este tipo de modelos de series de tiempo secaracteriza por el hecho de que tanto la esperanzacomo la varianza de la serie son función deltiempo . Así, por ejemplo, si la serie es susceptible demodelización a través de la ecuación:

donde ut es una variable aleatoria ruido blanco.

Sustituyendo Yt por su valor de forma reiterada seobtiene:

t1-tt u Y Y ++= µ

∑=

++=T

tt Yu

10t t Y µ

Si se supone que Y0=0 se puede comprobar que tantola esperanza como la varianza de la serie Y t sonfunción del tiempo . Así, de la ecuación se obtiene:

( ) 2ut t YVar σ=( ) t YE t µ=

En los gráficos siguientes se representan seriestemporales que presentan tendencia determinista yestocástica simultáneamente.

De forma general, los modelos de series de tiempomás usuales que encontramos en la realidad sepueden deducir a partir de la ecuación

efectuando distintas hipótesis sobre los parámetros,que de forma resumida se presentan en el cuadrosiguiente.

t21-t10t u t Y Y +++= βφβ

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Normalmente es posible transformar muchas serieseconómicas no estacionarias en otrasaproximadamente estacionarias, sometiéndolas atransformaciones algebraicas adecuadas.

A las series no estacionarias que presentan unatendencia lineal se les aplica la primera diferenciapara convertirlas en estacionarias (en media).

Si Xt muestra una tendencia lineal, la primeradiferencia de la serie ya no tendrá esa tendencia. Eneste caso se dice que Xt es una serie de tiempo deprimer orden o integrada de primer orden y sedenota por I(1).

Cómo lograr la estacionariedad de una serie

La eliminación de una tendencia cuadrática puedeconseguirse mediante doble diferenciación . Sidespués de esto la serie ya no incorpora tendencia(es estacionaria), se dice que Xt es una serie detiempo de segundo orden o integrada de orden dos ,I(2).

Análogamente una tendencia de orden p puedeeliminarse llevando a cabo una diferenciación deorden p dando lugar a una serie integrada de ordenp, I(p).

Si hay duda sobre diferenciar o no, o sobre cuántasveces hay que diferenciar , se calcula la varianza dela serie original y de la serie sometida a diferentesdiferenciaciones, tomando como diferenciaciónadecuada aquella con varianza mínima .

La sobrediferenciación suele evitarse observando lasgráficas de las series o bien estableciéndose si en laparte de medias móviles alguna raíz es próxima a launidad.

Si Xt muestra una tendencia exponencial , puedeeliminarse la tendencia hallando primero el logaritmode la serie , y luego la primera diferencia de la nuevaserie. La tendencia quedará eliminada.

La no estacionariedad en varianza suele corregirseaplicando logaritmos o una transformación másgeneral conocida como transformación Box-Cox . Latransformación de Box-Cox consigue estabilizar lavarianza de una serie de tiempo y aproximar sudistribución a una normal.

La eliminación de las variaciones estacionales , parainducir la estacionariedad se suele hacerse casisiempre, mediante la diferenciación estacional . Silos datos son mensuales la diferenciación estacionalde la serie temporal X, consiste en calcular Zt= Xt – Xt-

12. Con datos trimestrales se calcularía Zt = Xt – Xt-4.

Para detectar rápidamente la estacionariedad sepuede utilizar directamente un gráfico de la serie . Sedivide el campo de variación total de la serie envarios intervalos calculándose para cada uno deellos la media y la varianza . Si existe estacionalidadse toma como longitud del intervalo la del períodoestacional . Para ver si la serie es estacionariamedia basta comprobar que las medias de losintervalos no fluctúen mucho . Para ver serie esestacionaria en varianza basta comprobar que lasvarianzas de los intervalos sean más o menosestables (no cambian bruscamente) y se mantienenen una franja estrecha. La figura siguiente ilustraestos conceptos.

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Otro criterio para detectar la estacionariedad en varianza es

el gráfico rango-media de Box-Cox, consistente en

representar los puntos (media, rango) para todos los

intervalos en que se ha dividido la serie.

Un criterio más para detectar la estacionariead es el criterio

de la función de autocorrelación muestra,l FAC. Si los

coeficientes de la FAC no decaen rápidamente hay indicio

claro de falta de estacionariedad en media, lo que nos

llevaría a tomar primeras diferencias de la serie original.

Un criterio formal para detectar la estacionariead sonlos contrastes de raíces unitarias (ADF, PhillipsPerron, etc), que se estudiarán posteriormente.

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