АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ › files › docs › science ›...

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Т. М. Коневских, А. Н. Оглезнева

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

АЛГЕБРА

Допущено методическим советом

Пермского государственного национального

исследовательского университета в качестве

учебно-методического пособия для студентов

механико-математического, экономического и физического факультетов, изучающих дисциплины

«Алгебра и аналитическая геометрия»,«Алгебра»

Пермь 2019

2

УДК 512: 514(075.8)

ББК 22я7

К64

Издание составлено в соответствии с действующими программами курсов

«Алгебра и аналитическая геометрия» и «Алгебра» для студентов первого курса

механико-математического и физического факультетов.

Пособие включает теоретический материал основных тем курсов: «Метод

Гаусса», «Определители», «Матрицы», «Линейные пространства», «Линейные

преобразования линейных пространств», «Матрицы перехода», «Евклидовы

пространства». Особое внимание уделено решению задач, вызывающих

затруднения у студентов. В теоретическом материале содержатся основные

определения, формулы, утверждения и свойства.

Кроме того, в пособии в конце разделов приводятся варианты лабораторной

работы и задания для самостоятельного решения, которые могут быть

использованы при проведении практических занятий. Каждая лабораторная

работа содержит 13 различных вариантов.

УДК 512: 514(075.8)

ББК 22я7

Издается по решению ученого совета

механико-математического факультета

Пермского государственного национального исследовательского университета

Рецензенты: зав. кафедрой физики и математики ФГБОУ ВО ПГФА Минздрава

России, канд. пед. наук В. И. Данилова;

кафедра высшей математики и методики обучения математике ПГГПУ

(и.о. зав. кафедрой, канд. пед. наук, доцент Е. Л. Черемных )

ISBN 978-5-7944-3363-0

© Коневских Т. М., Оглезнева А. Н., 2019

© ПГНИУ, 2019

К64

Коневских Т. М., Оглезнева А. Н.

Алгебра и аналитическая геометрия. Алгебра [Электронный ресурс]:

учеб.-метод. пособие / Т. М. Коневских, А. Н. Оглезнева; Перм. гос.

нац. исслед. ун-т. – Электрон. дан. – Пермь, 2019. – 3,99 Мб; 114 с. –

Режим доступа: http://www.psu.ru/files/docs/science/books/ uchebnie-

posobiya/konevskix-oglezneva-algebra-i-analiticheskaya-geometriya-ch-

1.pdf – Загл. с экрана.

ISBN 978-5-7944-3363-0

http://www.psu.ru/files/docs/science/books/%20uchebnie-posobiya/konevskix-oglezneva-algebra-i-analiticheskaya-geometriya-ch-1.pdf



3

ОГЛАВЛЕНИЕ

РАЗДЕЛ 1. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (МЕТОД ГАУССА) ................................................ 4

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ ........................................................................................................ 7

РАЗДЕЛ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ N-ГО ПОРЯДКА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ .......... 10

§1. ПЕРЕСТАНОВКИ. ПОДСТАНОВКИ ...................................................................................................................... 10 §2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ............................................................................ 11 §3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.......................................................................................................... 13

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ ...................................................................................................... 17

РАЗДЕЛ 3. МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ ............................................................................. 20


РАЗДЕЛ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ...................................................................................................... 30

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА ..................................................................................................... 30 §2. ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ ................................................................................................................. 34 §3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ ............................................... 35 §4. БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. РАНГ МАТРИЦЫ.

РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ ..................................................................................................................................... 38 §5. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В БАЗИСЕ .............................................................. 42 §6. ПОДПРОСТРАНСТВО, ЕГО БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ .............................................................................................. 43 §7. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ. ПРЯМАЯ СУММА ПОДПРОСТРАНСТВ ............................................. 47


РАЗДЕЛ 5. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА .................................................................................................................... 57

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА ................................................................................................................ 57 §2. СВЯЗЬ КООРДИНАТ ВЕКТОРА В РАЗНЫХ БАЗИСАХ .............................................................................................. 57


РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАНГОВ ИХ МАТРИЦ .............................................................................................. 66


РАЗДЕЛ 7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ .......................................... 73

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ................................................................................................. 73 §2. ДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ .............................................................................................. 74 §3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА МАТРИЦЫ ............................................. 82 §4. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ ....................................................................... 82 §5. ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ ........................................................................................... 84 §6. ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ............................................................................. 88


РАЗДЕЛ 8. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА ................................................................................................... 98

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦА ГРАМА ........................................................................ 98 §2. ДЛИНЫ И УГЛЫ. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ. ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ .............................................................. 100 §3. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ ..................................................................................................................... 104 §4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ ........................................................................................................................... 106 §5.ОРТОГОНАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ПОДПРОСТРАНСТВО...................... 107

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ .................................................................................................... 109

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .................................................................................................................................... 113

4

Раздел 1. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

(МЕТОД ГАУССА)

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей уравнений и

неизвестных, называется система вида

(1)

Здесь – неизвестные, – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены,

, . Матрица , составленная из коэффициентов системы, называется

матрицей системы. Расширенной матрицей называется матрица , полученная из матрицы

дополнением столбцом свободных членов.

Решением системы уравнений (1) называется упорядоченная совокупность

действительных чисел удовлетворяющая всем уравнениям системы, т.е.

обращающая все уравнения при замене неизвестных на соответствующие числа в верные

равенства.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и

несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной,

если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое решение

первой системы является решением второй и наоборот. Для того чтобы две совместные

системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных были эквивалентными,

необходимо и достаточно, чтобы каждое уравнение первой системы было линейной

комбинацией уравнений второй системы и наоборот.

Рассмотрим следующие преобразования системы линейных уравнений:

1) перестановку двух уравнений системы;

2) умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого,

умноженных на любое число.

Применяя к системе (1) преобразования 1) – 3), построим эквивалентную систему

специального вида. Для этого возьмем в качестве первого уравнения одно из тех уравнений

системы (1), где коэффициент при отличен от нуля. Далее будем домножать это уравнение

последовательно на , , и прибавлять его почленно к соответствующим

уравнениям системы (1).

В результате получаем систему

(2)

s n

....

..,........................................

,...

,...

2211

22222121

11212111

snsnss

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

nxxx ,...,, 21 ijaib

si ,1 nj ,1 ijaA

B

A

n

n ...,,, 21

1x

11

1

a

ai si ,2

....

....,..............................

,...

,...

22

22222

11212111

snsns

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxaxa

5

во всех уравнениях которой, начиная со второго, будет исключено неизвестное . При этом

может случиться, что вместе с будут исключены неизвестные , , но будет

найдено уравнение, в котором сохранится . Используем его в качестве второго уравнения

системы. Из всех оставшихся уравнений, кроме первых двух, исключим неизвестное , для

чего будем умножать второе уравнение на и прибавлять ко всем последующим, т. е.

и т. д.

В результате такого последовательного исключения неизвестных в каком-нибудь

уравнении системы все коэффициенты при неизвестных могут обратиться в нуль. Если при

этом свободный член будет отличен от нуля, то полученная система несовместна, а значит,

несовместна и эквивалентная ей система (1). Если же свободный член какого-нибудь

уравнения обратится в нуль вместе со всеми коэффициентами при неизвестных в этом

уравнении, то это уравнение из системы можно исключить, так как оно не накладывает

никаких ограничений на неизвестные.

Таким образом, после последовательного исключения неизвестных число уравнений в

получающихся при этом системах может только уменьшиться.

В результате придем к системе одного из видов:

(3)

или

(4)

Система (3) называется системой треугольного вида и, очевидно, имеет единственное

решение. Система (4) называется системой трапецеидального (ступенчатого) вида и имеет

бесконечно много решений.

Действительно, если систему (4) переписать в виде

(5)

то, придавая неизвестным произвольные значения, можно для каждого набора

решить систему (5) и получить набор , который

будет являться решением системы (5) и, следовательно, системы (1).

1x

1x12 ,..., kxx nk

kx

kx

k

ik

a

a

2

si ,3

.

......,....................

,...

,...

22222

11212111

nnnn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

....

...,..............................

,...

,...

22222

11212111

mnmnmmm

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxaxa

nm

....

......,..................................................

,...

,...

11

2211222222

111111212111

nmnmmmmmmm

nnmmmm

nnmmmm

xaxabxa

xaxabxaxa

xaxabxaxaxa

nm xx ,...,1

0011 ,..., nnmm xxxx 00

100

201 ,...,,,,, nmm xxxxx

6

При этом неизвестные принято называть свободными, а – основными.

Очевидно, легко выразить основные неизвестные через свободные, т. е. получить общий вид

решения.

При практическом решении системы (1) все описанные преобразования удобно

применять не к самой системе, а к расширенной матрице системы:

.

Пример 1. Решить систему:

Решение. Составим и преобразуем матрицу следующим способом: элементы первой строки

первой матрицы умножаем последовательно на (2), (1), (1) и прибавляем к

соответствующим элементам второй, третьей и четвертой строк соответственно. При переходе

от второй к третьей матрице первую строку оставляем неизменной, а элементы второй

прибавляем к элементам четвёртой. При переходе от третьей матрицы к четвёртой третью

строку умножаем на (1) и прибавляем к четвертой.

.

Полученное четвертое уравнение системы противоречиво, поэтому система несовместна.


Решение. Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем ее таким

преобразованиям, чтобы она получила треугольный или трапецеидальный вид:

.

Восстановим систему линейных уравнений по последней матрице

Полученная система, эквивалентная данной системе, совместна. Найдем ее решения.

Для этого перепишем ее в следующем виде:

nm xx ,...,1 mxx ,...,1

ssnss

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

...

...

.132

,3

,122

,13

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

1

4

3

1

000

400

410

311

)1(

5

4

3

1

400

400

410

311

2

4

3

1

010

400

410

311)1()1()2(

1

3

1

1

321

111

212

311

.662

,552

,12

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

1

1

1000

1211

0

1

1

0000

1000

1211

)1(

1

1

1

1000

1000

1211

)71(

61

7

6

1

7000

6000

1211)1()1(

6

5

1

6211

5211

1211

.1

,12

4

4321

x

xxxx

7

Очевидно, если неизвестным и придавать любые значения, то получим решение

системы: если и , то , .

Таким образом, имеем общий вид решения: , , , , где

– любые числа.


Решение. Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем ее таким

преобразованиям, чтобы она получила треугольный или трапецеидальный вид:

Полученную в шестой матрице нулевую строку удалим. Наша система приведена к

треугольному виду и имеет единственное решение. Найдем ее решение. Для этого представим

систему в следующем виде:

Получаем решение: .

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

ВАРИАНТ 1

Решить системы методом Гаусса

.1

,21

4

3241

x

xxxx

2x3x

12 Сx 23 Сx 14 x 211 2ССx

211 2ССx 12 Сx 23 Сx 14 x

21,СС

.74

,11332

,2

,724

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.

1

3

2

100

110

111

0

1

3

2

000

100

110

111

)1()2(

3

5

3

2

110

120

110

111

3

3

5

2

110

110

120

111

)5/1(

)5/1(

)3/1(

15

15

15

2

550

550

360

111)4()2()4(

7

11

7

2

114

332

124

111

7

11

2

7

114

332

111

124

.1

,3

,2

3

32

321

x

xx

xxx

1,2,1 321 xxx

.64233

,124358

,6234

,422

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.293822

,132533

,23422

,1323

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.1278

,7532

,9934

,8852

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

8

ВАРИАНТ 2


ВАРИАНТ 3


ВАРИАНТ 4


ВАРИАНТ 5


ВАРИАНТ 6


.343

,3232

,125

,251132

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.1224

,9138436

,354236

,2322

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.132

,3

,122

,13

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.372983

,4079102

,1123

,20452

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.22369

,7223

,32423

,132546

54321

4321

54321

54321

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

.14332

,75

,53

,22

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.87353

,8586

,65353

,3243

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.11472

,534563

,4232

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.6133

,34

,053

,332

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.032

,32365

,622

,22497

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.12372

,02324

,43224

,543236

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.0417

,0453

,032

,023

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.11293

,12243

,1349

,44256

421

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

.123345

,23622

,2323

,7

54321

5432

54321

54321

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

.727

,152

,223115

,534

,4232

4321

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

9

ВАРИАНТ 7


ВАРИАНТ 8


ВАРИАНТ 9


ВАРИАНТ 10


ВАРИАНТ 11


.862

,5942

,3215247

,1362

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.023

,02

,02

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.182547

,1553

,8324

,10233

,212568

4321

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.422

,82223

,3263

,1842

321

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

.2642

,3

,122

,13

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.202975

,122773

,73892

,2254

,332

4321

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.8364

,72695

,1373

,5352

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.7532

,2414162

,8852

,9934

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.42320161210

,94132212018

,83729221816

,52724151412

54321

54321

54321

54321

хxxxx

хxxxx

хxxxx

хxxxx

.2294

,342

,3532

,3523

4321

421

4321

4321

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

.14332

,75

,22

,10262

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.6910299753560

,588382602848

,436261452136

,284140301424

54321

54321

54321

54321

хxxxx

хxxxx

хxxxx

хxxxx

.78232

,123

,3322

,7534

4321

321

4321

4321

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

.11177142

,1755104

,122

,122

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.1110948

,98736

,76524

,5432

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

10

ВАРИАНТ 12


ВАРИАНТ 13


Раздел 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ N-ГО ПОРЯДКА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

§1. Перестановки. Подстановки

Пусть дано упорядоченное множество n элементов. Расположение n элементов в

определенном порядке называется перестановкой из n элементов.

Так как каждый элемент имеет свой номер, будем говорить, что дано n натуральных

чисел.

Число различных перестановок из n чисел равно n!.

Если в некоторой перестановке из n чисел число стоит раньше , но , т.е. большее

число стоит раньше меньшего, то говорят, что пара составляет инверсию.

Пример 1. Определить число инверсий в перестановке .

Решение. Числа 5 и 4, 5 и 3, 5 и 2, 4 и 3, 4 и 2, 3 и 2 образуют инверсии. Общее число инверсий

в данной перестановке равно 6.

Перестановка называется четной, если общее число инверсий в ней четное, в

противном случае она называется нечетной. В рассмотренном ранее примере дана четная

перестановка.

Пусть дана некоторая перестановка (*). Преобразование, при котором числа

и меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией.

После транспозиции чисел и в перестановке (*) получится перестановка , где

все элементы, кроме и , остались на своих местах.

От любой перестановки из n чисел можно перейти к любой другой перестановке из этих

чисел с помощью нескольких транспозиций.

Всякая транспозиция меняет чётность перестановки. При 2n число чётных и

нечётных перестановок из n чисел одинаково и равно .

.23

,0243

,6332

,322

4321

4321

4321

421

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

.0417

,0453

,032

,023

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.635221927

,1748363247

,1645282135

,343292336

,952342845

4321

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.3263

,1842

,422

,82223

4321

4321

321

4321

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

.152

,727

,534

,4232

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.045

,022

,04

,0232

,0

421

4321

421

4321

4321

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

i j ji

j,i

),,,,( 23451

,...j,...,i...,

i j

i j ,...i,...,j...,

i j

2

!n

11

Пусть – упорядоченное множество из n элементов. Всякое биективное

преобразование множества называется подстановкой n-й степени.

Подстановки записывают так: , где , и

все различны.

Подстановка называется четной, если обе ее строки (перестановки) имеют одинаковую

четность, т.е. либо обе четные, либо обе нечетные. В противном случае подстановка

называется нечетной.

При 2n число четных и нечетных подстановок n-й степени одинаково и равно .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

В задачах 1-6 определить число инверсий в перестановках.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. В какой перестановке чисел число инверсий наибольшее и чему оно равно?

8. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на -м месте перестановки?

9. Сколько инверсий образует число n, стоящее на -м месте перестановки чисел ?

10. Перемножить подстановки: .

11. Найти подстановку из равенства , где

, , .

§2. Определение определителя. Свойства определителей

Определителем квадратной матрицы второго порядка называется

число .

Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя матрицы

используют следующие обозначения: , .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка называют

число .

M

M

niii

n

21

21 n...,,,ik 21 n...,,,k 21

ki

2

!n

)4,5,2,1,3,6(

)8,7,4,5,2,3,6,9,1(

)2,...,6,4,2,12,...,5,3,1( nn

)12,...,5,3,1,2,...,6,4,2( nn

)3,...,9,6,3,13,...,8,5,2,23,...,7,4,1( nnn

)23,...,7,4,1,13,...,8,5,2,3,...,9,6,3( nnn

n,...,3,2,1

k

k n,...,2,1

21435

54321

31542

54321

X CBXA

4561237

7654321А

6547213

7654321В

2746315

7654321С

А

2221

1211

аа

ааА

21122211 ааааА

А

,А Аdet А

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

112332311221332213321321312312332211 ааааааааааааааааааА

12

Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы

представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждого столбца

и каждой строки. Для определения знака произведения полезно знать правило, называемое

правилом треугольника, схематически изображённое на рис.1:

«+» «-»

Рис. 1

Пример 2. Вычислить определитель 3-го порядка по правилу треугольника

.

Решение.

Пусть – матрица -го порядка с комплексными элементами:

Рассмотрим всевозможные произведения элементов матрицы , взятых по одному из каждой

строки и каждого столбца: (1). Эти произведения будем называть членами

определителя . По каждому члену (1) составим подстановку (2).

Определителем -го порядка, или определителем квадратной матрицы при

, называется алгебраическая сумма всевозможных произведений вида (1), причём

произведение (1) берётся со знаком «+», если соответствующая ему подстановка (2) чётная, и

со знаком «-», если подстановка нечётная.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из

исходного вычёркиванием -й строки и -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называют число

, где – минор элемента .

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1. Определитель не изменяется при замене всех строк соответствующими столбцами

(определитель не изменится при транспонировании).

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (или столбцами)

равен нулю.

4. Общий для всех элементов строки (или столбца) множитель можно вынести за знак

определителя.

501

216

432

.82022536)1(14064)1(23512

501

216

432

А n

.

aaa

aaa

ааа

A

nnnn

n

n

21

22221

11211

А

nniii a...aa

22

11

А

ni...ii

n...

21

21

n ijaА 1n

ijM ija

i j

ijA ija

ijji

ij M)(A 1 ijM ija

13

5. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца)

прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на

одно и то же число, отличное от нуля.

6. Если все элементы некоторой строки (или столбца) определителя равны нулю, то он

равен нулю.

7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) и их

алгебраических дополнений (свойство разложения определителя по строке (или

столбцу)).

§3. Методы вычисления определителей

Рассмотрим некоторые способы вычисления определителей порядка n.

1. Условие равенства определителя n-го порядка нулю. Если в определителе n-го порядка

хотя бы одна строка (или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

2. Сведение вычисления определителя n-го порядка к вычислению определителя порядка

. Пусть в определителе n-го порядка какая-то строка содержит отличные от нуля

элементы. Вычисление определителя n-го порядка можно свести в этом случае к

вычислению определителя порядка . Действительно, используя свойства

определителя, можно все элементы какой-либо строки, кроме одного, сделать нулями, а

затем разложить определитель по указанной строке. Например, переставим строки и

столбцы определителя так, чтобы на месте находился отличный от нуля элемент:

.

Тогда элементы первого столбца умножаем на и прибавляем к элементам второго, затем

элементы первого столбца, умноженные на , прибавляем к элементам третьему и т.д.

Получаем определитель вида

Заметим, что переставлять строки (или столбцы) не обязательно. Можно нули получать в

любой строке (или столбце) определителя.

Общего метода вычисления определителей порядка n не существует, если не считать

вычисления определителя заданного порядка непосредственно по определению. К

определителю того или иного специального вида применяются различные методы

вычисления, приводящие к более простым определителям.

3. Приведение к треугольному виду. Используя свойства определителя, приводим его к так

называемому треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от

главной диагонали, равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен

произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Если удобнее получить нули

по одну сторону от побочной диагонали, то он будет равен произведению элементов

побочной диагонали, взятому со знаком . Действительно, произведение

1n

1n

11a

nnnn

n

n

aaa

aaa

ааа

21

22221

11211

11

12

a

a

11

13

a

a

.

00

2

222

11

21

22221

11

nnn

n

nnnn

n

aa

aa

а

aaa

aaa

а

2

1

1)n(n

14

является членом определителя и его знак определяет , где – число

инверсий в перестановке . Следовательно,

.

Пример 3. Вычислить определитель разложением по строке:

.

Решение. Разложим данный определитель по первой строке:

Пример 4. Вычислить определитель четвёртого порядка:

.

Решение.

1-й способ: Приведём определитель к треугольному виду. Для этого умножаем элементы

первой строки последовательно на (-1), 1, (-2) и прибавляем соответственно к элементам

второй, третьей и четвёртой строк:

.

2-й способ: Вычислим этот определитель разложением по строке. Предварительно

преобразуем его так, чтобы в какой-то его строке все элементы, кроме одного, обратились в

ноль. Для этого прибавим элементы первой строки определителя к элементам третьей. Затем

умножим элементы третьего столбца на (-5) и прибавим к элементам четвёртого столбца.

Преобразованный определитель раскладываем по третьей строке. Минор третьего порядка

приводим к треугольному виду относительно главной диагонали.

1121 nnn a,...,a,a s)1( s

1,2,...,2,1, nnn

2

)1(1...)2()1(

nnnns

724

511

032

.733934)13()3()17()2(

24

11)1(0

74

51)1(3

72

51)1()2(

724

511

032312111

8242

5321

3651

5121

12)2(231

2000

10200

2730

5121

8242

5321

3651

5121

.12

200

3730

1021

2

1842

2751

1021

)1(2

18242

0200

27651

10121

8242

10200

3651

5121

8242

5321

3651

5121

33

15

Пример 5. Вычислить определитель n-ого порядка:

Решение. Вычтем из элементов первой строки соответствующие элементы второй, из второй

– третью и т.д., наконец, из элементов предпоследней – элементы последней (последняя строка

остается без изменений).

Получим

Элементы последней строки представим в виде суммы двух слагаемых: 0+1, 0+1, …, 0+1,

(n1)+1. Исходя из свойства аддитивности, будем иметь

Первый определитель в сумме – треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому

он равен произведению диагональных элементов, т.е. . Второй определитель в сумме

преобразуем, прибавив элементы последней строки к элементам всех предыдущих строк

определителя. Полученный после преобразования определитель будет треугольного вида

относительно главной диагонали, поэтому он будет равен произведению диагональных

элементов, т.е. :

4. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Если в определителе выделить

строк (или столбцов) ( ), то определитель равен сумме произведений всех

миноров -го порядка, расположенных в выделенных строках (или столбцах), на их

алгебраические дополнения.

n

nn

n

nn

nnn

1111

1111

3411

2311

1221

n

n

n

n

n

1111

11000

11100

11110

11111

11111

11000

11100

11110

11111

10000

11000

11100

11110

11111

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn )1(

1nn

.)1(

11111

0111

0011

0001

0000

)1( 1 nnn nn

n

n

n

n

n

k 11 nk

k k

16

Пример 6. Вычислить определитель

Решение. В определителе десять миноров второго порядка, расположенных во второй и пятой

строках, но только три из них отличны от нуля. Поэтому данный определитель удобнее

разложить по второй и пятой строкам:


1. Выяснить, какие произведения входят в определители соответствующих порядков и с

какими знаками:

a) 𝑎43𝑎21𝑎35𝑎12𝑎54,

b) a61a23a45a36a12a54 , c) a27a36a51a74a25a43a62, d) a33a16a72a27a55a61 .

2. Выбрать такие значения и , чтобы произведение входило в

определитель 6-го порядка со знаком «минус».

3. Выбрать значения и , чтобы произведение входило в

определитель 7-го порядка со знаком «плюс».

.

07064

34251

12543

05043

53412

.42100982)5644(98

247

8114922

37

1911

213

137)2(2

2218

1911

213

721)1(2

321

810

100

2

22180

19110

541

3213

100

5721

2

321

153

542

2

325

154

541

342

125

534

2

321

153

542

)1(76

54

325

154

541

)1(74

53

342

125

534

)1(64

43

32

425241522152

i k 2146433562 aaaaaa ki

i k 312475516347 aaaaaaa ki

17


ВАРИАНТ 1

Вычислить определители

ВАРИАНТ 2


ВАРИАНТ 3


ВАРИАНТ 4


.

;

3572

6215

5432

6567

;

20102

12031

03021

02310

00321

.

11111

14444

14333

14322

14321

nnnnnn

nnnnnn

nn

nn

nn

nn

;

2432

8746

1712

4523

.

1321

000

0000

000

000

nn

aa

a

aa

aa

;

1712

2432

4423

2532

.

xaaa

axaa

aaxa

aaax

;

1874

3243

3452

1253

;

10200

04201

00123

12012

21010

xxxxx

xxxnx

xxxx

xxxx

xxxx

3

2

1

18

ВАРИАНТ 5


ВАРИАНТ 6


ВАРИАНТ 7


ВАРИАНТ 8


;

3452

5171

1874

1253

;

61111

15111

11411

11131

11112

.

222

2322

2222

2221

n

;

2465

3512

5723

3212

;

32100

03210

00321

11110

01111

.1

31

231

1231

1231

123

12

1

aaaaa

aaaan

aaann

aann

ann

nn

n

;

2353

4176

3152

1572

;

21332

42465

23513

15723

23212

.

4321

44321

33321

22221

11111

n

;

2133

4246

2351

1572

;

51712

18746

32432

34523

12532

.

11...0000

1...

0...0000

.....................

00...110

00...011

00...001

1

1

32

21

1

n

nn

n

b

bb

b

bb

bb

b

19

ВАРИАНТ 9


ВАРИАНТ 10


.

ВАРИАНТ 11


ВАРИАНТ 12


;

3884

7357

2579

4856

;

07064

34251

12543

05043

53412

.

abbb

babb

bbab

bbba

;

7456

8585

10589

2223

;

32215

54236

70403

30201

43127

.

111

111

111

111

n

n

n

n

;

78210

4525

5828

9539

;

61111

15111

11411

11131

11112

.3

2

1

nnnn

nnn

nnn

nnn

;

8233

6452

6544

7855

;

48677

21235

48613

36344

24355

.

24444

422444

44644

44444

44442

n

n

20

ВАРИАНТ 13


Раздел 3. МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Пусть дана матрица , где – некоторые числа, ,

. Будем ее обозначать .

Две матрицы: и – называются равными, если их размеры (число строк

и число столбцов) совпадают и соответствующие элементы равны, т.е. при всех , .

Суммой двух матриц одинаковых размеров: и – называется матрица

(обозначается ) тех же размеров, элементы которой определяются

равенствами для всех , .

Произведением матрицы на число называется матрица (обозначается

), элементы которой определяются равенством для всех , .

Для этих операций справедливы следующие свойства:

1. ;

2. ;

3. , что , где 0 – нулевая матрица;

4. для , что ;

5. ;

6. ;

7. .

Произведением матриц размером и размером называется

матрица размером , элементы которой определяются равенством

, , .

Таким образом, каждый элемент матрицы , расположенный в -й строке и -м

столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и

элементов -го столбца матрицы .

Замечание. Произведение матриц и существует только при условии, что число столбцов

матрицы равно числу строк матрицы .

;

78210

4525

5828

6539

;

21332

42465

23513

15723

23212

.

0111

111

111

1110

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

ааа

A

21

22221

11211

ija mi ,1 nj ,1

ijaА

ijaА ijbB

ijij ba i j

ijaА ijbB

ijcC BAC

ijijij bac i j

ijaА ijbB

AB ijij ab i j

ABBA

CBACBA )()(

0 AA 0A )( A 0)( AA

BABA )(

AAA )(

AA )()(

ijaА pm ijbB np

ijcC nm

p

k

kjikpjipjijiij babababac1

2211 ... mi ,1 nj ,1

BAC i j

i A

j B

А B

А B

21

Отметим основные свойства произведения матриц (считаем, что все приведенные

произведения имеют смысл):

1. в общем случае отсутствует коммутативность ;

2. , где 0 – нулевая матрица;

3. , где – единичная матрица;

4. ;

5. ;

6. ;

7. если и - квадратные матрицы одного порядка, то

.

Перестановочными называются матрицы и , для которых .

Рассмотрим квадратную матрицу . Матрица такая, что , называется

обратной к матрице и обозначается , т.е. .

Теорема: Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она

была невырожденной (т.е. ).

Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная

матрица. Она имеет вид:

,

где – алгебраическое дополнение элемента в , причём элементами -й строки

матрицы являются алгебраические дополнения элементов -го столбца матрицы

.

Пример 1. Найти произведение матриц: и (если они существуют)

, .

Решение. Найдем произведение матриц . Оно существует, так как количество столбцов

матрицы (равно 4) совпадает с количеством строк матрицы (равно 4). Матрица

будет состоять из двух строк и двух столбцов.

Найдем произведение матриц . Оно существует, так как количество столбцов матрицы

(равно 2) совпадает с количеством строк матрицы (равно 2). Матрица будет

состоять из четырёх строк и четырёх столбцов.

ABBA

000 AAAAEEA E

CBCACBA )(

CABACBA )(

)()( CBACBA

А B BABA detdet)det(

А B ABBA

А B ЕABBA

А 1А ЕAААA 11

А

0det A

ijaА

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AA

21

22221

11211

1

det

1

ijA ija А i

1А i ijaА

BA AB

3215

0432А

04

01

10

21

В

BA

А B BAС

.1115

76

0302)1()1(2543)1(20)1(15

0004)1(32)2(40)1(4031)2(

04

01

10

21

3215

0432

С

AB B

А ABD

22

Пример 2. Найти матрицу, обратную матрице .

Решение.

1-й способ: Находим определитель матрицы : . Так как , то обратная

матрица существует.

Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы . Напоминаем, что

алгебраическое дополнение элемента находится по формуле .

Для элементов матрицы получаем

Составим обратную матрицу:

.

Проверка:

.

2-й способ: Найдём с помощью элементарных преобразований над строками матрицы:

Полученная справа матрица является обратной к данной.

.

016128

0432

3215

6818

30042044)1(03450)2(4

300)1(204)1()1(03)1(50)2()1(

3)1(002)1(40)1()1(305)1()2(0

32012241)1(23152)2(1

3215

0432

04

01

10

21

D

131

230

100

A

A 3det A 0

A

ija ijji

ij MA )1(

A

913

231

1111

A 3

13

101

321

A 3

23

101

431 A

211

201

312

A 1

11

101

422

A 0

20

101

532 A

331

301

4

13 A 031

001

523 A .0

30

001

633 A

001

03132

113

003

012

339

3

11

332313

322212

312111

1

ААА

ААА

ААА

А

100

010

001

131

230

100

001

03132

1131 АА

1А

.

001

03132

113

100

010

001

001

012

113

100

030

001

001

010

110

100

230

301

001

010

100

100

230

131

100

010

001

131

230

100

23

Выражения , , , где – матрицы и –

неизвестная матрица, называются матричными уравнениями.

Если матрица невырожденная, то уравнения , имеют единственное

решение, соответственно и . Если матрица – вырожденная, то

элементы матрицы принимаем за неизвестные, вычисляем произведение матриц и

приравниваем соответствующие элементы матриц левой и правой части уравнения.

Пример 3. Решить матричное уравнение .

Решение. Так как , то матричное уравнение имеет единственное решение:

.

Находим обратную матрицу для матрицы .

, , , ,

поэтому

, .

Проверка:

, .

Получаем ответ: .

Пример 4. Найти все решения уравнения .

Решение. Для матрицы обратная матрица не существует, так как ее определитель

равен 0. Запишем искомую матрицу в виде . Тогда данное уравнение примет вид

или

Откуда получаем систему уравнений

Для нахождения ее решения достаточно найти решение системы

CBXA BXA BAX CBA ,, X

A BXA BAX

BAX 1 1 ABX A

X

22

23

23

12X

0123

12

22

23

23

121

X

23

12

211 A 312 A 121 A 222 A

23

12

23

121

25

24

22

23

23

12X

22

23

25

24

23

12

22

23

22

23

25

24X

42

21

64

32X

64

32

43

21

xx

xxX

42

21

64

32

43

21

xx

xx

.42

21

6464

3232

4231

4231

xxxx

xxxx

.464

,232

,264

,132

42

42

31

31

хх

хх

хх

хх

24

Эта система имеет бесчисленное множество решений:

, где – любые числа.

Ответ: Данному уравнению удовлетворяет бесчисленное множество матриц вида

,

где – любые числа.


1. Если матрицы и можно умножать, то следует ли из этого, что их можно

складывать? Если матрицы и можно складывать, то следует ли из этого, что их

можно умножать?

2. Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную? Может ли произведение

неквадратных матриц быть квадратной матрицей?

3. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица?

4. Могут ли совпадать и ? Как выглядит матрица ?

5. Верно ли равенство ?





10. Могут ли быть эквивалентными матрицы с различным количеством строк? Столбцов?

11. Обязательно ли существует произведение , если ?

12. Как изменится произведение матриц и , если переставить -ю и -ю строки

матрицы ?

13. Как изменится произведение матриц и , если к элементам -й строки матрицы

прибавить элементы -й строки, умноженные на число ?

14. Как изменится произведение матриц и , если переставить -й и -й столбцы

матрицы ?

.232

,132

42

31

хх

хх

)32(2

1 ),31(

2

14231 xxxx 43 , xx

43

43

2

)32(

2

)31(

xx

xx

43 , xx

А B

А B

А ТА ТТА

ТТТBАBА

22 EАEАEА

EAАEА 222

22 BАBАBА

2222 BBAАBА

AB EBA

А B i j

А

А B i А

j с

А B i j

B

25


ВАРИАНТ 1

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все матрицы второго порядка, произведение которых на транспонированную

матрицу равно единичной матрице.

4. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера, матричным методом и

методом Гаусса:

ВАРИАНТ 2



3. Найти все решения матричного уравнения .

4. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера, матричным методом и методом

Гаусса:

ВАРИАНТ 3



3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

31

42

54

32X

124

132

001

А

.8232

,4223

,8322

,6232

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

20

31

31

42X

111

020

231

A

2442

2859

21

13

13

21X

.5234

,1223

,1322

,5432

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

01

10

20

31

12

01X

100

120

231

A

11

32

26


Гаусса:

ВАРИАНТ 4





Гаусса:

ВАРИАНТ 5





Гаусса:

ВАРИАНТ 6


.5534

,12523

,432

,543

321

421

431

432

ххх

ххх

ххх

ххх

35

21

42

32X

111

223

200

A

410

25

64

32X

.633

,623

,62333

,4232

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

62

84

106

117X

111

213

542

A

32

21

43

21

22

11X

.2520104

,121063

,4432

,0

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

20

31

12

01

01

10X

27




Гаусса:

ВАРИАНТ 7





Гаусса:

ВАРИАНТ 8





Гаусса:

222

020

412

A

189

42

84

63X

.16537

,4375

,0753

,12753

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

610

42

108

1711X

328

112

001

A

25

37

.1255

,325

,332

,3432

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

20

31

21

10X

200

110

132

A

64

32

64

32X

.7232

,7223

,1322

,15232

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

28

ВАРИАНТ 9



3. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны единичной матрице.


Гаусса:

ВАРИАНТ 10





Гаусса:

ВАРИАНТ 11





Гаусса:

31

12

25

13X

001

621

420

A

.2234

,3223

,10322

,13432

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

32

01

42

32X

1064

475

311

A

43

21

.3534

,10523

,632

,943

421

421

431

432

ххх

ххх

ххх

ххх

64

02

02

34X

100

210

321

A

10

11

.1133

,023

,42333

,7232

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

29

ВАРИАНТ 12



3. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матрице.


Гаусса:

ВАРИАНТ 13





Гаусса:

12

01

10

32

13

14X

121

011

322

A

.220104

,31063

,2432

,0

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

20

31

31

42X

100

210

721

A

11

21

.0537

,12375

,0753

,20753

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

30

Раздел 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§1. Определение линейного пространства

Пусть – некоторое множество, элементы которого называются векторами, причём

любой упорядоченной паре векторов сопоставлен единственный вектор ,

который называется суммой векторов и и обозначается . Пусть также –

некоторое поле, элементы которого называются скалярами, и для любого скаляра и

любого вектора определён единственный вектор , который называется

произведением скаляра на вектор , или произведением вектора на скаляр , и

обозначается . Множество называется линейным пространством над полем , если

выполняются следующие аксиомы:

1. Для любых элементов имеет место равенство (коммутативный

закон сложения);

2. Для любых элементов имеет место равенство

(ассоциативный закон сложения элементов из );

3. В множестве есть такой элемент (обозначим его символом и назовем нулевым

элементом), что для любого элемента имеет место равенство (особая

роль нулевого элемента);

4. Для любого элемента в этом множестве есть элемент (обозначим его символом

и назовем его противоположным элементом ), при котором ;

5. Для любого элемента и числа имеет место равенство (особая роль

числа 1).

6. Для любых чисел и любого элемента имеет место равенство

(ассоциативный закон умножения элементов поля ).

7. Для любых чисел и любого элемента имеет место равенство

(дистрибутивный закон относительно суммы элементов поля ).

8. Для любого числа и любых элементов имеет место равенство

(дистрибутивный закон относительно суммы элементов из ).

Чаще всего в качестве поля рассматривают поле действительных чисел (и тогда

называют вещественным векторным пространством, или просто векторным

пространством), или поле комплексных чисел (в этом случае – комплексное векторное

пространство). Независимо от природы линейного пространства всякий его элемент

называют вектором.

Приведем примеры линейных пространств. Если для множеств не указаны в тексте

правила сложения элементов и умножения элементов на число, то их следует задавать так, как

это было сделано в изучаемых ранее разделах курсов «Алгебра» и «Аналитическая

геометрия», где эти множества были определены и изучены.

Пример 1. Является ли множество всех векторов в трёхмерном пространстве

действительным линейным пространством?

Решение. Если векторы , то вектор суммы определён для взятых и

однозначно.

Если – действительное число, вектор , то . Таким образом, требования

замкнутости операций сложения элементов из множества и умножения элементов из

множества на действительное число из поля определения линейного пространства для

множества выполняются.

Выполнение всех аксиом, кроме пятой, было установлено в курсе «Аналитическая

геометрия». Рассмотрим вектор . Согласно определению умножения вектора на число,

вектор сонаправлен с вектором . Его длина равна длине вектора

L

Lyx , Lz

x y yx P

Pk

Lx Ld

k x x k

kx L P

Lyx , xyyx

Lyx , )()( zyxzyx

L

L 0

Lx xx 0

Lxx x 0)( xx

Lx P1 xx 1

P , Lx

)()( xx P

P , Lx

xxx )( P

P Lyx ,

yxyx )( L

P R L

C L

L

Lyx , Lyx x y

Lx LxL

L P

L

x1

x1 x xxxx 111

31

. Следовательно, векторы и равны, т.е. , следовательно, пятая аксиома имеет

место для векторов множества .

Итак, для множества и поля действительных чисел выполняются все требования

определения линейного пространства, поэтому является действительным линейным

пространством.

Пример 2. Пусть – множество всех упорядоченных систем произвольных

действительных чисел , т.е . Два элемента из

: , - называются равными, если . Числа

называют компонентами . Суммой элементов и назовем элемент

и обозначим его . Произведением действительного числа на

элемент назовем элемент и обозначим его . Покажем, что является

действительным линейным пространством относительно введённых операций.

Решение. Согласно условию примера требования замкнутости операций сложения элементов

множества и умножения элементов множества на действительное число из поля

при определении линейного пространства для множества выполняются.

Осталось проверить выполнение восьми аксиом.

1. Пусть , . Тогда и

. Так как сложение действительных чисел подчиняется закону

коммутативности поэтому , значит .

2. Выполнение второй аксиомы проверяется аналогично с использованием

ассоциативного закона для сложения действительных чисел.

3. Роль нулевого элемента в играет элемент . Действительно,

.

4. Для элемента противоположным элементом является ,

так как .

5. Поскольку , то .

6. Если – любые действительные числа, то

7. Пусть – любые действительные числа, тогда

Следовательно, .

8. Если – любое действительное число, то

т.е. .

Таким образом, для множества над полем действительных чисел выполняются все

требования определения, поэтому является линейным действительным пространством.

называют арифметическим n-мерным пространством.

x x1 x xx 1L

L P

L

nA n

x, .., x, xx n )( 21 niRxхххA in

n 1, , ,...,, 21

nA )( 21 n, .., x, xxх )( 21 n, .., y, yyy ,ii yx ni ,1

nxx .., ,1 x x y

),..,( 11 nn yxyx yx

x ),..,( 1 nxx x nA

nA nA PnA

),..,( 1 nxxx ),..,( 1 nyyy ),..,( 11 nn yxyxyx

),..,( 11 nn xyxyxy

,iiii xyyx ni ,1 xyyx

nA )0,..,0(0

xxxxxx nn ),..,()0,..,0(0 11

),..,( 1 nxxx ),..,( 1 nxxx

0)0,..,0())(),..,(()( 11 nn xxxxxx

xxxxxx nn ),..,()1,..,1(1 11 xx 1

,

.),..,(),..,(),..,(),..,(

),..,())(,..,)(()(

1111

111

xxxxxxxxxx

xxxxxxx

nnnn

nnn

,

).(),..,())(),..,(())(,..,)(()( 111 xxxxxxxx nnn

)()( xx

,),..,(),..,(),..,(),..,(

),..,())(),..,((),..,()(

1111

11111111

yxyyxxyyxx

yxyxyxyxyxyxyx

nnnn

nnnn

yxyx )(

nA PnA

nA

32

Пример 3. Является ли действительным линейным пространством множество всех

векторов из , компоненты которых удовлетворяют условию , если операции

сложения векторов и умножения векторов на число определить так же, как и в примере 2?

Решение. Пусть , – любые два вектора из . Тогда ,

. Рассмотрим вектор . Так как

, то вектор .

Таким образом, для множества не выполняется требование замкнутости операции сложения

элементов множества при определении линейного пространства, поэтому это множество не

является линейным пространством.

Пример 4. Проверить, является ли линейным действительным пространством множество

всех векторов плоскости, образующих с данным ненулевым вектором угол , .

Решение. образует угол с вектором , а вектор - угол . Множество

не является линейным пространством, так как .

Пример 5. В множестве положительных действительных чисел определены следующие

операции:

а) ;

б) .

Показать, что множество относительно указанных операций является действительным

линейным пространством.

Решение. В условии задачи определены операции сложения элементов множества и

умножения элементов множества на число из поля . Проверим выполнение восьми

аксиом:

1. , . Так как , поскольку , то .

2. , . Но , поскольку ,

поэтому .

3. , т.е. нулевым элементом является число 1.

4. , поэтому число играет роль противоположного элемента для . Так

как не содержит числа 0, то всякий элемент из имеет противоположный ему

элемент.

5. .

6. .

7. .

8. .

Таким образом, все требования определения линейного пространства для R+

выполнены, поэтому является действительным линейным пространством.

LnA 1..1 nxx

),..,( 1 nxxx ),..,( 1 nyyy L 1..1 nxx

1..1 nyy ),..,( 11 nn yxyxyx

12)()()(...)( 212111 nnnn yyyхххyxyx Lyx

L

L

М

a 2

0

Mx a x М

Mx

R

xyyx

xx R

RR P

xyyx yxxy yxxy Ryx, xyyx

zxyzyx )()( )()()( yzxyzxzyx )()( yzxzxy Rzyx ,,

)()( zyxzyx

xxx 11

111 xxxx 1x xR R

yxyxxyxyyx )()()(

)()()( xxxxxx

xxxxx )()()()(

xxx 11

R

33


1. Проверить, является ли следующее множество векторов плоскости действительным

линейным пространством:

a) множество всех векторов плоскости;

b) множество всех радиус-векторов точек первой четверти прямоугольной

декартовой системы координат;

c) множество всех радиус-векторов точек плоскости, составляющих данную

прямую;

d) множество всех векторов плоскости, за исключением векторов, параллельных

данной прямой.

2. Доказать, что множество матриц порядка n с действительными элементами составляет

действительное линейное пространство.

3. Является ли множество симметрических матриц порядка n c действительными

элементами действительным линейным пространством?

4. Является ли множество всех матриц размера c элементами из

относительно обычных операций сложения матриц и умножения матриц на число

действительным линейным пространством?

5. Является ли множество чисел из отрезка [0;1] числовой прямой относительно обычных

операций сложения и умножения чисел линейным пространством над полем ?

6. Является ли множество векторов плоскости (пространства) с рациональными

координатами относительно обычных операций сложения и умножения векторов на

число линейным пространством над полем ?

7. Является ли множество монотонно возрастающих на числовой оси функций

относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число

линейным пространством над полем ?

8. Является ли линейным пространством над полем рациональных чисел множество

чисел вида , где и – рациональные числа?

9. Является ли линейным пространством над множество отрицательных действительных

чисел?

10. Является ли линейным пространством над множество векторов плоскости, исходящих

из начала координат, с концами на прямой ?

11. Является ли линейным пространством над множество векторов плоскости, исходящих

из начала координат, с концами на прямой , где ?

12. Является ли линейным пространством над множество многочленов степени

(включая нулевой многочлен) с действительными коэффициентами?

13. Является ли линейным пространством над множество многочленов степени n с

действительными коэффициентами?

R

S

T

S

nM

nmM nm R

R

R

R

Q

2ba a bR

R

kxy

R

bkxy 0b

R n

R

34

§2. Линейная комбинация системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Эквивалентные системы векторов

Системой векторов линейного пространства называется любая совокупность его

векторов.

Пусть , где – система векторов. Вектор, который можно

представить в виде , называется линейной комбинацией векторов . Числа

называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Линейную комбинацию назовем нетривиальной, если среди

существует хотя бы одно отличное от нуля. В противном случае линейную комбинацию

назовем тривиальной. Очевидно, что нетривиальных комбинаций для одной и той же системы

векторов существует бесконечное множество.

Пусть – некоторый вектор пространства . Говорят, что является линейной

комбинацией системы векторов , если найдутся числа , для которых

. Множество всех линейных комбинаций данной системы векторов

называется линейной оболочкой этой системы и обозначается или

. Таким образом, для некоторого набора .

Две системы векторов называются эквивалентными, если любой вектор первой системы

линейно выражается через векторы второй системы, а любой вектор второй системы линейно

выражается через векторы первой системы. Иными словами, линейные оболочки этих систем

векторов должны совпадать.


1. Даны векторы в : , , ,

a) Вычислить линейные комбинации векторов:

;

;

.

b) Представить вектор в виде линейной комбинации других векторов:

через , , ;

через , , ;

через , ;

через , .

c) Записать следующие условия в виде систем линейных уравнений относительно

переменных и решить их:

;

;

;

.

2. Описать линейные оболочки следующих систем векторов в пространстве :

a) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1);

b) (0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 2).

L

naa ,...,1 niLan ,1 ,

nnaa ...11 naa ,...,1

n ,...,1

nnaa ...11 nii ,1 ,

b L b

naa ,...,1 n ,... ,1

nnaab ...11 naa ,...,1

naaL ,...,1 naaL ,...,1

naab ,...,1 nnaab ...11 n ,... ,1

4A )0,1,0,1(1 a )1,0,2,3(2 a )1,1,2,2(3 a

).1,3,2,0(4 a

43211 233 aaaab

43212 2 aaaab

43213 aaaab

4a 1a 2a3a

3a 1a 2a .4a

4a 1a 2a

3a 1a 2a

41 ,... ,

044332211 aaaa

14433 aaa

)4 3, 8, 15,(2211 aa

0332211 aaa

5A

35

§3. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа

, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и выполняется равенство

.

Если же это равенство выполняется только в том случае, когда все , то

система векторов называется линейно независимой.

Теорема. Система векторов , будет линейно зависимой тогда и только тогда,

когда хотя бы один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.

Пример 1. Многочлен является линейной комбинацией многочленов

с коэффициентами . Многочлены составляют линейно

независимую систему, так как многочлен является нулевым только в том случае, когда

.

Пример 2. Система матриц , , , является линейно независимой,

так как линейная комбинация равна

нулевой матрице только в том случае, когда .

Пример 3. Даны векторы , , . Выяснить, будет ли система

векторов линейно зависимой.

Решение. Составим линейную комбинацию данных векторов и приравняем ее

к нулю, т.е.

.

Распишем последнее равенство в координатах

или

.

Приравнивая одноименные координаты равных векторов, получаем

Полученную систему уравнений решим методом Гаусса:

Окончательно получим

n, ..., aa1

n ,... ,1

0...11 nnaa

nii ,1,0

n, ..., aa1

naa ,...,1 2n

nn axaxf ..)( 0

11, .., , xx nn n, ..., a, aa 10 11, .., , xx nn

)(xf

0...10 naaa

00

01

00

10

01

00

10

00

43

214321

10

00

01

00

00

10

00

01

04321

)3,2,1(a )6,1,1( b )0,3,2( c

cba ,,

cba 321

0321 cba

), , (), , (λ), , (λ), , (λ 000032611321 321

), , ()λλλ, λλλ, λλ(λ 000063322 321321321

.0063

,032

,02

321

321

321

.

0

0

0

7

1

2

0

3

1

0

0

1

0

0

0

6

1

2

3

1

1

0

0

1

0

0

0

0

3

2

6

1

1

3

2

1

07

,03

,02

3

32

321

.0

,0

,0

3

2

1

36

Система имеет единственное тривиальное решение, поэтому линейная комбинация

данных векторов равна нулю только в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому

данная система векторов линейно независима.

Пример 4. Векторы линейно независимы. Какими будут системы векторов

a) ;

b) ?

Решение.

a) Составим линейную комбинацию и приравняем её к нулю:

.

Используя свойства операций с векторами в линейном пространстве, перепишем последнее

равенство в виде

(*)

Так как векторы линейно независимы, коэффициенты при должны быть равны

нулю, т.е.

Полученная система уравнений имеет единственное тривиальное решение: .

Так как равенство (*) выполняется только при , то векторы –

линейно независимы.

b) Составим равенство

или

(**)

Применяя аналогичные рассуждения, получим

Решая систему уравнений методом Гаусса, получим

или

Последняя система имеет бесконечное множество решений: . Среди этого

множества решений можно выделить, например, такое решение: . Таким

образом, существует ненулевой набор коэффициентов, для которого выполняется равенство

(**). Следовательно, система векторов – линейно зависима.

Пример 5. Система векторов линейно независима, а система векторов

линейно зависима. Доказать, что вектор является линейной комбинацией векторов

.

a, b, c

cbb, aa, a

cc, bb, aa

0)()( 321 cbakbakak

.0)()( 332321 ckbkkakkk

a, b, c a, b, c

.0

,0

,0

3

32

321

k

kk

kkk

0321 kkk

0321 kkk cbb, aa, a

0)()()( 321 cbcaba

.0)()()( 323121 cba

.0

,0

,0

32

31

21

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

.0

,0

32

21

321

1 1, 1, 321

cc, bb, aa

n, ..., aa1 b, ..., aa n ,1

b n, ..., aa1

37

Решение. Так как система векторов линейно зависима, то найдутся такие числа

, из которых хотя бы одно отлично от нуля, и имеет место равенство

. (***)

В равенстве (***) . Действительно, при система была бы линейно

зависимой.

Из соотношения (***) получаем или

Обозначим .

Получим


1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2. Система, состоящая из одного вектора , линейно зависима тогда и только тогда, когда,

.

3. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда,

векторы пропорциональны (т.е. один из них получается из другого умножением на

число).

4. Если к линейно зависимой системе добавить вектор, то получится линейно зависимая

система.

5. Если из линейно независимой системы удалить вектор, то полученная система векторов

линейна независима.

6. Если система линейно независима, но становится линейно зависимой при добавлении

вектора , то вектор линейно выражается через векторы системы .

7. Если векторы линейно независимы и вектор не является их линейной

комбинацией, то система векторов линейно независима.

8. Доказать, что в пространстве линейно независимы следующие системы векторов:

a) , , …, ;

b) , , …, .

9. Установить линейную зависимость или независимость следующих систем векторов в

соответствующих векторных пространствах:

a) система векторов , , трёхмерного

пространства;

b) система векторов , ,

арифметического пространства ;

c) система матриц , , в пространстве матриц второго порядка.

10. Пусть система векторов , , векторного пространства линейно независима.

Докажите линейную независимость следующих систем векторов:

a) , , ;

b) , , , где – произвольное число;

c) , , .

11. Пусть , , – три вектора на плоскости, из которых можно сложить треугольник.

Будут ли эти векторы линейно зависимы?

b, ..., aa n ,1

,,..,1 n

0..11 baa nn

0 0 n1, ..., aa

nnaab ..11...1

1n

n aab

nn

, ,1

1

...11 nnaab

а

0а

Sа а S

kaa ,...,1 b

baa k ,,...,1

nA

)0,...,0,0,1(1 e )0,...,0,1,0(2 e )1,...,0,0,0(ne

)1,...,1,1,1(1 f )1,...,1,1,0(2 f )1,...,0,0,0(nf

)1,9,2(1 a )3,2,2(2 a )3,2,1(3 a

)0,0,1,1,1(1 a )1,0,1,0,1(2 a )0,1,0,0,1(3 a

5A

43

21

32

14

21

43

а b c

bа b c

bа b c bа ca cbа b c

38

12. Даны два вектора: , . Подобрать ещё два четырёхмерных

вектора и так, чтобы система , , , была линейно независимой.

§4. Базис системы векторов. Размерность линейного пространства. Ранг матрицы. Ранг системы векторов

Пусть – некоторая система векторов линейного пространства. Базисом этой системы

называется такая её линейно независимая подсистема , в которой всякий вектор из

линейно выражается через векторы системы .

Эквивалентное определение: базис системы векторов – это такая линейно

независимая подсистема системы , которая становится линейно зависимой при

добавлении любого вектора из . Число векторов (какого-либо) базиса системы векторов

называется рангом этой системы.

Утверждения:

1) Пусть – некоторая система векторов и – её линейно независимая подсистема. Тогда

можно дополнить до базиса системы .

2) Любое линейное пространство имеет базис.

3) Пусть и – два базиса одной и той же системы векторов. Тогда .

Если в линейном пространстве существует базис из конечного числа векторов, то

пространство называют конечномерным, а число векторов базиса - размерностью

пространства (и обозначают ). Если – линейное пространство над полем , то

его нулевой вектор сам составляет линейное пространство над полем . Это линейное

пространство обозначается и называется нулевым линейным пространством. Так как

нулевое линейное пространство состоит из одного нулевого вектора, в нем нет линейно

независимых векторов и нет максимально линейно независимой системы векторов. Нулевое

линейное пространство называется линейным пространством размерности 0.


Пусть – линейное пространство размерности n. Тогда

1) Если система векторов линейно независима и состоит из n векторов, то – базис

пространства .

2) Любая система векторов , состоящая более чем из n векторов, линейно зависима.

3) при любом .

4) Элементарные преобразования системы векторов не изменяют ранга этой системы.

5) Всякая линейно независимая система векторов линейного пространства , ,

содержится в некотором базисе .

6) Если – базис линейного пространства , то любой вектор можно

разложить по базису, т.е. представить в виде . Это разложение для

единственно.

Коэффициенты называются координатами вектора в базисе .

Рангом матрицы называют ранг системы ее столбцов. Ранг матрицы соответствует

наивысшему порядку отличных от нуля миноров этой матрицы. Такие миноры называют

базисными. Столбцы матрицы, на которых располагается хотя бы один базисный минор этой

матрицы, линейно независимые. Их называют базисными столбцами матрицы. Если ранг

матрицы равен числу ее столбцов, то все столбцы матрицы линейно независимые. Ранг

матрицы можно определять как ранг системы ее строк. Ранг матрицы по строкам совпадает с

ее рангом по столбцам. Базисные строки матрицы определяются так же, как ее базисные

)4,3,2,1(1 a )1,0,0,0(2 a

3a 4a 1a 2a3a 4a

S

0S S

0S

S

0S S

S

S 0S

0S S

kaa ,...,1 sbb ,...,1 sk

L

L

L Ldim L P

P

O

L

LS SL

LS

nAn dim 1n

L 1nL

naa ,...,1L Lb

nnaab ..11 b

n ,...,1 b naa ,...,1

39

столбцы. Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод окаймления, который

состоит в следующем: находят какой-либо минор первого или второго порядка, отличный от

нуля, и вычисляют окаймляющие его миноры следующего порядка. Если среди них найдется

отличный от нуля, то окаймляют его. Пусть уже найден таким способом минор -го порядка,

отличный от нуля. Тогда вычисляют его окаймляющие миноры -го порядка. Если все

они окажутся равными нулю, то ранг матрицы равен .

Для определения ранга системы векторов следует эти векторы представить в

виде столбцов (или строк) матрицы и вычислить её ранг. Это и будет ранг системы

рассматриваемых векторов. По базисным минорам легко выделяются все максимальные

линейно независимые подсистемы данной системы векторов.


1) Пусть в пространстве задана система векторов и матрица с строками

и n столбцами, -я строка которой состоит из компонент вектора , ,

a) ранг системы векторов совпадает с рангом матрицы ;

b) если матрица подобна ступенчатой матрице , тогда ранг системы векторов

равен числу ненулевых строк матрицы ;

c) если , то система является базисом пространства тогда и только

тогда, когда .

2) Ранг системы совпадает с рангом системы векторов тогда и только

тогда, когда . Если при этом r = n, то вектор единственным образом

выражается в виде линейной комбинации векторов .

Пример 1. Найти ранг матрицы методом окаймления миноров.

Решение. Рассмотрим ненулевой минор первого порядка матрицы . Найдем

окаймляющие миноры для . Будем анализировать окаймляющие миноры 2-го порядка до

тех пор, пока не найдем отличный от нуля минор. Если все рассматриваемые миноры 2-го

порядка все будут равны нулю, то ранг данной матрицы будет равен 1.

(пропорциональны строки), .

Значит, . Рассмотрим окаймляющие миноры для .

(пропорциональны строки),

(пропорциональны строки),

(пропорциональны строки).

r

)1( r

r

saaa ,...,, 21

nR paaa ,...,, 21 A p

i ia pi ,...,2,1

paaa ,...,, 21 A

A B

paaa ,...,, 21 B

np paaa ,...,, 21nR

0A

r baa n ,,...,1 naa ,...,1

naab ,...,1 b

naa ,...,1

28112

71524

42312

021 M

1M

024

122

M 02

54

323 M

2)( Аr 3M

0

112

524

312

4

M

0

1020

510

232

812

154

232

5

M

0

220

110

232

212

754

432

6

M

40

Поскольку все окаймляющие миноры 3-го порядка для равны нулю, ранг матрицы равен

порядку наивысшего отличного от нуля минора 2-го порядка (порядку минора ), т.е.

.

Пример 2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных

преобразований.

Решение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие

преобразования:

умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое

число;

перестановка двух строк (столбцов).

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

~ ~ .

Ранг данной матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице, т.е. .

Пример 3. Найти все базисы системы векторов: , ,

, .

Решение. Построим из координат векторов матрицу по столбцам:

А= .

Для нахождения всех базисов данной системы векторов необходимо выделить все базисные

миноры построенной матрицы. Найдем ранг этой матрицы с помощью элементарных

преобразований:

~ ~ ~ .

Таким образом, ранг данной матрицы соответствует числу ненулевых строк в ступенчатой

матрице, т.е. . Первый столбец ступенчатой матрицы соответствует координатам

вектора , второй – , третий – , четвёртый – . В любом базисе данной системы

векторов будет два вектора. Базисными минорами являются

, , .

Остальные миноры второго порядка равны нулю, поэтому базисными быть не могут. Базисами

данной системы векторов являются векторы:

1) , ,

3M

3M

2)( Аr

48203225

134549475

132539475

43173125

48203225

134549475

132539475

43173125

А

5310

5310

3210

43173125

0000

2100

3210

43173125

3)( Аr

)1,3,1,2(1 a )2,6,2,4(2 a

)3,9,3,6(3 a )1,1,1,1(4 a

1321

1963

1321

1642

1321

1963

1321

1642

1321

3961

1321

2641

1320

515100

1320

2641

0000

0000

1320

2641

2)( Аr

4a 2a3a 1a

020

411

M 0

30

612

M 0

10

213

M

2a 4a

41

2) , ,

3) , .


1. Какие из следующих систем векторов составляют базис пространства :

a) (1, 1, 1), (–1, –1, –1), (0, 1, 1). (0, 0, 1),

b) (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1),

c) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1),

d) (1, –2, –2), (1, 5, –3). (–1, –5, 5),

e) (1, 2, 7), (–2, –4, –8), (0, 0, 0).

2. При каких значениях параметров следующие системы векторов образуют базис

пространства :

a) (λ, 1, 0), (1, λ, 1), (0, 1, λ),

b) (1, α, β), (0, 1, γ), (0, 0, 1),

c) (1, 1, 1), ( , , ), ( , , ),

d) (1, , ), (1, , ), (1, , ),

e) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, ).

3. Найти базис и ранг систем векторов. При решении использовать метод окаймления

миноров или метод элементарных преобразований:

a) (1, 1, –1, –1), (2, 2, 1, –1), (2, 2, –5, –3), (1, 1, –1, –1),

b) (1, 3, –1, 4), (2, 4, –4, 8), (1, 1, –6, 6), (1, 3, –1, 8),

c) (1,7,1,5), (–1,–7,–3,–2), (–1,–7,–5,7), (–1,–7,–5,1),

d) (1,–3,1,3,–3), (1,4,7,4,–3), (–1,–4,–7,2,6), (-1,3,-1,3,5), (1,–3,1,–3,–7),

e) (1,1,–3,1,2), (–1,–1,4,2,4), (–1,–1,9,2,5), (2,2,–1,2,5), (–2,–2,8,4,8).

4. Показать, что в пространстве многочленов степени ≤ 3 системы многочленов образуют

базисы:

a) ,

b) ,

c) .

d) .

5. Определить размерность линейного пространства многочленов с коэффициентами из

степени ≤ 3, которые дополнительно удовлетворяют одному из условий:

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) .

6. Найти базис и размерность пространства матриц размера с элементами из .

7. Найти какой-нибудь базис и размерность пространства решений следующих систем

уравнений:

a)

b)

c)

d)

e) .

3a 4a

1a 4a

3R

3R

2 2 2

2 2 2

32 ,,,1 xxx

32 )1(,)1(,1,1 xxx

32 )1(,)1(,1,1 xxx

5,)3(,2,1 32 xxx

R

0)0( f

0)4( f

0)3( f

)2(3)1( ff

)1()0( ff

)1()0( ff

32 R

;0654

,0753

,042

321

321

321

ххх

ххх

ххх

;052

,05724

,0752

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

;0656

,0435

321

321

ххх

ххх

;01096

,0564

321

321

ххх

ххх

0...21 nххх

42

§5. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в базисе

Пусть в некотором линейном пространстве зафиксирован базис . Если

, то найдутся числа , для которых . Упорядоченный

набор называется набором координат вектора в базисе .


1. Координаты вектора в заданном базисе определены единственным образом.

2. При сложении векторов соответствующие координаты слагаемых складываются. При

умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Пример 1. Найти координаты многочлена

a) в базисе ;

b) в базисе , выяснив, что многочлены действительно образуют

базис.

Решение.

a) Докажем, что многочлены (*) составляют базис пространства всех многочленов

степени ( ).

Для этого сначала покажем, что система многочленов (*) линейно независима. Пусть

– такие числа из поля , при которых . Тогда по

определению равенства многочленов . Значит, система многочленов (*)

линейно независима.

Покажем теперь, что система многочленов (*) составляет базис пространства . Для

любого имеем:

.

Следовательно, является линейной комбинацией системы многочленов (*). Тогда система

линейно зависима. Таким образом, система многочленов (*) составляет базис


Значит, согласно определению координат вектора в базисе, данный многочлен

имеет в базисе координаты .

b) Докажем, что многочлены (**) составляют базис пространства

.

Для этого сначала покажем, что система многочленов (**) линейно независима. Пусть

– такие числа из поля , что . Тогда по

определению равенства многочленов . Значит, система многочленов (**)

линейно независима.

Покажем теперь что система многочленов (**) составляет базис пространства . Для

любого имеем:

.

Следовательно, является линейной комбинацией системы многочленов (**). Тогда

система линейно зависима. Таким образом, система

многочленов (**) составляет базис пространства .

Согласно определению координат вектора в базисе, многочлен

L ),...,,( 21 neeee

Lх n21 x .., ,x ,x nn2211 еx ... еx еxx

n21 x .., ,x ,x х ),...,,( 21 neeee

nn

2210 xa ...xaxa af(x)

n2 x...xx ,,,,1

n2 x...xx )1(,,)1(),1(,1

n2 x...xx ,,,,1

n ][xPn

n, ..., α, αα 10 P 01 10 nnxα ...,x αα

010 nα ...αα

][xPn

][xPf(x) n

nn

2210 x ...xxf(x) 1

f(x)

f(x)x...xx n2 ,,,,,1

][xPn

nn

2210 xa ...xaxa af(x)

n2 x...xx ,,,,1 n, ..., α, αα 10

n2 x...xx )1(,,)1(),1(,1

][xPn

n, ..., α, αα 10 P 0111 10 n

n xα ...,x αα

0α ...αα n10

][xPn

][xPf(x) n

nn

2210 x ...xxf(x) )1()1()1(1

f(x)

f(x)x...xx n2 ,)1(,,)1(),1(,1

][xPn

43

имеет в

базисе координаты , где при

.


1. Найти координаты вектора пространства в базисах

a) (3, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1);

b) (1, –1, 0), (1, 2, 3), (0, 1, –1).

2. Показать, что система векторов , , ,

является базисом пространства . Найти координаты вектора

в этом базисе.

3. Разложить векторы и по базисам

a) , , , ;

b) , , , .

4. Найти координаты вектора пространства многочленов степени ≤ 3 в

базисах:

a) ;

b) .

§6. Подпространство, его базис и размерность

Пусть – линейное пространство над полем и – подмножество из . Может

оказаться, что само составляет линейное пространство над полем относительно тех же

операций, что и . Тогда A называют подпространством пространства .

Согласно определению линейного пространства, чтобы было подпространством, надо

проверить выполнимость в операций, т.е.

1. : ,

2. : ,

и проверить, что операции в подчинены восьми аксиомам. Однако последнее будет

излишним (в силу того, что эти аксиомы выполняются в ), т.е. справедлива

Теорема. Пусть линейное пространство над полем и . Множество тогда и

только тогда является подпространством , когда выполняются следующие требования:

1. : ,

2. : .

Утверждение. Если – n-мерное линейное пространство и его подпространство, то

также конечномерное линейное пространство и его размерность не превосходит n.

Пример 1. Является ли подпространством пространства векторов-отрезков множество

всех векторов плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат - или

?

nn

2210

nn

2210 xb ...xbxbbxa ...xaxa af(x) )1()1()1(1

n2 x...xx )1(,,)1(),1(,1 n, ..., b, bb 10 !

)1()(

k

fb

k

k , ..., n, , k 210

),,(x 506 3R

)0,1,0,1(1 e )0,0,1,1(2 e )1,1,1,0(3 e

)1,1,0,0(4 e 4A

)4,3,2,1(a

8),662( ,,x 8),000( ,,y

)3,2,6,1(1 e )8,7,9,1(2 e )2,7,6,2(3 e )3,3,6,1(4 e

)2,4,3,1(1 e )2,6,7,2(2 e )5,2,8,2(3 e )2,4,3,1(4 e

6 5xxf(x) 2

32 xxx ,2,,2

32 xxx 1)(,1)(,1,1

L P A L

A P

L L

A

A

Aba , Aba

))(( PkAa Aka

A

L

L P LA A

L

Aba , Aba

))(( PkAa Aka

L A A

2V S

Ox Oy

44

Решение: Пусть , и , . Тогда (Рис.1).

Рис 1

Следовательно, не является подпространством .

Пример 2. Является ли линейным подпространством линейного пространства векторов-

отрезков плоскости множество всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на

прямой этой плоскости?

Решение. Если вектор умножить на действительное число , то получим вектор ,

также принадлежащий . Если и – два вектора из , то (по правилу сложения

векторов на прямой). Следовательно, является подпространством (Рис.2).

Рис 2

Пример 3. Является ли линейным подпространством линейного пространства множество

всех векторов плоскости, концы которых лежат на прямой (предположить, что начало

любого вектора совпадает с началом координат)?

Решение. В случае, когда прямая не проходит через начало координат, множество не

является линейным подпространством пространства , так как . (Рис.3)

В случае, когда прямая проходит через начало координат (Рис.4), множество является

линейным подпространством пространства , так как и при умножении любого

вектора на действительное число из поля получим .

Оxa Оyb 0a 0b Sba

S 2V

2V

S

l

Sа k аk

S а b S Sba

S 2V

2V

A l

l A

2V lbа

l A

2V lbа

Аа P lа

Рис 3

45

Рис 4

Таким образом, требования линейного пространства для множества выполнены.

Пример 4. Пусть дана система векторов из линейного пространства над полем .

Доказать, что множество всевозможных линейных комбинаций с

коэффициентами из является подпространством (это подпространство

называют подпространством, порожденным системой векторов или линейной

оболочкой этой системы векторов, и обозначают так: или ).

Решение. Так как , то для любых элементов имеем

,

,

где , .

Тогда .

Так как , то , поэтому .

Проверим выполнимость второго условия теоремы. Если – любой вектор из и –

любое число из , то . Поскольку и , ,

то , , поэтому .

Таким образом, согласно теореме множество – подпространство линейного


Для конечномерных линейных пространств справедливо и обратное утверждение.

Теорема. Всякое подпространство линейного пространства над полем является

линейной оболочкой некоторой системы векторов.

При решении задачи нахождения базиса и размерности линейной оболочки используют

следующую теорему.

Теорема. Базис линейной оболочки совпадает с базисом системы векторов

. Размерность линейной оболочки совпадает с рангом системы векторов

.

Пример 5. Найти базис и размерность подпространства линейного

пространства , если , , , .

A

kaa ,...,1L P

kkatat ...11

ktt ,...,1P L A

kaa ,...,1

kaaA ,...,1 ),...,( 1 kaaLA

kiPt,at...atA ikk ,1 , 11 Ayx ,

kkararx ...11

kkasasy ...11

Psr ii , ki ,1

kkkkkk asrasrasasararyx ...)...()...( 1111111

Psr ii , Psr ii kaayx ,...,1

x A t

Pkkkk atratrararttx )(...)()...( 1111 Pt Pri ki ,1

Ptri ki ,1 kaatx ,...,1

A

L

A L P

kaa ,...,1

kaa ,...,1 kaa ,...,1

kaa ,...,1

4321 ,,, aaaaS

][xP3xa 11 xa 12

33 1 xxa

34 2 xa

46

Решение. Известно, что векторы и их координатные строки (столбцы) обладают одинаковыми

свойствами (в отношении линейной зависимости). Составляем матрицу из

координатных столбцов векторов в базисе .

Найдем ранг матрицы .

, , .

Следовательно, ранг . Итак, ранг системы векторов равен 3. Значит,

размерность подпространства равна 3, а его базис состоит из трех векторов: (так

как в базисный минор входят координаты только этих векторов).

Пример 6. Доказать, что множество векторов арифметического пространства , у

которых первая и последняя координаты равны 0, составляет линейное подпространство.

Найти его базис и размерность.

Решение. Пусть .

Тогда

,

и

.

Следовательно, для любых .

Если , , то .

Таким образом, согласно теореме о линейном подпространстве множество является

линейным подпространством пространства .

Найдем базис . Рассмотрим следующие векторы из H: ,

, . Эта система векторов линейно независима.

Действительно, пусть

.

Тогда

и

.

Можно убедиться, что система линейно зависима при любом векторе из

. Этим доказано, что - максимальная линейно независимая система векторов

подпространства , т.е. – базис в и .

1100

0000

0111

2111

A

4321 ,,, aaaa 321 , x, x, x

A

021111

112

M 02

11

11)1(1

100

011

21133

3

M 04 АM

3)( Ar 4321 ,,, aaaa

S 421 ,, aaa

3M

H nA

Hyx ,

), , ..., x, x(x n 00 12

), , ..., y, y(y n 00 12

), y, ..., xy, x(yx nn 00 1122

Hyx Hyx ,

Hx Pk Hkxkxxxkkx nn )0,,...,,0()0,,...,,0( 1212

HnA

H ), ..., , , (a 00102

), ..., , , (a 01003 ), , ..., , , (an 010001

0... 1122 nn akak

), , .., , (k...), ..., , , (k), ..., , (k n 01000100010 132

), , .., k, (...), ..., , k, (), ..., , k( n 00000000 132 ), ..., , (), , ..., k, k, k( n 000000 132

0... 12 nkk

xaa n ,,..., 12 x

H12 n, ..., aa

H12 n, ..., aa H 2dim nH

47

§7. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств

Пусть – линейное пространство над полем , и – его подпространства. Суммой

подпространств и называют множество { | , }.

Пример 1. На плоскости векторы, лежащие на оси , составляют подпространство ;

векторы, лежащие на оси , составляют подпространство . Множество совпадает с

, в чем можно убедиться, проверив включения и (Рис.1).

Теорема. Сумма подпространств и линейного пространства является его

подпространством.

Утверждения

1. Базис суммы подпространств , совпадает с базисом

системы векторов .

2. Размерность равна рангу системы векторов .

Пример 2. В линейном пространстве даны подпространства и

, где , , , ,

, . Найти базис и размерность подпространства .

Решение. Найдем базис и базис . Составляем матрицы и и ищем их ранги. Матрица

составлена из координат векторов по строкам.

,

, , ,

значит , поэтому .

Векторы , составляют базис , так как координаты этих векторов проходят через

базисный минор .

Матрица составлена из координат векторов по строкам.

,

, , ,

значит , поэтому .

L P A B

A B BA ba Aa Bb

2R Ox A

Oy B BA

2R 2RBA BAR 2

A B L

кааA ,,1 sbbB ,,

1

sк bbаа ,,,,, 11

BA sк bbаа ,,,,, 11

4A 321 ,, аaаA

321 ,, bbbB )3,1,2,1(1 a )2,4,1,2(2 а )8,2,5,4(3 а )8,6,6,6(1 b

)7,7,4,5(2 b )6,8,2,4(3 b BA

A B M NM

321 ,, аaа

8254

2412

3121

М

04112

212 М 0

254

412

121

3

М 0

854

212

321

3 М

2)( Mr 2)dim( A

1a 2а A

2М

N 321 ,, bbb

6824

7745

8666

N

0302445

662 M 0

824

745

666

3 M 0

624

745

866

3 M

2)( Nr 2)dim( B

48

Векторы , составляют базис , так как координаты этих векторов проходят через

базисный минор .

Тогда . Найдем базис системы векторов { }. Для этого

надо найти ранг матрицы , строки которых – координаты данных четырёх векторов.

,

, ,

.

Значит . Так как в базисный минор входят координаты векторов , , , то

базис составляют векторы , , , .

Пересечением подпространств и линейного пространства называется

множество .

Теорема. Пересечение подпространств линейного пространства является

подпространством .

Теорема. Размерность суммы подпространств равна сумме размерностей слагаемых без

размерности их пересечения, т.е.

. (1)

Из этой формулы находим размерность :

.

Так как размерности подпространств в правой части этого равенства мы умеем находить, то

по этой формуле можно найти .

Пример 3. Для подпространств и из примера 2 найти базис и размерность

подпространства .

Решение. Так как , , , то по формуле (1) будем иметь

.

Таким образом, . Теперь остается найти базис . Для этого достаточно

найти один ненулевой вектор из , который и составит базис .

Пусть , тогда

,

и

,

тогда

.

Отсюда получим

1b 2b B

2М

2121 ,,, bbaaBA 2121 ,,, bbaa

H

7745

8666

2412

3121

Н

04112

212 M 0

666

412

121

3

M 06

866

212

321

3 M

0

81260

101260

4630

3121

7745

8666

2412

3121

4

M

3)( Hr

3М 1a 2а 1b

BA 1a 2а 1b 3)dim( BA

A B L

ВхАхLхВА ,

L

L

)dim()dim()dim()dim( BABABA

BA

)dim()dim()dim()dim( BABABA

)dim( BA

A B

ВА

3)dim( BA 2)dim( A 2)dim( B

)dim(223 BA

1)dim( BA ВА

ВА ВА

ВАx

)2,4,1,2()3,1,2,1( 212211 ttatatx

)7,7,4,5()8,6,6,6( 212211 ssbsbsx

)7,7,4,5()8,6,6,6()2,4,1,2()3,1,2,1( 2121 sstt

49

.

Записываем покомпонентно это равенство и получаем систему линейных однородных

уравнений относительно неизвестных :

Решаем систему методом Гаусса:

,

,

.

Найдем ненулевое частное решение этой системы, придав свободному неизвестному

ненулевое значение, например .

При выбранном значении переменные и . Записываем вектор :

.

Мы нашли ненулевой вектор из пересечения , он составляет базис .

Подпространство .

Если подпространства и заданы однородными системами уравнений, то

пересечение будет определяться системой, полученной объединением всех уравнений

из этих систем. Любая фундаментальная система решений такой системы уравнений является

базисом пересечения .

Пример 4. Пусть подпространства и заданы соответственно системами уравнений

( ) ( )

Найти базис и размерность подпространств и .

Решение. Исследуем систему ( )

,

)7,7,4,5()8,6,6,6()2,4,1,2()3,1,2,1( 2121 sstt

)0000(7823764462562 2121212121212121 , , , sstt, sstt, sstt, sstt

212 ,,, ssttt

.07823

,0764

,0462

,0562

2121

2121

2121

2121

sstt

sstt

sstt

sstt

.

0

0

0

0100

2210

5621

0

0

0

0

0100

0000

2210

5621

0

0

0

0

4520

2210

2210

5621

0

0

0

0

81040

121260

6630

5621

0

0

0

0

7823

7641

4612

5621

01 s

2212 222 ssst

2222121 54562 ssssstt

2s

12 s

2s 11 t 22 t x

)7,7,4,5()2,4,1,2(2)3,1,2,1(1 22112211 bsbsatatx

ВА ВА

7745 , , , ВА

A B

ВА

ВА

A B

.0634

,0723

,0532

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

.0525

,02332

,07543

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

ВА ВА

6314

7213

5132

Н

50

, , ,

значит .

Исследуем систему ( )

,

, , , ,

значит .

Подпространство задается системой

( )

Для нахождения суммы и определяем базис (ФСР системы уравнений ( )) и

базис (ФСР системы уравнений ( )).

Решаем систему ( ). ФСР состоит из одного решения ( ), –

основные неизвестные, – свободное неизвестное. Получаем систему из системы ( ):

Решим систему методом Гаусса:

,

,

,

ФСР: или (231, -627, 1111, 506). Базис пространства – это вектор

.

Решаем систему ( ). ФСР состоит из двух решений ( ). Основные

неизвестные – , свободные – .

01113

322

М 2)( Нr 046

314

213

132

M 3

3)( Нr

5215

2332

7543

Q

01732

432

М 2)( Qr 0

215

332

543

3

M 0

515

232

743

3 М

2)( Qr

B

.02332

,07543

4321

4321

хххх

хххх

A B A

B

134 rn 321 , х, хх

4х

.634

,723

,532

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

4

4

4

4

4

4

4

4

4

101

29

5

4600

7110

132

4

29

5

150

7110

132

6

7

5

314

213

132

х

х

х

х

х

х

х

х

х

.10146

,29711

,532

43

432

4321

хх

ххх

хххх

4346

101хх

44434

2506

627

4611

707

11

29

11

729ххх

ххх

.506

231

1012

462

1012

188111112530

1012

1881

92

101

2

5

2

35444444

2341 хххххх

хххх

1,

46

101,

506

627,

506

231A

a506) 1111, 627, (231,

224 rn

21, хх43, хх

51

1 0

0 1

1) ,

, .

2) ,

, .

В качестве базиса подпространства можно взять векторы

и .

Тогда

.

Посмотрим, является ли система векторов линейно зависимой или линейно

независимой.

,

, .

Система векторов линейно независима, является базисом .

Найдем размерность пересечения ( ) подпространств.

, , . Для нахождения базиса пересечения

подпространств следует решить систему уравнений

.2332

,7543

4321

4321

хххх

хххх

1х 2х 3х 4х

17

3

17

19

17

13

17

20

13 х 04 х

332

543

21

21

хх

хх

17

31 х

17

192 х

03 х 14 х

232

743

21

21

хх

хх

17

131 х

17

202 х

B

0171931 , , , b 17020132 , , , b

17020130171935061111627231,, 21 , , , ,, , , ,, , , bbаBA

21,, bbа

1702013

017193

5061111627231

Н

0193

6272312

М 2)( Hr 0

02013

17193

1111627231

3

М 3)( Hr

21,, bbа )( BA

ВА

)dim(123 BA 0)dim( BA 0ВА

ВА

.02332

,07543

,0634

,0723

,0532

4321

4321

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

хххх

хххх

52

,

, .

система имеет единственное нулевое решение. Поэтому .

Базиса подпространства нет.

Пусть в имеем подпространства и . Может оказаться, что . Тогда сумма

подпространств и называется прямой суммой и обозначается .

Подпространство обозначим через : , . Тогда записывают

, если ,то , и говорят: подпространство (линейное пространство

) является прямой суммой подпространств и . Если , то подпространства

и называют прямыми дополнениями друг друга в пространстве .

Теорема. Сумма подпространств и тогда и только тогда является прямой, когда

размерность суммы подпространств и равна сумме размерностей слагаемых, т.е.

.

Пример 6. Подпространства и из примера 4 составляют прямую сумму, так как

.


ВАРИАНТ 1

1. Является ли линейным пространством множество всех радиус-векторов точек первой

четверти прямоугольной декартовой системы координат?

2. Доказать, что множество составляет подпространство

пространства . Найти его базис и размерность.

3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов ,

, .

4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы

, , .

ВАРИАНТ 2

1. Является ли линейным пространством множество всех радиус-векторов точек,

образующих данную прямую. Найти его базис и размерность.

2332

7543

6314

7213

5132

К

0

314

213

132

3

М 0

2332

6314

7213

5132

4

М

4)( Kr nr 0ВА

0ВА

L A B 0ВА

A B BABA BA H BAH LH

BAH LH BAL H

L A B BAL A

B L

A B

A B

)dim()dim()dim( BABA

A B 0ВА

},)0,,0,{( 2121 RA

4A

)1,3,2,5(1 a

),3,2,1,4(2 а )2,1,1,1(3 а )2,1,4,3(4 a

),1,1,1,1(1 x ),1,1,1,1(2 x );1,1,1,1(3 x

)1,1,1,1(1 y )0,0,2,2(2 y )1,1,1,3(3 y

53

2. Доказать, что множество составляет подпространство



, , ,

.


, , .

ВАРИАНТ 3

1. Является ли линейным пространством множество всех векторов плоскости за исключением

векторов, параллельных данной прямой.

2. Доказать, что множество , составляет

подпространство пространства . Найти его базис и размерность.

3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов

, , , , .


, , .

ВАРИАНТ 4

1. Составляет ли линейное пространство множество многочленов

? Найти его размерность и базис.

2. Доказать, что множество составляет



, , ; –

базис линейного пространства .


.

ВАРИАНТ 5

1. Образует ли линейное пространство множество многочленов

? Указать его базис и

размерность.

},,),,,{( 2121 RA

4A

321 4321 xxxa

322 432 xxxа 32

3 3852 xxxа 32

4 129265 xxxa

325 243 xxxa

),1,2,1(1 a ),1,1,1(2 a );3,3,1(3 a

)1,3,2(1 y )2,2,1(2 y )3,1,1(3 y

}0)0(,,...,...)({ 010 fRaaxaxaaxfA nn

n

nP

53

121a

31

342a

43

233a

1715

144a

07

675a

),1,1,1,0(1 x ),2,1,1,1(2 x );1,1,0,2(3 x

)1,2,3,1(1 y )1,0,1,1(2 y )3,4,7,1(3 y

},...,...)({ 010 RaaxaxaaxfA nn

n

},,,),,,,{( 321321 RA

5A

43211 432 eeeea

43212 5432 eeeeа 43213 6543 eeeeа 43214 7654 eeeea 4321 ,,, eeee

L

),0,0,1,1(1 a ),2,2,1,1(2 a );1,3,1,3(3 a

)2,2,2,2(1 y )1,1,0,2(2 y )0,2,1,3(3 y

,...}1,0,,...,,...{ 01

10 kRaaNnxaxaxaA kkn

knn

54

2. Доказать, что множество всех решений однородной системы линейных уравнений с

неизвестными образует подпространство пространства . Найти его базис и



, .


, , .

ВАРИАНТ 6

1. Во множестве введены операции сложения

и умножения на действительное число

k: . Является ли линейным пространством, если

Указать его базис и размерность.

2. Образует ли подпространство пространства множество радиус-векторов точек

некоторой прямой? Указать его базис и размерность

3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов

, , , .


, , .

ВАРИАНТ 7

1. Образуют ли линейное пространство множество матриц ?

Указать его базис и размерность.

2. Составляет ли подпространство пространства множество

? Указать его базис и размерность

3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов , ,

, .


, , .

n

nA

4321 4232 xxxxa

4257 2342 xxxxа 432

3 282 xxxxа

),3,0,0,1,2(1 x ),6,0,0,2,4(2 x );2,0,1,1,0(3 x

)1,1,1,1,2(1 y )1,0,1,0,1(2 y )0,1,0,1,1(3 y

,...}2,1,,...),{( 21 iNS i

,...),(,...),(,...),( 22112121 yx

,...),(,...),( 2121 kkkkx S

?,...2,1, iRi

2V

15

311a

43

122a

71

153a

19

774a

),1,0,2,1(1 a ),0,1,1,1(2 a );2,1,5,3(3 a

)0,1,0,1(1 b )1,0,3,1(2 b )2,1,6,3(3 b

nji

Ra

aa

aa

Mij

nnn

n

,1,...

...........

...

1

111

5P

},,{ 4204

42

20 RaaaxaxaaA

1451 xxxa 12 а

xxа 52 23 22 3

4 xa

),1,1,1,1(1 x ),0,2,2,0(2 x );1,2,3,0(3 x

)1,2,1,0(1 y )1,1,1,1(2 y )1,4,1,2(3 y

55

ВАРИАНТ 8

1. Является ли множество матриц линейным пространством?


2. Доказать, что множество 6-мерных векторов составляет



, , ,

; – базис линейного пространства.


, ;

, , , .

ВАРИАНТ 9

1. Составляет ли линейное пространство множество двумерных векторов

с операциями сложения и

умножения на действительное число ? Найти его базис и


2. Доказать, что множество матриц составляет подпространство



, , .


, , .

ВАРИАНТ 10

1. Доказать, что множество образует линейное пространство.


2. Образует ли подпространство пространства множество

? Найти его базис и размерность.


, .


, , .

Rdba

d

baM ,,

0

},),,,,,{( RA

6A

43211 eeeea

123452 eeeeeа 5213 23 eeeа 123454 552 eeeeea 1235 eeeа

54321 ,,,, eeeee

),1,2,1(1 a ),3,3,0(2 a )5,7,2(3 a )2,3,1(4 a

)0,0,1(1 b )0,2,2(2 b )3,0,0(3 b )3,4,4(4 b

},,{(2 RA ),(),(),( 22112121 yx

k ),(),( kkkkx

3,2,1

00

00

00

3

2

1

i

Ra

a

a

a

Ai

3M

4321 5233 xxxxa

422 4335 xxxа 42

3 7531 xxxа 754 2344 xxxxa

),1,1,1,1(1 x ),0,2,2,0(2 x );1,2,3,0(3 x

)1,2,1,0(1 y )1,1,1,1(2 y )1,4,1,2(3 y

Rdcba

dc

baM ,,,2

nA

}0...,),...,,{( 2121 nin xxxRxxxxA

)3,2,5,3,4(1 a

),2,4,7,6,8(2 а )7,2,8,3,4(3 а )5,2,1,3,4(4 a

),1,1,1,1(1 a ),1,1,1,1(2 a );3,1,3,1(3 a

)2,0,2,1(1 b )2,1,2,1(2 b )1,3,1,3(3 b

56

ВАРИАНТ 11

1. Составляет ли линейное пространство множество векторов:

a) ,

b) ?

2. Составляет ли множество многочленов

подпространство пространства ? Найти его базис и размерность.

3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов , ,

; , – базис линейного пространства .


, , .

ВАРИАНТ 12

1. Составляет ли линейное пространство множество матриц ? Найти

его базис и размерность.

2. Доказать, что множество составляет подпространство пространства

. Найти его базис и размерность.


, ,

.


, , .

ВАРИАНТ 13

1. Составляет ли множество многочленов

линейное пространство? Найти его базис и размерность.

2. Составляет ли множество матриц

подпространство пространства ? Найти его базис и размерность.


, , .


, , .

},...,1,числачетные),...,,{( 21 nixxxxA in

},...,1,числанечетные),...,,{( 21 nixxxxB in

,,...,...)({ 010 RaaxaxaaxfA nn

n

}0...0 naa nP

3211 eeea 4212 eeeа

4313 2 eeeа 4321 ,,, eeee L

),0,0,1,1(1 a ),0,1,1,0(2 a );1,1,0,0(3 a

)0,1,0,1(1 b )1,1,2,0(2 b )2,1,2,1(3 b

Rcba

c

baA ,,

0

RxxxA

n

),...,(

nA

54321 232 xxxxxa

xxxxxа 36543 23452 5342

3 74 xxxxxа 5432

4 33242 xxxxxa

),2,1,2,1(1 x ),0,1,3,2(2 x );3,2,2,1(3 x

)1,1,1,1(1 y )1,1,0,1(2 y )4,0,3,1(3 y

},,)({ 5315

53

31 RaaaxaxaxaxfA

0,,,, dcbaRdcba

dc

baA

2M

4321 1 xxxxa

37 2342 xxxxа 4

3 31 xxа xxxxa 22 2344

),4,3,5,2(1 a ),7,0,2,1(2 a );5,2,6,3(3 a

)6,4,0,2(1 b )1,1,1,1(2 b )5,1,3,3(3 b

57

Раздел 5. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА

§1. Определение матрицы перехода

Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(назовем его старым базисом) и

(назовем его новым базисом).

Разложим векторы базиса по базису :

(1)

Матрицу называют матрицей перехода от базиса к базису .

Равенства (1) в матричном виде удобно записывать так:

(2).

Правило построения матрицы перехода

Для построения матрицы перехода от базиса к базису нужно для всех векторов

нового базиса найти их координатные столбцы в старом базисе и записать их в качестве

соответствующих столбцов матрицы .

Теорема. Матрица перехода от одного базиса -мерного линейного пространства над

полем к другому его базису является невырожденной матрицей -го порядка с элементами

из поля .

Теорема. Любая невырожденная квадратная матрица -го порядка с элементами из поля

служит матрицей перехода от одного базиса -мерного линейного пространства над

полем к некоторому другому базису пространства .

§2. Связь координат вектора в разных базисах

Пусть в линейном пространстве заданы базисы и с

матрицей перехода от базиса к базису , т.е. верно (2). Вектор имеет в базисах

и координаты

, ,

nL

),...,,( 21 neeee

),...,,( 21 neeeе

е e

....

.........,..............................

,...

,...

2211

22221122

12211111

nnnnnn

nn

nn

etetete

etetete

etetete

nnnn

n

n

ttt

ttt

ttt

T

...

............

...

...

21

22221

11211

e е

Teе

e е iе

е e

T

nnL

P n

P

n P

nnL

PnL

nL ),...,,( 21 neeee ),...,,( 21 neeeе

T e е Teе a

e е

n

еа

...

2

1

n

еа

...

2

1

58

и .

Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны

Из этих равенств получаем: . Отсюда в силу единственности разложения

вектора по базису вытекает равенство (3), или

(4)

Соотношения (3) и (4) называют формулами преобразования координат при изменении

базиса линейного пространства. Они выражают старые координаты вектора через новые. Эти

формулы можно преобразовать относительно новых координат вектора, умножив (4) слева на

(такая матрица существует, так как – невырожденная матрица). Тогда получим

. По этой формуле, зная координаты вектора в старом базисе е линейного

пространства , можно найти его координаты в новом базисе, .

Часто векторы базисов и сами бывают заданы координатами в некотором базисе

. Тогда матрица перехода от базиса к базису находится по формуле

,

отсюда получаем формулу

.

,


. (5)

Пример 1. Найти матрицу перехода к базису , , если векторы заданы своими

координатами в базисе .

Решение. Векторы нового базиса: - заданы своими координатами в старом базисе:

, т.е. .

,

.

По определению матрицы перехода получаем .

n

nе eeeаea

...),...,,(

2

1

21

n

nе eeeаеa

...),...,,( 2

1

21

еаea ее аTeаеa )(

ее аTeаea

e ее аTа

nn

T

......2

1

2

1

1T T

ее аTа

1

nL е

е е0е

е е

eeTee

0

0

10

0

eeeTe

ee

Tee

Teee

Tee

eTee

Tee

0100

100

0

eeeeee TTT

00

1

3

21e

2

12e

),( 21 eee

),( 21 eee

),( 21 eee Teе

21211 323

2),( eeeee

21212 212

1),( eeeee

23

12eeT

59

Пример 2. Найти матрицу перехода от базиса к базису , если векторы

этих базисов заданы своими координатами в некотором базисе :

, , , .

Решение.

1 способ.

, .

.

2 способ.

, (1)

, (2)

, (3)

. (4)

Из равенства (2) имеем .

Из равенства (1) имеем , значит .



Из последних двух равенств имеем

, .

По определению матрицы перехода получаем .

Пример 3. В линейном пространстве многочленов не выше второй степени с

действительными коэффициентами даны два базиса:

: .

: .

Найти матрицу перехода от базиса к базису .

Решение.

,

,

.

),( 21 eee ),( 21 eee

0е

01

11

е

e

00

12

е

e

01

21

е

e

02

12

е

e

01

110 ee

T

21

120 ee

T

11

21

21

12

11

10

21

12

11

10

21

12

01

111

eeT

02

01

02

011 11

1

1),( eeeee

02

01

02

012 01

0

1),( eeeee

02

01

02

011 12

1

2),( eeeee

02

01

02

012 21

2

1),( eeeee

012 ee

2021 eee 21

02 eee

1221202

011 212 eeeeeeee

2121202

012 2)(221 eeeeeeee

211 eee 212 2 eee

11

21eeT

),,( 321 eeee 2

321 ,,1 xexee

),,( 321 eeee 2

321 )1(,1,1 xexee

e e

3211 0011 eeee

3212 0111 eeexe

32122

3 12112)1( eeexxxe

60

По определению матрицы перехода получаем

.

Пример 4. В пространстве задан вектор и векторы столбцами координат в

базисе : , , , и вектор – в

виде столбца координат в базисе . Найти координаты вектора в базисе

и координаты вектора в базисе .

Решение.

,

,

.

По определению матрицы перехода получаем

.

Используем формулу связи координат одного и того же вектора в разных базисах:

,

отсюда получаем

.

,

,

100

210

111

eeT

3X x321 ,, eee

),,( 321 eeee

e

ex

1

4

1

e

e

2

1

5

1

e

e

0

3

2

2

e

e

1

1

2

3

е

еу

3

2

1

),,( 321 eeee x

),,( 321 eeee у ),,( 321 eeee

3211 215 eeee

3212 032 eeee

3213 112 eeee

102

131

225

eeT

е

ee

е х

х

х

T

3

2

1

1

4

1

е

ee

е

T

х

х

х

1

4

11

3

2

1

33)29(311

293

33

29

100

133

229

102

131

225

eeT

1746

393

823

33

11eeT

61

,

.

Пример 5. Матрица перехода от базиса к базису имеет вид

. Найти координаты векторов и вектора в базисе

Решение.

1 способ. По определению матрицы перехода получаем

,

.

Из этих равенств найдем векторы :

,

,

.

2 способ.

,

выразим

.

,

,

,

Пример 6. Убедиться, что векторы , , образуют базис

линейного пространства . Найти координаты вектора в базисе .

Решение.

Составим из координат векторов матрицу и найдём её определитель:

.

33

733

4233

13

1

4

1

1746

393

823

33

1

3

2

1

е

е

х

х

х

5

8

3

3

2

1

102

131

225

3

2

1

3

2

1

ее

ee

е

T

y

y

y

),( 21 eee ),( 21 fff

43

32feT 21,ee 21 32 eec

),( 21 fff

211 32 eef

212 43 eef

21,ee

fffe )3,4(34 211

fffe )2,3(23 212

fffeec )12,17()2,3(3)3,4(232 21

f

fe

ec

cT

c

c

2

1

2

1

12

17

3

2

23

34

3

2

43

321

2

11

2

1

еee

fe

fc

cT

c

c

effe TT

23

341

fffe )3,4(34 211

fffe )2,3(23 212

3,2,11 а 8,2,42 а 1,4,13 а

3A 5,0,1b ),,( 321 aaaa

321 ,, aaa

02011

1310

55

132

553

001

131

2

183

211

141

2

183

422

141

62

Следовательно, векторы , , образуют базис линейного


,

,

,

.

.

.


1) Пусть – базис пространства и , . Показать, что –

базис пространства . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и от

второго к первому. Найти координаты вектора в базисе .

2) Показать, что системы векторов и являются базисами

пространства . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и от второго к

первому в следующих случаях:

a) , , , , ,

при n=3 ;

b) , , , ,

, , , при n=4.

3) Пусть – базис пространства и , ,

. Показать, что – базис пространства . Найти матрицу

перехода от первого базиса ко второму и от второго к первому. Найти координаты

векторов , и в обоих базисах.

4) Пусть и – два базиса пространства и – матрица

перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты векторов и

первом и втором базисах.

5) Записать матрицу перехода от базиса к базису

a) ,

3,2,11 а 8,2,42 а 1,4,13 а

3A

3211 3213,2,1 eeeа

3212 8248,2,4 eeeа

3213 1411,4,1 eeeа

321 5015,0,1 eeeb

183

422

141

aeT

a

ae

еb

b

b

T

3

2

1

5

0

1

1

0

2

5

0

1

6410

2210

14430

20

1

5

0

1

183

422

141

5

0

11

1

3

2

1

еее

ae

a

T

b

b

b

21,ee 2R 211 5 eee 212 32 eee 21,ee

2R

21 4eea 21,ee

neee ,...,, 21 nfff ,...,, 21

nR

)0,1,1(1 e )3,2,1(2 e )1,1,0(3 e )4,1,3(1 f )5,2,1(2 f

)1,2,3(3 f

)0,1,2,1(1 e )1,1,1,1(2 e )1,1,2,1(3 e )1,0,1,1(4 e

)1,0,1,2(1 f )2,2,1,0(2 f )2,1,1,2(3 f )2,1,3,1(4 f

321 ,, eee 3R 3211 22 eeee 212 2 eee

3213 eeee 321 ,, eee 3R

321 4 eeex 3212 eeey yxz 32

321 ,, aaa 321 ,, bbb 3R

111

120

001

T

321 32 aaax

3213 bbby

4321 ,,, eeee

1432 ,,, eeee

63

b) ,

c) .

6) Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:

a) поменять местами два вектора первого базиса,

b) поменять местами два вектора второго базиса,

c) записать векторы первого базиса в обратном порядке,

d) записать векторы второго базиса в обратном порядке,

e) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

7) Найти матрицу перехода от базиса пространства многочленов степени ≤ 3 к

базису .


ВАРИАНТ 1

1. Матрица является матрицей перехода от базиса к базису

. Найти координаты векторов и вектора в базисе

.

2. В пространстве многочленов, степени которых не превосходят 3, найти матрицу

перехода от базиса к базису .

3. Найти связь координат одного и того же вектора в двух базисах , и

, .

ВАРИАНТ 2

1. Убедиться, что , , образуют базис линейного

пространства . Найти координаты вектора в базисе .

2. В пространстве многочленов, степени которых не превосходят 2, найти матрицу перехода

от базиса к базису .

3. Матрица является матрицей перехода от базиса к базису .

Найти координаты векторов , в базисе .

ВАРИАНТ 3

1. Даны два базиса линейного пространства : , , и

, , . Найти матрицу перехода от первого базиса ко

второму и от второго к первому.

2. Найти координаты многочлена в базисе

.

4312 ,,, eeee

4332211 ,,, eeeeeee

32 ,,,1 xxx

32 )(,)(),(,1 axaxax

123

120

011

M 321 ,, eee

321 ,, aaa 321 ,, eee312 eex

321 ,, aaa

32 ,,,1 xxx 32 )4(,)3(,53,3 xxx

xe 11 22 e

xa 231 xa 342

)3,2,1(1 a )8,2,4(2 a )1,4,1(3 a

3A )2,1,7( b 321 ,, aaa

5,13,232 xxx 3,,1 2 xx

43

32T 21, ee 21, ff

21, ee 21 32 eec 21, ff

3A )1,1,1(1 e )1,1,2(2 e )1,0,1(3 e

)1,1,0(1 f )1,0,1(2 f )2,0,1(3 f

248)( 2 xxxf 23,43,123 22 xxxxx

64

3. Убедиться, что многочлены составляют базис пространства

. Найти матрицу перехода от базиса к базису

ВАРИАНТ 4

1. Даны два базиса линейного пространства: , и , .

Найти связь координат одного и того же вектора в этих базисах.

2. Убедиться, что многочлены , , составляют базис

линейного пространства многочленов, степени которых не превосходят 2. Найти

координаты многочлена в этом базисе.

3. Убедиться, что многочлены составляют базис пространства . Найти

матрицу перехода от базиса к базису .

ВАРИАНТ 5

1. Найти связь координат одного и того же вектора в двух базисах: , и

, .

2. Найти матрицу перехода от базиса к базису

.

3. Даны два базиса и , причем , . Найти координаты

вектора в базисе .

ВАРИАНТ 6

1. Найти матрицу перехода от базиса , , к базису

, , .

2. Найти координаты многочлена в базисе .

3. Найти связь координат вектора в двух базисах: , и ,

.

ВАРИАНТ 7

1. Убедиться, что векторы , , образуют базис

линейного пространства . Найти координаты вектора в этом базисе.



3. Матрица является матрицей перехода от базиса , к

базису . Найти координаты вектора в базисе .

32 )4(,)2(),3(,2 xxx

3P32 ,,,1 xxx 32 )4(,)2(),3(,2 xxx

)2,1(1 e )3,2(2 e )5,4(1 e )1,1(2 e

1321 xxf 2

2 34 xxf 23 xf

355 2 xxg

2)2(),3(,2 xx 2P

2)2(),3(,2 xx 2,,1 xx

)2,1(1 a )1,2(2 a

)3,2(1 b )1,4(2 b

32 ,,,1 xxx 12,13,1,4 332 xxxxx

21, aa 21, bb 211 53 bba 212 32 bba

21 23 bbc 21, aa

)3,2,1(1 a )1,0,4(2 a )0,2,2(3 a

)0,0,1(1 e )0,1,0(2 e )1,0,0(3 e

635)( 2 xxxf 13,34,4 2 xxx

xa 231 xa 342 xe 11 22 e

)3,2,1(1 a )1,3,2(2 a )1,0,2(3 a

3A )3,7,0( x

13,2, 22 xxxxx 3,24,4 2 xxx

43

32M )2,1(1 a )2,3(2 a

21, bb 212 aac 21, bb

65

ВАРИАНТ 8


.

2. Убедиться, что многочлены , , составляют базис

пространства многочленов, степени которых не превосходят 2. Найти координаты

многочлена в этом базисе.


. Найти матрицу перехода от базиса к базису .

ВАРИАНТ 9


. Найти координаты векторов и в базисе

.

2. Для пространства многочленов, степени которых не превосходят 2, найти матрицу

перехода от базиса к базису .

3. Даны два базиса: , и , пространства

двумерных векторов. Найти матрицу перехода от базиса к базису .

ВАРИАНТ 10


, , .

2. В пространстве многочленов, степени которых не превосходят 2, найти координаты

многочлена в базисе .


в пространстве многочленов, степени которых не превосходят 2. Найти

координаты многочлена в базисе .

ВАРИАНТ 11

1. В пространстве многочленов, степени которых не превосходят 2, даны два базиса:

и . Найти матрицу перехода от первого базиса

ко второму.

11 ee 212 eee 3213 eeee 321 ,, eee

1321 xxf 2

2 41 xf xxf 223

2P

383 2 xxg

003

010

211

M2,1, xx

321 ,, fff 321 ,, fff 2,1, xx

305

254

321

M 321 ,, eee

321 ,, aaa 321 ,, eee321 2 eeex 321 ,, aaa

2P

3,14,14 2 xx 4,2,322 xxxx

)2,1(1 a )5,3(2 a )1,1(1 b )3,2(2 b 2A

21, aa 21, bb

)3,2,1(1 a )1,3,2(2 a )1,1,0(3 a

)1,3,2(1 b )1,1,1(2 b )1,2,1(3 b

2P

63)( 2 xxf 3,32,1 22 xxxxx

200

320

321

M2,,1 xx

321 ,, fff 2P

143)( 2 xxxg 321 ,, fff

2P

13,4, 2 xxxx 13,1,13 22 xxxx

66

2. Убедиться, что векторы , образуют базис пространства . Найти

координаты вектора в базисе .


. Найти координаты вектора в базисе .

ВАРИАНТ 12


. Найти координаты векторов и вектора x=2e1–e2 в

базисе .

2. Даны два базиса линейного пространства двумерных векторов: ,

и , . Найти матрицу перехода от второго базиса к первому.

3. В пространстве многочленов найти матрицу перехода от базиса к базису

.

ВАРИАНТ 13

1. Убедиться, что векторы , , образуют базис

линейного пространства . Найти координаты вектора в базисе .



3. Даны два базиса линейного пространства двумерных векторов: ,

и , . Найти матрицу перехода от базиса к базису .

Раздел 6. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАНГОВ ИХ МАТРИЦ

Метод Гаусса имеет ряд недостатков: нельзя узнать, совместна система или нет, пока не

будут проведены все преобразования, необходимые при использовании метода Гаусса; метод

Гаусса не пригоден для систем с буквенными коэффициентами.

Рассмотрим другие методы решения систем линейных уравнений. Применение этих

методов предполагает использование понятия ранга матрицы и сведение решения любой

совместной системы к решению системы, к которой применимо правило Крамера.

Пример 1. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений с помощью

фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения

неоднородной системы:

)2,1(1 a )5,3(2 a 2A

)4,3(x 21, aa

100

110

111

M 321 ,, eee

321 ,, aaa3213 aaab 321 ,, eee

100

110

121

M 321 ,, eee

321 ,, aaa 321 ,, eee 212 eex

321 ,, aaa

2A )4,3(1 a )1,1(2 a

)5,2(1 b )3,1(2 b

3P32 ,,,1 xxx

32 )2(,)3(,32,5 xxx

)3,2,1(1 a )8,2,4(2 a )1,4,1(3 a

3A )5,0,1( 321 ,, aaa

3,32,232 xxx xxx 4,23,1 2

2A )2,1(1 a )5,3(2 a

)1,2(1 b )4,3(2 b 21, aa 21, bb

67

(1)

1. Составляем матрицу и расширенную матрицу системы (1):

.

2. Исследуем систему (1) на совместность. Для этого находим ранги матриц и

(обозначим их через и ). Если окажется, что , то система (1) несовместна.

Если же получим, что , то эта система совместна и мы ее будем решать.

(Исследование на совместность основано на теореме Кронекера-Капелли).

a) Находим .

.

Чтобы найти , будем рассматривать последовательно отличные от нуля миноры

первого, второго и других порядков матрицы и окаймляющие их миноры.

(1 берем из левого верхнего угла матрицы ).

Окаймляем второй строкой и вторым столбцом этой матрицы. .

Продолжаем окаймлять второй строкой и третьим столбцом. Получим

. Значит, . Теперь окаймляем отличный от нуля минор второго

порядка.

Имеем: (так как два первых столбца одинаковые).

(т.к. вторая и третья строки пропорциональны).

Мы видим, что , а базисный минор матрицы .

b) Находим .

.

Достаточно базисный минор матрицы окаймить столбцом свободных членов и

всеми строками (у нас только последней строкой).

.19

,232

,1

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

A A

9111

3211

1111

A

1

2

1

9111

3211

1111

A

A A

Ar Ar

AA rr

AA rr

Ar

9111

3211

1111

A

Ar

A

011 M A

1M 011

112 M

1M

0121

112

M 2Ar 2M

0

111

211

111

3

M

0

820

410

111

911

321

111

3

M

2Ar 2M A

Ar

1

2

1

9111

3211

1111

A

2M A

68

.

Отсюда следует, что и остается базисным минором матрицы .

Так как , то система (1) совместна.

Переходим к нахождению общего решения этой системы.

3. Составим приведенную однородную систему (2) для системы (1), заменив в (1) все

свободные члены нулями. Затем найдем фундаментальную систему решений (ФСР)

системы (2), а через нее и общее решение этой системы.

(2)

Так как базисный минор матрицы системы (2), то эта система эквивалентна

системе (3), состоящей из первых двух уравнений системы (2) (ибо находится в первых

двух строках матрицы ).

(3)

Так как базисный минор находится в первом и третьем столбцах матрицы , то

основными неизвестными в (3) будут и . Свободные неизвестные и перенесем в

правые части системы уравнений (3).

(4)

В этой системе два свободных неизвестных ( и ). Поэтому ФСР системы (4) состоит

из двух решений. Чтобы их найти, придадим свободным неизвестным в (4) сначала значения

, , а затем другие: , .

При , получим

Эта система уже имеет единственное решение (его можно найти по правилу Крамера или

любым другим способом). Вычтя из второго уравнения первое, получим:

Ее решение: , . Учитывая значения и , которые мы им придали,

получим первое фундаментальное решение системы (2): .

Теперь полагаем в (4) , . Получим:

0

111

211

111

3

M

2Ar2M А

AA rr

.09

,032

,0

4321

4321

4321

хххх

хххх

хххх

2M A

2M

A

.032

,0

4321

4321

хххх

хххх

2M A

1x 3x2x 4x

.32

,

4231

4231

хххх

хххх

2x 4x

12 x 04 x 02 x 14 x

12 x 04 x

.12

,1

31

31

хх

хх

.0

,1

3

31

х

хх

11 x 03 x2x 4x

0,0,1,11

02 x 14 x

.32

,1

31

31

хх

хх

69

Решаем эту систему по теореме Крамера:

, .

Получаем второе фундаментальное решение системы (2): .

Решения , и составляют ФСР системы (2). Тогда ее общим решением будет

,

здесь – произвольные постоянные.

4. Найдем одно частное решение неоднородной системы (1). Как и в пункте 3, вместо

системы (1) рассмотрим эквивалентную ей систему (5), состоящую из первых двух

уравнений системы (1).

(5)

Перенесем в правые части свободные неизвестные и .

(6)

Придадим свободным неизвестным и произвольные значения, например, ,

и подставим их в (6). Получим систему

Эта система имеет единственное решение, так как ее определитель . Решая ее по

теореме Крамера или методом Гаусса, получим , . Учитывая значения свободных

неизвестных и , получим частное решение неоднородной системы (1) .

5. Теперь осталось записать общее решение неоднородной системы (1): оно равно сумме

частного решения этой системы и общего решения ее приведенной однородной системы

(2):

.

(7)

6. Проверка. Чтобы проверить, правильно ли решена система (1), надо общее решение (7)

подставить в (1). Если каждое уравнение превратиться в тождество ( и должны

уничтожиться), то решение найдено верно.

Мы подставим (7) для примера только в последнее уравнение системы (1)

( ).

Получим:

,

.

Откуда , т.е. получили тождество. Так поступаем со всеми остальными уравнениями

системы (1).

51

5

21

11

23

11

1

x 41

4

21

11

31

11

3

x

1,4,0,52

1 2

22121212211 ,4,,51,4,0,50,0,1,1 ССССССССС

21,СС

.232

,1

4321

4321

хххх

хххх

2x 4x

.322

,1

4231

4231

хххх

хххх

2x 4x 22 x

14 x

.32

,0

31

31

хх

хх

02 M

31 x 33 x

2x 4x 1,3,2,31

221211 ,4,,51,3,2,3 ССССС

.1

,43

,2

,53

24

23

12

211

Сх

Сх

Сх

ССх

1С 2С

19 4321 хххх

1)1(9)43()2()53( 22121 ССССС

1)9323()954()( 22211 ССССС

11

70

Замечание. Проверка обычно довольно громоздкая. Можно рекомендовать следующую

«частичную проверку». В общем решении системы (1) произвольным постоянным придать

некоторые значения и подставить полученное частное решение только в отброшенные

уравнения, т.е. в те уравнения из (1), которые не вошли в (5). Если получите тождества, то

скорее всего решение системы (1) найдено правильно. Но полной гарантии правильности такая

проверка не дает.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений (1), выразив основные

неизвестные через свободные.

Решение. Как и в примере 1, составляем матрицы и системы (1) и исследуем систему

(1) на совместность (см. пункты 1 и 2 примера 1). Так мы нашли общий базисный минор

этих матриц. Оставляем теперь только те уравнения системы (1),

коэффициенты в которых входят в этот базисный минор, т.е. первые два уравнения и

рассматриваем состоящую из них систему, эквивалентную системе (1):

(8)

Перенесем в правые части этих уравнений свободные неизвестные:

(9)

Систему (9) решаем методом Гаусса, считая правые части свободными членами:

.

Откуда получаем, что или . Подставим найденное выражение для

в первое уравнение системы, получим . Получаем .

Получим общее решение системы (1): , . Здесь и могут

принимать произвольные значения.

Это решение можно представить и в виде вектора:

.

Замечание. Разумеется, систему (8) можно решать и другими способами – методами Крамера,

подстановкой. Но всегда правые ее части считаются свободными членами.


Задания

1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы и выразить через нее

общее решение этой системы (способ выполнения этого задания описан в пункте 3

примера 1).

2. Исследовать на совместность, найти общее решение системы линейных уравнений с

помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и

частного решения неоднородной системы. Сделать проверку полученного решения

(способ выполнения этого задания описан в примере 1).

A A

0121

112

M

.232

,1

4321

4321

хххх

хххх

.322

,1

4231

4231

хххх

хххх

4

42

42

42

41

1

10

11

32

1

21

11

х

хх

хх

хх

43 41 xx 43 41 xx

3x 4241 141 ххxх 421 5ххх

421 5ххх 43 41 xx 2x 4x

),41,,5( 44242 xxххх

71

3. Найти общее решение системы линейных уравнений из своего варианта задания 2,

выразив основные неизвестные через свободные (способ выполнения этого задания

описан в примере 2).

ВАРИАНТ 1

1. 2.

ВАРИАНТ 2

1. 2.

ВАРИАНТ 3

1. 2.

ВАРИАНТ 4

1. 2.

ВАРИАНТ 5

1. 2.

.0192483

,03254

,04653

,0342

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.56

,45

,0

,12

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.0111784

,02463

,03542

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.3223

,523

,0323

,132

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

.08423

,097569

,075346

,05323

5421

54321

54321

54321

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.243

,12

,5229

,23

54321

5421

54321

4321

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxx

.0443

,07626

,098439

,075226

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.552

,12

,12

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.056107

,05254

,04375

,03243

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.337

,133

,3

,4432

432

421

432

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

72

ВАРИАНТ 6

1. 2.

ВАРИАНТ 7

1. 2.

ВАРИАНТ 8

1. 2.

ВАРИАНТ 9

1. 2.

ВАРИАНТ 10

1. 2.

ВАРИАНТ 11

1.

2.

.043

,07643

,06532

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.123345

,23622

,2323

,7

54321

5432

54321

54321

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

.059712

,0234

,03658

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.375554

,243333

,02

,12

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.0117136526

,04552510

,06373514

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.11177142

,1755104

,122

,122

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.05227

,024583

,024785

,022947

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

.2255

,1222

,132

,123

,132

321

4321

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.078

,05647

,0623

,042

431

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

.32

,12

,122

,3223

,84257

432

431

4321

4321

4321

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

.0923

,02592

,0324

54321

54321

5321

xxxxx

xxxxx

xxxx

.1

,2

,3

,4

,1

54

543

432

321

21

xx

xxx

xxx

xxx

xx

73

ВАРИАНТ 12

1. 2.

ВАРИАНТ 13

1. 2.

Раздел 7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

§1. Определение линейного преобразования

Пусть -мерное линейное пространство над полем , – поле действительных или

комплексных чисел, и – преобразование его в себя (или на себя), то есть закон, по которому

каждому элементу линейного пространства ставится в соответствие единственный

элемент - - этого пространства. Вектор называется образом вектора , а вектор

- прообразом вектора . Преобразование называется линейным преобразованием

линейного пространства , если выполняются условия

1) ,

2) , для любых векторов и любого числа .

Чтобы задать линейное преобразование линейного -мерного пространства ,

достаточно в нем взять любой базис и указать образы базисных векторов.

Если – базис и , то можем найти образ любого

вектора . Действительно, , поэтому

.

Если – базис линейного пространства и – его линейное преобразование,

то нам известны образы ; разложим их по базису:

.058212

,03239

,03717106

,0241062

54321

5421

54321

54321

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

.3987

,2654

,132

,1542522031192114

,1322161741021812

543

543

543

54321

54321

xxx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxx

.01718147

,0917126

,07542

,0432

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.2749

,42253

,6372

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

L n P P

x L

)(x )(x x

x )(x

L

)()()( yxyx

)()( xx Lyx , P

n L

nаа ,...,1 L nn baba ,...,11

Lx nnaxaxx ...11

)(...)()...()( 1111 nnnn axaxaxaxx nnbxbx ...11

),...,( 1 nее L

nее ,...,1

74

,

…………………………

.

Из коэффициентов этих разложений можно составить матрицу по столбцам:

.

Столбцы этой матрицы являются координатными столбцами образов соответствующих

базисных векторов. Такая матрица называется матрицей линейного преобразования в

базисе .

При нахождении матрицы линейного преобразования нужно

1) найти образы базисных векторов,

2) выразить каждый из них через базис,

3) выписать коэффициенты разложения в столбцы.

В матричном виде эти соотношения запишем в виде

или

,

где , , – матрица линейного преобразования в базисе

.

Зная матрицу линейного преобразования , можно найти образ любого вектора .

Если , а , то

.

Связь между матрицами одного и того же преобразования в разных базисах

выражается формулой

,

где

– матрица линейного преобразования в базисе ,

– матрица линейного преобразования в базисе ,

– матрица перехода от базиса к базису .

§2. Действия с линейными преобразованиями

Произведение линейного преобразования на число

Пусть – линейное преобразование линейного пространства над полем и –

любое число из . В результате линейного преобразования произвольному вектору

соответствует единственный вектор . Вектор . Если вектору поставить

в соответствие вектор , то имеем преобразование пространства :

.

nn еее 11111 ...

nnnnn еее ...11

nnn

n

aa

aa

A

...

.........

...

1

111

nее ,...,1

e

eAe

eAe

neee ,...,1 ),...,( 1 nееe A

e x

nnеxеxx ...11 nnеxеxx ...11

nn x

x

A

x

x

......

11

ATTB 1

A nее ,...,1

В nее ,...,1

Т nее ,...,1 nее ,...,1

L P k

P Lа

Laa )( Lak a

ak L

)(akaka

75

Это преобразование пространства называют произведением преобразования на число

и обозначают :

( .

Теорема 1. Если линейное преобразование линейного пространства над полем и –

любое число из , то есть линейное преобразование линейного пространства .

Теорема 2. Если – матрица линейного преобразования линейного пространства в

базисе , то матрица линейного преобразования в базисе есть .

Пример 1. Пусть - матрица линейного преобразования линейного

пространства над полем в базисе . Найти матрицу преобразования .

Решение. Матрица преобразования есть .

Сложение и вычитание линейных преобразований

Пусть даны линейные преобразования и линейного пространства . Если

- любой вектор из , то и - векторы из . Если вектору поставим в

соответствие единственный вектор из , то получим преобразование линейного

пространства . Оно называется суммой линейных преобразований и и обозначается

.

Итак, по определению

.

Аналогично определяется разность линейных преобразований:

.

Теорема 3. Если и – линейные преобразования линейного пространства , то

преобразования и линейного пространства являются линейными.

Теорема 4. Если и – матрицы, соответственно, линейных преобразований и

линейного пространства в базисе , то матрицы , являются

соответственно матрицами линейных преобразований и в том же базисе.

Пример 2. Пусть базис линейного пространства , , – его линейные

преобразования и их матрицы соответственно , . Найти матрицy

линейных преобразований в базисе :

1) ,

2) .

Решение.

1) ,

2) .

L k

k

akakak )(

L P k

P k L

A L

е k е kA

21

42А

2L С ),( 21 ееe 2

2

42

842A

L

a L aа )( aа )( L a

aa L

L

aaaaa )()(

aaaaa )()(

L

L

A B

L ),...,( 1 nеее BA BA

),( 21 еее 2L

11

22

eA

10

11

eB

е

32

3

52

77

30

33

22

4432 BA

21

11

11

22

30

333 AB

76

Умножение линейных преобразований

В линейном пространстве даны линейные преобразования и . Результатом

последовательного выполнения линейных преобразований и является преобразование

линейного пространства . Оно называется произведением линейных преобразований и

и обозначается :

.

Теорема 5. Произведение линейных преобразований и линейного пространства

является линейным преобразованием этого пространства.

Теорема 6. Если и - соответственно матрицы линейных преобразований и

линейного пространства в базисе , то матрица линейного преобразования

линейного пространства в базисе есть .

Пример 3. Пусть , матрицы линейных преобразований соответственно

и линейного пространства в базисе . Найти матрицы преобразований в

базисе .

1) ,

2) ,

3) .

Решение.

1) ;

2) ;

3) .

Пример 4. Пусть линейное преобразование пространства в базисе

имеет матрицу , а линейное преобразование этого

пространства в базисе имеет матрицу . Найти матрицу

линейных преобразований , в базисах , и исходном базисе

.

Решение. Чтобы найти матрицы преобразований , , надо знать матрицы

преобразований и в одном и том же базисе. Мы имеем три базиса: ,

, . По условию задачи есть следующие соотношения:

1) , ;

2) , ;

L

L

][)( aа

L

A B

nL ),...,( 1 nеее

nL е АВ

22

11A

02

01B

2L ),( 21 еее

е

)(

06

03

02

01

22

11BA

22

11

22

11

02

01AB

88

44

22

11

24

12)( AAB

2L

))1,1( ),1,2(( 21 fff

12

33

))4,2( ),3,1(( 21 hhh

11

12

) ,( 21 fff ) ,( 21 hhh

),( 21 еее

),( 21 еее ),( 21 fff

),( 21 hhh

feeTf

11

12feT

heeTh

43

21heT

77

3) , ;

4) , .

Из соотношений 1)–2) получим связь базисов и :

, ,

т.е.

и .

Матрицы линейного преобразования в разных базисах связаны соотношением

.

1) Найдем матрицы преобразования в базисах и :

a) – старый базис, , - новый базис, – матрица линейного

преобразования в базисе . По формуле связи между матрицами одного и того же

линейного преобразования в разных базисах имеем соотношение:

,


.

, ,

.

b) – старый базис, – матрица линейного преобразования в базисе ,

– новый базис, – матрица линейного преобразования в базисе .

, ,

2) Найдем матрицы преобразования в базисах и .

a) – новый базис, – матрица линейного преобразования в базисе ,

– старый базис, – матрица линейного преобразования в базисе . По формуле связи

между матрицами одного и того же линейного преобразования в разных базисах имеем

соотношение

,

fAf

12

33

fA

hBh

11

12

hB

f h1

fefTe hefehefehe TfTTfTeTh

11

hefe TfTh

1

fehe ThTf

1

eeee Te

ATe

B

1

e h

f

12

33

fA e

eM

e

fefe TMTAef

1

1 fefe TATM

fe

11

12feT

21

111

feT

31

61

21

11

45

78

21

11

12

33

11

12

eM

e

31

61

eM e

hh

K h

43

21heT

13

24

2

11

heT

6447

7656

2

1

43

21

152

182

2

1

43

21

31

61

13

24

2

1

1

hehe TMTKeh

е f

e

11

12

hB h

he

N e

hehe TNTBeh

1

78


.

, ,

.

b) – старый базис, – матрица линейного преобразования в базисе

, – матрица линейного преобразования в базисе , – новый базис.

,

, ,

.

3) Матрицы преобразования и в базисе .

, ,

,

.

4) Матрицы преобразования и в базисе .

, ,

,

.

5) Матрицы преобразований и в базисе .

, ,

,

.

1 hehe TBTN

he

43

21heT

13

24

2

11

heT

1319

57

2

1

13

24

710

34

2

1

13

24

11

12

43

21

2

1

1hehe T

hBTN

e

e

1319

57

2

1e

N

ef

S f f

fefe TNTSef

1

11

12feT

21

111

feT

1041

416

2

1

11

12

2131

812

2

1

11

12

1319

57

21

11

2

11fefe TNTS

ef

е

31

61

eM

1319

57

2

1e

N

5,95,8

5,85,2

1319

57

2

1

31

61

eQ

4464

83121

2

1

1319

57

31

61

2

1e

R

f

12

33

fA

1041

416

2

1

fS

45,18

511

1041

416

2

1

12

33

fH

29

1875

2

1

1041

416

12

33

2

1

fL

h

6447

7656

2

1

hK

11

12

hB

335,24

3726

11

12

6447

7656

2

1

hU

5,5579

6694

111158

132188

2

1

11

12

6447

7656

2

1h

V

79

Пример 5. Пусть – пространство многочленов степени с действительными

коэффициентами. Поставим каждому многочлену в соответствие многочлен

.

Решение. Так как есть многочлен с действительными коэффициентами

степени не выше 3, то он принадлежит , иными словами, – преобразование линейного

пространства в себя.

Докажем, что преобразование – линейное. Проверим выполнимость условий 1 и 2.

1)

;

2)

.

Из этого следует, что – линейное преобразование пространства .

Найдем матрицу преобразования в базисе .

Образы базисных векторов таковы:

,

,

,

Следовательно, матрица преобразования имеет вид

.

Пример 6. Выяснить, является ли преобразование пространства линейным, если оно

задано законом где – произвольный вектор

из . Найти его матрицу в базисе.

Решение. Рассмотрим два вектора:

,

и их сумму

.

Найдем их образы:

.

Очевидно, что

Теперь проверим выполнимость второго условия. Так как , то

.

)(3 xP 3

)(xf

)()1()]([ xfxfxf

)()1( xfxf

)(3 xP

)(3 xP

)]()1([)](1([)()()1()1()]()([ xfxfxhxhxfxhxfxhxfxh

)]([)]([ xfxh

)].([)]()1([)()1( xfxfxfxfxff(x)

)(3 xP

32 ,,,1 ххх

32 00012211)1( ххх 32 00211211)( ххххххх

3222222 0221121)1()( ххххххххх

.23311331)1()( 32332333 xxxxxxxxxx

2000

3200

3220

1112

А

3А

),2,,()],,[( 321132321 xxxxxxxxx ),,( 321 xxx

3A

),,( 321 xxxx ),,( 321 yyyy

),,( 332211 yxyxyxyx

),2,,()( 321132 xxxxxxx

),2,,()( 321132 yyyyyyy

)22,,()( 332211113322 yxyxyxyxyxyxyx

).( yxyx

),,( 321 xxxx

)()2,,())(2,,()( 321132321132 хxxxxxxxxxxxxx

80

Выяснили, что преобразование – линейное. Чтобы записать матрицу этого

преобразования в базисе , нужно найти образы базисных векторов. Пусть

базисные векторы имеют координаты (задали базис): , , .

Находим

,

т.е. .

Пример 7. Дана матрица линейного преобразования в базисе .

Найти образ вектора

Решение.

1-й способ. Используя формулу, получим

или

т.е. .

2-й способ. Исходя из определения матрицы линейного преобразования и свойства линейного

преобразования, имеем:

.

Пример 8. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу . Найти

его матрицу в базисе .

Решение. Обозначим через матрицу преобразования в базисе . Тогда имеем

.

Из условия задачи ясно, что матрица перехода от базиса к имеет вид

.

Найдем , тогда

.

),,( 321 ееее

)0,0,1(1 е )0,1,0(2 е )1,0,0(3 е

,210)2,1,0()]0,0,1[( 3211 eeee

,101)1,0,1()]0,1,0[( 3212 eeee

3213 101)1,0,1()]1,0,0[( eeee

112

001

110

eА

,,, 321 еее

011

101

211

А

.32 321 ееех

3

2

1

3

2

1

х

х

х

А

х

х

х

,

1

3

1

10)3(121

11)3(021

12)3(121

1

3

2

011

101

211

3

2

1

х

х

х

321 3 ееех

)1,3,1()0,1,2()1,0,1(3)1,1,1(2)()(3)(2)32( 321321 еееееех

21,аа

11

11А

,2 121 аае 122 аае

В 21,ее

АТТВ 1

21,аа 21,ее

12

11Т

12

111Т

47

24

12

11

10

11

12

11В

81

Пример 9. Линейное преобразование трехмерного действительного пространства с базисом

векторы , , (1) переводит соответственно

в векторы , , (2). Найти матрицу преобразования

в базисе .

Решение. Так как матрица (столбцы ее составлены из координат векторов ) –

невырожденная, то векторы составляют базис пространства. Матрица является

матрицей перехода от базиса к базису . Обозначим через матрицу

линейного преобразования в базисе . Тогда

и .

Найдем матрицу . Так как , , , то следует векторы

выразить через . Выразим через из системы уравнений (1)

и подставим их в формулы (2).

,

следовательно, .

, откуда .

, откуда .

Тогда получим

,

,

,

.

Из формул (1) получаем матрицу перехода

,

находим

.

321 ,, еее 3211 ееех 3212 ееех 3213 ееех

3211 2 еееу 322 ееу 313 ееу С

321 ,, еее

Т 321 ,, ххх

321 ,, ххх Т

,,, 321 еее 321 ,, ххх Q

321 ,, ххх

TCTQех

1 1 TTQCхе

хQ 11 yx 22 yx 33 yx

321 ,, yyy 321 ,, ххх 321 ,, еее 321 ,, ххх

13

12

1

3

2

1

200

220

111

111

111

111

xx

xx

x

x

x

x

1332

1xxе

1232 22 xxее 3222

1xxе

1321 xеее 2112

1

2

1xxе

32112

3

2

3ххху

32122

1

2

1ххху

32132

1

2

1ххху

123

113

212

2

1х

Q

111

111

111

xeT

110

011

101

2

11xeT

82

Окончательно получаем

§3. Характеристический многочлен и характеристические числа матрицы

Пусть дана квадратная матрица порядка . Характеристической

матрицей матрицы называют

с переменной , принимающей любые числовые значения.

Определитель матрицы является многочленом

n-ой степени от . Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы

уравнение – её характеристическим уравнением, а его корни –

характеристическими корнями или характеристическими числами матрицы .

§4. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Пусть дана квадратная матрица порядка и -мерный вектор-

столбец . Причём элементы матрицы и вектор-столбца принадлежат одному и тому

же полю , называемому основным. Произведение также является -мерным вектор-

столбцом с элементами из поля . Среди всевозможных -мерных векторов может

оказаться такой, что при некотором числовом множителе из поля .

.

004

426

022

4

1

110

011

101

222

024

202

4

1

110

011

101

2

1

123

113

212

2

1

111

111

1111

TTQCхе

nnn

n

aa

aa

A

...

.........

...

1

111

n

A

nnn

n

nnn

n

aa

aa

aa

aa

EA

...

.........

...

100

00

0...1

...

.........

...

1

111

1

111

...

.........

...

1

111

nnn

n

EA EA

,A

0 ЕА n ,...,, 21

A

nnn

n

aa

aa

A

...

.........

...

1

111

n n

nх

х

х

Х2

1

Р AХ n

Р n Х

ХAХ Р

83

Собственным вектором линейного преобразования называется всякий ненулевой

вектор , удовлетворяющий условию , где – число.

Число называется собственным значением преобразования , соответствующим

данному собственному вектору .

Равенство можно переписать в виде , или, что то же самое, в

виде

(*)

Если известно собственное значение , то все собственные векторы матрицы ,

принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения системы

(*). Вместе с тем, эта однородная система с квадратной матрицей имеет ненулевые

решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен

нулю и принадлежит рассматриваемому полю . Но это означает, что является корнем

характеристического многочлена и принадлежит полю . Таким образом,

характеристические числа матрицы, принадлежащие основному полю, являются её

собственными значениями. Для определения всех собственных значений матрицы нужно

найти все её характеристические числа и из них выбрать лишь те, которые принадлежат

основному полю , а для отыскания всех собственных векторов матрицы нужно найти все

ненулевые решения системы (*) при каждом собственном значении матрицы .

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы действительной матрицы

.

Решение. Характеристический многочлен матрицы имеет вид:

.

Умножим второй столбец на число (-2) и сложим с первым столбцом:

.

Прибавим третью строку к первой строке и получим

.

Умножим первый столбец на число (-1), сложим с третьим столбцом и получим

.

Х ХХ 0 0

0

Х

ХAХ 0)( ХЕA

.0)(...

...........................................

,0...)(

11

1111

nnnn

nn

xx

xx

A

ЕA Х ЕА

Р

ЕА Р

A

Р A

A

124

222

421

А

A

124

222

421

ЕА

120

2226

423

120

2226

303

120

28226

003

84

Умножим первую строку на число 2 и сложим со второй строкой и получим

.

Умножим второй столбец на число (-2) и сложим с третьим столбцом и получим

.

Таким образом, характеристический многочлен имеет корни: . Все они

действительные и поэтому являются собственными значениями матрицы .

При система имеет вид Её общим решением

является с произвольным постоянным . При , имеющем последовательно

все действительные значения, решение определяет общий вид собственных векторов матрицы

, принадлежащих собственному значению .

При система имеет вид Её общим решением

является с произвольными постоянными и . При и , независимо

приобретающих все действительные значения, решение определяет общий вид собственных

векторов матрицы А, принадлежащих собственному значению .

§5. Приведение матрицы к диагональному виду

Пусть дана квадратная матрица порядка . Если возможно из каких-либо

собственных векторов матрицы , принадлежащих собственно числам , как из

столбцов построить квадратную невырожденную матрицу порядка , то будет

выполняться соотношение , где – диагональная матрица с

собственными значениями матрицы по диагонали. При этом говорят, что

матрица приводится матрицей к диагональному виду. Матрица в этом случае

называется матрицей простой структуры. К матрицам простой структуры относятся

симметрические матрицы и матрицы простого спектра. Матрицы простого спектра – это те

120

2820

003

)6()3()3)(6)(3(

520

420

0032

3,6 321

A

6 0)( ХЕA

.0524

,0282

,0425

321

321

321

ххх

ххх

ххх

2

2

2

2

2

х

х

х

Х 2х 2х

A 6

3 0)( ХЕA

.0424

,022

,0424

321

321

321

ххх

ххх

ххх

3

31

1

22

х

хх

х

X 1х 3х 1х 3х

3

A n n

A n ,...,, 21

S n

ASS 1

n

000

0......

0...0

0...0

2

1

n ,...,, 21 A

A S A

85

матрицы, у которых все собственные значения различны и их число совпадает с порядком

матрицы.

Из соотношения получается соотношение – каноническое

разложение матрицы .

Если матрицу , удовлетворяющую соотношению , построить нельзя, то

матрица не приводится к диагональному виду, и, следовательно, не имеет канонического

разложения.

При конструировании матрицы для соотношений и нужно

найти все собственные значения матрицы и при каждом собственном значении

построить фундаментальную систему решений (ФСР) однородной системы уравнений

. Из решений ФСР, как из столбцов, составить матрицу . Причём в матрице

столбцами записываются решения для каждого в порядке нумерации собственных

значений: (число одинаковых соответствует их кратности). Если матрица

окажется квадратной, то она будет удовлетворять соотношениям и .

Если же матрица окажется неквадратной, то матрица не приводится к диагональному

виду и, следовательно, не имеет канонического разложения.

Для построения ФСР находят общее решение однородной системы уравнений: берут

любой отличный от нуля определитель порядка, равного числу свободных неизвестных в

системе; элементы -й строки (столбца) этого определителя принимают соответственно за

значения свободных неизвестных и находят из общего решения значения остальных (главных)

неизвестных. Так делают для всех строк (столбцов) выбранного определителя. Полученные

при этом частные решения составляют ФСР рассматриваемой однородной системы

уравнений. Свободным неизвестным можно придавать значения из строк (столбцов)

выбранного определителя в самой системе уравнений и находить соответствующие значения

главных неизвестных из системы.

Из этого правила вытекает, что построение ФСР однородных системы линейных

уравнений неоднозначно. Поэтому будет неоднозначным и построение матрицы для

соотношений и .

Пример 1. Матрица линейного преобразования в некотором фиксированном базисе

имеет вид . Найти собственные числа, собственные векторы

преобразования и (если это возможно) базис, в котором матрица имеет диагональный

вид.

Решение. Характеристический многочлен преобразования имеет вид

.

Так как , то собственные значения таковы: .

Составим систему уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих

корням :

ASS 1 1 SSA

A

S ASS 1

A

S ASS 1 1 SSA

n ,...,, 21 A

i

0)( ХЕA i S

S i

n ,...,, 21 i S

ASS 1 1 SSA

S A

i

S

ASS 1 1 SSA

321 ,, еее

111

020

113

eA

32 2442113)2(

111

020

113

32 2442 2321

2321

86

Найдем собственные векторы для :

Если , – первое фундаментальное решение и –

собственный вектор для .

Если , – второе фундаментальное решение и –

собственный вектор для .

Легко показать, что векторов недостаточно для конструирования квадратной

невырожденной матрицы 3-го порядка. Поэтому матрица не приводится к диагональному

виду, вследствие чего не имеет канонического разложения.

Пример 2. Выяснить возможность приведения действительной матрицы к

диагональному виду.

Решение. Характеристический многочлен имеет вид

.

Прибавим первый столбец ко второму столбцу и получим

.

Умножим вторую строку на (-1), прибавим к первой строке и получим

.

Корнями характеристического многочлена матрицы являются числа ,

. Все они действительные и поэтому являются собственными значениями матрицы .


корням :

.0)1(

,0)2(

,0)3(

321

2

321

xxx

x

xxx

i

i

i

2321

.

,

,0

,00

,0

31

2

321

2

321

xx

Rx

xxx

x

xxx

12 x 0 ,0 13 xx 3211 00 eeeg

2321

02 x 1 ,1 13 xx 3212 101 eeeg

2321

21, gg

eA

133

153

131

А

133

153

131

103

123

121

)1()2(

103

123

0022

A 221

13 A

221

.033

,033

,033

321

321

321

xxx

хxх

xxx

87

Эта система имеет общее решение: , в котором два свободных неизвестных.

Поэтому возьмём, например, определитель . Полагая в общем решении сначала

, , найдём . Затем, положим , , найдём , которые

составляют ФСР рассматриваемой однородной системы уравнений: , .


корням :

Эта система имеет общее решение: , в котором одно свободное неизвестное.

Поэтому ФСР состоит из одного решения, например, .

Из решений , и , как из столбцов, составляется невырожденная квадратная

матрица .

Поэтому матрица приводится к диагональному виду и имеет

каноническое разложение .

21

2

1

33 хх

х

х

Х

010

01

11 x 02 x 3 3 x 01 x 12 x 3 3 x

3

0

1

1Х

3

1

0

2Х

13

.033

,043

,032

21

321

321

xx

хxх

xxx

1

1

1

3

х

х

х

Х

1

1

1

3Х

1Х 2Х 3Х

133

110

101

S

A

100

020

0021ASS

1

1

133

110

101

100

020

002

133

110

101

SSA

88

§6. Область значений и ядро линейного преобразования

Пусть линейное преобразование линейного пространства над полем . Множество

называют областью значения линейного преобразования и обозначают

или .

Теорема 1. Область значений линейного преобразования линейного пространства есть

подпространство линейного пространства .

Теорема 2. Пусть – базис линейного пространства и – линейное преобразование

. Тогда базис совпадает с базисом системы векторов .

Следствие. равна рангу системы векторов .

Пусть

- матрица линейного преобразования линейного пространства в базисе . Тогда

известны координатные столбцы векторов в базисе . Пусть ранг матрицы равен

и – ее базисный минор. Для удобства будем считать, что он находится в левом верхнем

углу матрицы . Тогда векторы составляют базис системы векторов .

Согласно следствию теоремы 2 – это базис области значений и

.

Число называют рангом линейного преобразования .

Пример 1. Матрица линейного преобразования линейного пространства в базисе

имеет вид . Найти базис и размерность .

Решение. Найдём ранг матрицы :

,

, .

, отсюда . Базисные столбцы – это первый и второй столбцы . Значит, базис

составляют векторы , , и поэтому

.

Размерность равна двум.

Пусть – линейное преобразование линейного пространства над полем .

Множество векторов называют ядром линейного преобразования и

L P

}|{ Lxx L

)(L

L

L

nee ,...,1 nL

nL nL },...,{ 1 nee

nLdim nee ,...,1

nnn

n

aa

aa

A

1

111

.........

nee ...1

nL e

nee ,...,1e A

r rM

Anee ,...,1 },...,{ 1 nee

nee ,...,1 nL

)(dim ArrLn

r

A 3A

321 ,, eee

101

222

111

A3A

A

101

222

111

A

0101

112 M 2)( Ar

03 M 2)( Ar A

3A 3211 eeee 212 2eee

213213 2, eeeeeA

3A

L P

}0)(,|{ xLxx n

89

обозначают . Другими словами, – это множество всех векторов из , которые при

преобразовании переходят в нуль.

Очевидно, что , т.к. и .

Теорема 3. Ядро линейного преобразования линейного пространства является

подпространством пространства .

Доказательство. Проверяем выполнимость двух условий теоремы о линейных

подпространствах:

1) : .

Имеем

.

Тогда

,

поэтому

.

2) и

поэтому

Следовательно, - подпространство пространства . Теорема доказана.

Теорема 4. Множество векторов линейного преобразования линейного пространства

с базисом и матрицей

преобразования в базисе совпадает с множеством решений однородной системы

уравнений

(1)

Следствие. Если , то система имеет одно решение – только нулевое; поэтому

. Если , то система имеет бесконечно много решений. Ее ФСР состоит из

решений. Они и составляют базис . Размерность ядра равна , т.е.

.

Число называют дефектом линейного преобразования -

мерного линейного пространства .

Теорема 5. Сумма размерности области значений линейного преобразования -мерного

линейного пространства и размерности его ядра равна размерности , т.е.

.

Ker Ker L

0Ker 00 Ker0

Ker L

L

Kerba , Kerba

;0 aKera

0 bKerb

000)( baba

Kerba

Kera .: KertaPt

,00)()( tatta

.Kerta

Ker L

Ker

nL ),...,( 1 neee

nnn

n

aa

aa

Ае

1

111

.........

e

.0

..................................

,0

11

1111

nnnn

nn

xaxa

xaxa

nAr )(

0Ker nrAr )(

)( rn Ker )( rn

rnKer dim

Kerrn dim)( n

L

n

nL nL

nKerL dimdim

90

Пример 2. В линейном пространстве в базисе матрица линейного

преобразования имеет вид: . Найти базис и размерность ядра

преобразования .

Решение. Находим ранг матрицы .

, ,

, .

Значит ( ). Составляем систему уравнений , где :

(2)

Она имеет бесконечно много решений, и её ФСР состоит из одного решения:

Поэтому . Решаем систему (2).

Основные неизвестные – , , свободные – .

–3 1 1

Значит, ФСР системы (2) является (–3, 1, 1). Базис состоит из одного вектора, например,

и .


ВАРИАНТ 1

1. В линейном пространстве задано линейное преобразование , при котором

: . Доказать, что – линейное

преобразование. Найти его матрицы в базисах:

a) , , ;

b) , , .

2. Векторы , , линейным преобразованием φ

преобразуются соответственно в векторы , , .

3A 321 ,, eee A

031

242

121

еА

A

02331

212 M 2)( Ar

03 M 2)( Ar

nr 32 0AX

3

2

1

x

x

x

X

.03

,0242

,02

21

321

321

xx

xxx

xxx

.123)( rn 1dim Ker

.03

,02

21

321

xx

xxx

1x 2x3x

1x 2x 3x

.3

,1

,1

.3

,123

,1

.03

,12

,1

1

2

3

21

22

3

21

21

3

x

x

x

xx

xx

x

xx

xx

x

Ker

3213 eeea 3213 eeeKer

3A

),,( 321 xxxx )3,2,( 3213132 xxxxxxxx

)0,0,1(1 e )0,1,0(2 e )1,0,0(3 e

)1,1,1(1 a )3,1,2(2 a )6,1,4(3 a

)5,3,2(1 a )2,1,0(2 a )0,0,1(3 a

)1,1,1(1 b )1,1,1(2 b )2,1,2(3 b

91

Найти матрицу этого оператора в том базисе, в котором указаны координаты всех

векторов.

3. Дана матрица линейного преобразования в базисе . Найти

образы векторов , .

4. Описать образ и ядро линейного преобразования дифференцирования пространства

многочленов степени .

5. Найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований,

заданных матрицами

а) , б) .

ВАРИАНТ 2

1. Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка на матрицу

справа есть линейное преобразование. Найти его матрицу в базисе ,

, , .

2. Пусть , – линейное преобразование, имеющее в базисе ,

матрицу , а линейное преобразование в базисе

, задается матрицей . Найти матрицы линейных

преобразований , в базисе , .

3. Матрица является матрицей линейного преобразования в базисе

. Найти образы векторов , .

4. В пространстве линейное преобразование φ позволяет перевести вектор

в вектор . Найти базисы и

размерности образа и ядра этого линейного преобразования.



а) , б) .

212

101

123

M 321 ,, eee

321 ,, eee 321 32 eeea

n

32

21

130

020

132

dc

baM

00

011E

00

102E

01

003E

10

004E

LL : 2dim L )2,1(1 g

)3,2(2 g

54

43M LL :

)1,3(1 u )2,4(2 u

12

21N

1g 2g

201

312

201

M

321 ,, eee 321 ,, eee 321 34 eeea

3A

),,( 321 xxxx ),,( 321321321 xxxxxxxxxx

0

0

a

a

120

230

795

92

ВАРИАНТ 3

1. Дано преобразование линейного пространства , которое вектор

переводит в вектор . Доказать, что оно линейное, и найти

его матрицы в базисах:

a) , , ;

b) , , .

2. Дана матрица линейного преобразования пространства многочленов

степени не выше 2 в базисе . Найти образ вектора .

3. Преобразование в базисе , имеет матрицу , а

преобразование в базисе , - . Найти матрицу

в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

4. Найти образ и ядро линейного преобразования в линейном пространстве векторов-

отрезков, заданного формулой , где – фиксированный вектор.



а) , б) .

ВАРИАНТ 4

1. Преобразование пространства многочленов степени не более 3 определено

следующим образом . Доказать, что оно линейно и

найти его матрицы в базисах

a)

b)

2. Дана матрица линейного преобразования арифметического

трехмерного пространства в базисе , , . Найти

1) образ вектора ; 2) матрицу преобразования в базисе ,

, .

3. Линейное преобразование в базисе , имеет матрицу . Найти матрицу

преобразования в базисе , .

3A ),,( 321 xxxx

)3,2,( 312321 xxxxxxx

)0,0,1(1 e )0,1,0(2 e )1,0,0(3 e

)1,3,2(1 a )1,1,0(2 a )3,0,0(3 a

201

024

123

A

1,,2 xx 34)( 2 xxxf

)7,3(1 a )2,1(2 a

35

12M

)7,6(1 b )6,5(2 b

72

31N

3V

],[ axx a

25

43

310

110

1611

cxbxaxdcxbxax 2323 )(

;1 ,,, 23 xxx

.2,1,3, 23 xxx

013

122

011

A

3A )0,3,2(1 a )1,1,1(2 a )1,1,0(3 a

321 84 aaab )0,0,1(1 e

)0,1,0(2 e )1,0,0(3 e

1e 2e

32

21A

211 2 eea 212 3 eea

93

4. В пространстве линейное преобразование позволяет перевести вектор





а) , б) .

ВАРИАНТ 5

1. Дано преобразование в пространстве многочленов степени не выше 3, которое позволяет

всякий многочлен отображать в многочлен .

Доказать, что преобразование φ линейное и найти его матрицы в базисах:

a)

b)

2. Линейное преобразование в базисе , имеет матрицу

. Линейное преобразование в базисе , - матрицу

. Найти матрицу преобразования в базисе , .








а) , б) .

ВАРИАНТ 6

1. В пространстве многочленов степени не выше 2 задано преобразование , при котором

. Доказать, что – линейное преобразование, и найти его

матрицы в базисах

a)

b)

3A

),,( 321 xxxx )2,2,2( 321321321 xxxxxxxxxx

13

21

284

014

013

33

2210 xaxaxaa 2

210 xaxaa

; ,,,1 32 xxx

.3,1,2,1 322 xxxxx

)2,1(1 a )3,2(2 a

34

53A )1,3(1 b )2,4(2 b

96

64B 1a 2a

110

012

143

M 321 ,, eee

321 ,, eee 3214 eeea

3A

),,( 321 xxxx )2,,32( 321321321 xxxxxxxxxx

20

02

841

1362

331

)()1()( xfxfxf

;1 ,,2 xx

.3,13,22 xx

94

2. Пусть - линейное преобразование, в базисе , матрицу

, а линейное преобразование в базисе ,

задается матрицей . Найти матрицы линейных преобразований , в

базисе , .








а) , б) .

ВАРИАНТ 7

1. Найти матрицы линейного преобразования дифференцирования пространства

многочленов степени не выше 2 в базисах

a)

b)

2. Найти матрицу линейного преобразования трехмерного пространства , позволяющего

перевести векторы , , соответственно в векторы

, , , в том базисе, в котором заданы векторы.


матрицу преобразования в базисе , .

4. В пространстве многочленов степени задано линейное преобразование

. Найти образ и ядро этого линейного преобразования.



а) , б) .

LL : )2,1(1 g )3,2(2 g

34

43M LL : )1,3(1 u )2,4(2 u

12

21N

1u 2u

111

112

013

A 321 ,, aaa

321 ,, aaa31 2aab

3A

),,( 321 xxxx ),,( 321321321 xxxxxxxxxx

32

21

120

120

365

;,,1 2xx

.2

)1(,1,1

2

xx

3A

)5,3,2(1 a )2,1,0(2 a )0,0,1(3 a

)1,1,1(1 b )1,1,1(2 b )2,1,2(3 b

10

13M 21, ee

211 3 eea 212 eea

nP n

)()1()( xfxfxf

43

23

400

951

164

95

ВАРИАНТ 8

1. Дан базис линейного пространства , а линейное преобразование

при котором , , , . Доказать,

что векторы , , , образуют базис

пространства и составить матрицу линейного преобразования в базисе

.

2. Пусть линейное преобразование в базисе , имеет матрицу

, линейное преобразование в базисе , - .

Найти матрицу преобразования в базисе , .



4. В пространстве линейное преобразование позволяет вектор

перевести в .

Найти базисы и размерности ядра и образа этого линейного преобразования.



а) , б) .

ВАРИАНТ 9

1. В линейном пространстве даны базис и линейное преобразование

при котором, что , , . Доказать, что

векторы , , образуют базис в , и составить матрицы

линейного преобразования в базисах:

a) ;

b) .

2. Составить матрицы линейного преобразования линейного пространства ,

позволяющего перевести векторы , ,

соответственно в векторы , , в базисах:

a) , , ;

b) , , .

3. Линейное преобразование в базисе , имеет матрицу . Найти образы

векторов , , .

4321 ,,, eeee L

,: LL 211 eee 322 eee 433 eee 144 eee

211 eeg 322 eeg 313 eeg 44 eg

,L

4321 ,,, gggg

)1,0(1 a )1,1(2 a

32

21M )3,1(1 b )4,2(2 b

11

23N

1a 2a

243

321

011

C

321 ,, eee 321 ,, eee 321 53 eeea

4A ),,,( 4321 xxxxx

)2,2222,,( 4321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxx

27

54

13106

241912

006

L 321 ,, eee

,: LL 211 eee 312 eee 233 eee

22 eg 33 eg 11 eg L

321 ,, eee

321 ,, ggg

3A

)1,0,0(1 x )1,1,0(2 x )1,1,1(3 x

)5,3,2(1 y )0,0,1(2 y )1,1,0(3 y

)0,0,1(1 e )0,1,0(2 e )1,0,0(3 e

1x 2x3x

1e 2e

53

21M

1e 2e 21 53 eea

96




5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами

а) , б) .

ВАРИАНТ 10

1. В линейном пространстве задано линейное преобразование , при котором для

вектора . Доказать, что – линейное

преобразование, и найти его матрицы в базисах

a) , , ;

b) , , ;

2. В пространстве многочленов степени не выше 3 даны два линейных преобразования:

,

.

Найти матрицу линейного преобразования в базисе .



4. В пространстве многочленов степени дано линейное преобразование такое, что

. Найти его образ и ядро.



а) , б) .

ВАРИАНТ 11

1. Проверить, что транспонирование квадратных матриц второго порядка есть линейное

преобразование . Найти матрицу этого линейного преобразования в

базисе , , , .

2. Линейное преобразование в базисе , имеет матрицу .

Найти его матрицу в базисе , .

3A

),,( 321 xxxx )3,2,24( 321321321 xxxxxxxxxx

23

54

001

010

100

3A

),,( 321 xxxx ),2,( 312132 xxxxxxx

)0,0,1(1 e )0,1,0(2 e )1,0,0(3 e

)0,1,1(1 a )3,1,2(2 a )1,1,1(3 a

)())((: xfxf

cxbxaxdcxbxax 2323 )(:

1 ,,, 23 xxx

132

101

121

M

321 ,, eee 321 ,, eee 321 23 eeea

3

2

)()2()(

xfxfxf

53

13

804

463

104

d

c

b

a

dc

ba

00

011E

00

102E

01

003E

10

004E

LL : 1e 2e

35

12M

211 2eea 212 32 eea

97

3. Линейное преобразование позволяет перевести векторы ,

, соответственно в векторы , ,

. Найти матрицу этого преобразования в том базисе, в котором даны

координаты всех векторов.

4. В пространстве линейное преобразование позволяет вектор

перевести в . Найти

базисы и размерности ядра и образа этого линейного преобразования.



а) , б) .

ВАРИАНТ 12

1. Доказать, что преобразование линейного пространства , позволяющего перевести

вектор в вектор , является линейным. Найти

матрицы преобразования φ в базисах:

a) , , ;

b) , , ;


, . Матрица является матрицей линейного

преобразования в базисе , . Найти матрицы преобразований

и в базисе , .



4. В трехмерном линейном пространстве линейное преобразование задается матрицей

. Найти базисы и размерности ядра и образа этого преобразования.



а) , б) .

LL : )3,0,2(1 a

)5,1,4(2 a )2,1,3(3 a )1,2,1(1 b )2,5,4(2 b

)1,1,1(3 b

4А ),,,( 4321 xxxxx

),,,( 4321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxx

35

26

121

101

365

3A

),,( 321 xxxx )3,3,( 33221 xxxxxx

)0,0,1(1 e )0,1,0(2 e )1,0,0(3 e

)1,2,2(1 a )0,1,1(2 a )0,0,3(3 a

12

23M

)2,1(1 a )0,3(2 a

11

13N

)0,1(1 e )1,0(2 e

1a 2a

112

054

321

A

321 ,, eee 321 ,, eee 321 23 eeex

111

111

111

A

38

65

452

565

004

98

ВАРИАНТ 13

1. В пространстве многочленов степени не выше 2 дано преобразование , при котором

. Доказать, что – линейное преобразование, и найти его

матрицы в базисах

a)

b)

2. Линейное преобразование в базисе , имеет матрицу

, линейное преобразование в базисе , - матрицу

. Найти матрицы операторов и в базисе , .

3. Линейное преобразование позволяет перевести векторы ,

соответственно в векторы , . Найти матрицу этого преобразования в

том базисе, в котором даны координаты всех векторов. Найти матрицу линейного

преобразования в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.


в вектор . Найти базисы и размерности образа

и ядра этого оператора.



а) , б) .

Раздел 8. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

§1. Определение евклидова пространства. Матрица Грама

В действительном линейном пространстве определена операция скалярного

умножения векторов, если любой паре векторов поставлено в соответствие

действительное число, которое называют скалярным произведением векторов и

обозначают символом , и если для любых и любого действительного числа

выполняются следующие аксиомы скалярного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) при и при .

Пример 1. Пусть – пространство геометрических векторов, изучаемых в векторной

алгебре. Скалярное произведение, определяемое как произведение длин двух векторов на

косинус угла между ними, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

bxaxcbxax 22 )(

;1 ,,2 xx

.2,1,122 xxx

)1,3(1 a )2,4(2 a

12

21M )2,1(1 b )3,2(2 b

34

43B

1b 2b

)2,1(1 a )1,2(2 a

)1,3(1 b )1,2(2 b

3A

),,( 321 xxxx ),,( 321221 xxxxxxx

64

23

232

031

0122

Х

Хух ,

ух,

),( ух Хzух ,,

),(),( xyух

),(),(),( zyzxzух

),(),( ухух

0),( xх 0x 0),( xх 0x

Х

99

Пример 2. В арифметическом пространстве столбцов высоты скалярное произведение

векторов и можно определить формулой

.

Из аксиом 2 и 3 скалярного произведения следует, что любую конечную линейную

комбинацию векторов можно умножать скалярно на другую линейную комбинацию векторов

по правилу, аналогичному правилу умножения многочлена на многочлен, т.е. по формуле

(1)

Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное умножение

векторов, называют евклидовым пространством.

Конечномерное линейное пространство можно превратить в евклидово многими

способами. Если в -мерном евклидовом пространстве зафиксировать базис то

любые векторы и имеют в нём разложение

,

- и формула (1) для векторов и запишется в виде

(2)

или в матричном виде

,

(3)

где

, , .

Следовательно, скалярное произведение в евклидовом пространстве полностью

определяется матрицей .

Матрицу , в формуле (3) называют матрицей Грама базиса .

Свойства матрицы Грама

1) Матрица Грама симметрическая, для любого -мерного столбца удовлетворяет

условию .

2) Матрицы Грама и базисов и евклидова пространства соотносятся так:

, где – матрица перехода от базиса к базису .

3) Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.

4) Все угловые диагональные миноры , , матрицы

Грама базиса положительны.

nK n

Tnxxxx ),...,,( 21 T

nyyyy ),...,,( 21

nn yxyxyxух ...),( 2211

.,,1 111

k

i

l

j

jiji

l

j

jj

k

i

ii baba

n Х ,,...,, 21 neee

х у

n

i

iiexx

1

n

j

jjeyy

1

х у

n

i

n

j

jiji eeyxyx1 1

,,

Гyxyx T,

nx

x

x

x2

1

ny

y

y

y2

1

nnnn

n

n

ееееее

ееееее

ееееее

Г

,...,,

............

,...,,

,...,,

21

22212

12111

Х

Г

Г ),...,,( 21 neeeе

Г n 0x

0ГyxT

Г Г е е

ГТТГ T Т е е

kkkk

k

k

ееееее

ееееее

ееееее

,...,,

............

,...,,

,...,,

21

22212

12111

nk ,...,2,1

),...,,( 21 neeeе

100

Замечание. Любая матрица, обладающая свойством 4, может рассматриваться как матрица

Грама. В частности, в качестве матрицы Грама можно выбрать единичную матрицу, т.е. в

заданном базисе определить скалярное произведение формулой

. (4)

Теорема 1. Матрица Грама системы векторов является невырожденной только тогда, когда

эта система линейно независима. Матрица Грама линейно независимой системы векторов

положительно определена , в частности, имеет положительный определитель.

§2. Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации

Длиной вектора евклидова пространства называют величину

. (5)

Нормировать вектор – значит заменить его вектором . Вектор называют

единичным вектором, или ортом вектора .

Углом между ненулевыми векторами и евклидова пространства называют угол

, определяемый соотношениями

, . (6)

Корректность определения угла получается из неравенств , равносильных

неравенству Коши-Буняковского:

. (7)

Из неравенства Коши-Буняковского следует другое важное неравенство:

, (8)

называемое неравенством треугольника.

Векторы и евклидова пространства являются ортогональными, если их

скалярное произведение равно нулю, т.е. . Из определения ортогональности

векторов следует, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору.

Система ненулевых векторов называется ортогональной системой, если любые два

вектора этой системы ортогональны. Под ортонормированной системой понимают

ортогональную систему, все векторы которой имеют единичную длину (т.е. нормированы).

Замечание. Любую ортогональную систему можно превратить в ортонормированную простой

нормировкой, так как нормирование векторов, как и умножение на произвольные ненулевые

числа, не нарушает условия их взаимной ортогональности. Например, если векторы и

ортогональны, то в силу равенства векторы и ортогональны.

Теорема 2. Любая ортогональная система линейно независима.

Существует специальная процедура, которая позволяет преобразовать произвольную

линейно независимую систему из векторов в ортогональную систему, также имеющую

векторов. Эту процедуру называют процессом ортогонализации. Она состоит в следующем:

),...,,( 21 neeeе

nn

n

nT yxyxyx

y

y

y

xxxyxyx

...),...,,(, 22112

1

21

х х E

ххх ,

хх

хx 0 0x

х

х у E

yх

yх,cos 0

1

,1

yх

yх

),)(,(),( 2 yyxxyx

yxyх

х у E

0),( yx

х у

),(),( yxyx х у

k k

101

1) полагаем ;

2) если векторы ( ) найдены, ищем ненулевой вектор

, (9)

выбирая коэффициенты так, что бы вектор был ортогонален каждому из

векторов . Умножим равенство (9) скалярно на вектор , . С

учётом попарной ортогональности векторов и условия ортогональности им

вектора получим:

.

Отсюда находим

.

Таким образом, очередной вектор нужно выбирать согласно формуле

. (10)

Процесс ортогонализации рассчитан на линейно независимые системы векторов. Но

этот процесс можно модифицировать так, что станет возможным его применение и к линейно

зависимым системам векторов. Если система линейно зависима, то один из

векторов, , является линейной комбинацией предыдущих векторов: . В

результате процесса ортогонализации на -м шаге получим нулевой вектор . В таком случае

нужно опустить этот вектор и начать следующий шаг. В результате получим ортогональную

систему векторов , но в этой системе будет меньше векторов, чем в исходной

системе: , т.е. . Число есть ранг системы векторов .

Пример 3. Применяя ортогонализацию и нормирование векторов, ортонормировать систему

векторов

,

считая, что в четырёхмерном евклидовом пространстве скалярное произведение

определено формулой (4).

Решение. Положим . В соответствии с формулой (9) находим .

Умножим скалярно обе части последнего равенства на , получим:

,

откуда

11 ab

121 ,...,, ibbb ki

11,111 ... iiiii bbab

1,1,..., iii ib

121 ,...,, ibbb jb 1,...,2,1 ij

121 ,...,, ibbb

ib

),(),(0 jjjji bbba

2

,

,

,

j

ji

jj

ji

j

b

ba

bb

ba

ib

2

1

1

2

2

2

2

1

1 ,...

,,

i

iiiiii

b

ba

b

ba

b

baab

kaaa ,...,, 21

ia 121 ,...,, iaaa

i ib

sbbb ,...,, 21

kaaa ,...,, 21 ks s kaaa ,...,, 21

0

0

1

1

1a

1

1

0

1

2a

0

1

0

0

3a

0

1

1

0

4a

4E

0

0

1

1

11 ab 12122 bab

1b

),(),(),(0 11211212 bbbabb

102

.

,

.

.

Находим вектор . Умножим скалярно обе части равенства на ,

получим .

Поскольку , так как векторы и ортогональны, находим

.

,

.

Умножим теперь скалярно обе части равенства на , получим:

,

откуда

.

,

.

.

Находим вектор . Умножим скалярно обе части равенства на

, получим

.

Поскольку и , так как векторы , и попарно ортогональны,

находим

.

2

1,

,

,2

1

12

11

1221

b

ba

bb

ba

101011011),( 12 ba

200001111),( 11 bb

1

12

12

1

0

0

1

1

2

1

1

1

0

1

12122 bab

23213133 bbab 1b

),(),(),(),(0 123211311313 bbbbbabb

0),( 12 bb 1b 2b

0

,

,

,2

1

13

11

1331

b

ba

bb

ba

000011010),( 13 ba

200001111),( 11 bb

23213133 bbab 2b

),(),(),(),(0 223221312323 bbbbbabb

5

2,

,

,2

2

23

22

2332

b

ba

bb

ba

110112

10

2

10),( 23

ba

2

51111

2

1

2

1

2

1

2

1),( 22

bb

5

25

35

15

1

1

12

12

1

5

2

0

0

1

1

0

0

1

0

0

23213133 bbab

34324214144 bbbab

1b

),(),(),(),(),(0 1343124211411414 bbbbbbbabb

0),( 12 bb 0),( 13 bb1b 2b 3b

2

1,

,

,2

1

14

11

1441

b

ba

bb

ba

103

,

.

Умножим скалярно обе части равенства на , получим

.


находим

.

,

.

Умножим скалярно обе части равенства на , получим:

.


находим

.

,

.

.

Нормируя векторы , , , , придём к ортонормированной системе векторов

, , , .

100011110),( 14 ba

200001111),( 11 bb

2b

),(),(),(),(),(0 2343224221412424 bbbbbbbabb

0),( 21 bb 0),( 23 bb1b 2b 3b

5

1,

,

,2

2

24

22

2442

b

ba

bb

ba

2

11011

2

11

2

10),( 24

ba

2

51111

2

1

2

1

2

1

2

1),( 22

bb

3b

),(),(),(),(),(0 3343324231413434 bbbbbbbabb

0),( 31 bb 0),( 32 bb1b 2b 3b

3

4,

,

,2

3

34

33

3443

b

ba

bb

ba

5

4

5

20

5

31

5

11

5

10),( 34

ba

5

3

5

2

5

2

5

3

5

3

5

1

5

1

5

1

5

1),( 33

bb

3

103

13

1

5

25

35

15

1

3

4

1

12

12

1

5

1

0

0

1

1

2

1

0

1

1

0

34324214144 bbbab

1b 2b 3b4b

0

0

2

1

2

1

1

11

b

bq

5

2

5

2

10

1

10

1

2

22

b

bq

15

2

5

3

15

1

15

1

3

33

b

bq

3

1

0

3

1

3

1

4

44

b

bq

104

§3. Ортонормированные базисы

Базис евклидова пространства называют ортогональным базисом, если его

векторы попарно ортогональны. Если векторы этого базиса, кроме того, имеют единичную

длину, т.е. нормированы, то он называется ортонормированным базисом. В

ортонормированном базисе выполняются условия

(11)

Теорема 3. В любом конечномерном евклидовом пространстве существуют ортогональные

и ортонормированные базисы. При этом любой вектор в входит в состав какого-либо

ортогонального базиса, а любой единичный вектор – в состав какого-либо

ортонормированного базиса.

Ортогональные (ортонормированные) базисы можно получить, дополняя подходящими

векторами данный вектор или данную ортогональную (ортонормированную) систему

векторов.

Пример 4. В трёхмерном арифметическом пространстве со скалярным произведением

, где , построить ортонормированный базис,

содержащий вектор .

Решение. Добавим к вектору вектор , удовлетворяющий условию

, которое в координатах имеет вид . Одним из решений

этого уравнения является вектор . Далее, к векторам и добавим вектор

, удовлетворяющий условиям и , которые в координатах

имеют вид . Одним из решений этой однородной системы уравнений

является .

Система векторов , , является одним из ортогональных базисов в . Нормируя эти

векторы, получим в ортонормированный базис:

neee ,...,, 21E

neee ,...,, 21

. при 1

, при 0,

ji

jiee ji

E

E

3K

332211, yxyxyxyx

3

2

1

x

x

x

x

3

2

1

y

y

y

y

1

1

1

1e

1

1

1

1e

3

2

1

2

у

у

у

e

0),( 21 ee 0111 321 yyy

1

0

1

2e 1e 2e

3

2

1

3

z

z

z

e 0),( 31 ee 0),( 32 ee

0z1z0z1

0z1z1z1

321

321

1

2

1

3e

1e 2e 3e3K

3K

105

, , .

Пример 5. В трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением

,

где , построить какой-либо ортонормированный базис.

Решение. Следует ортонормировать какую-либо максимальную линейно независимую в

систему векторов, например, систему векторов , , . Применим

процесс ортогонализации Грама-Шмидта: положим , . Умножим

скалярно обе части последнего равенства на , получим:

,

откуда

,

,

.

.

Находим вектор . Умножим скалярно обе части равенства на ,

получим

.

Поскольку , так как векторы и ортогональны, находим

,

,

.

Умножим теперь скалярно обе части равенства на , получим

,

откуда

1

1

1

3

1

1

11

е

еf

1

0

1

2

1

2

22

е

еf

1

2

1

6

1

3

33

е

еf

3E

23321331332211 332265, yxyxyxyxyxyxyxyx

3

2

1

x

x

x

x

3

2

1

y

y

y

y

3E

0

0

1

1e

0

1

0

2e

1

0

0

3e

0

0

1

11 еb12122 beb

1b

),(),(),(0 11211212 bbbebb

0

,

,

,2

1

12

11

1221

b

bе

bb

bе

0),( 12 be

1),( 11 bb

0

1

0

212122 ebeb

23213133 bbeb 1b

),(),(),(),(0 123211311313 bbbbbebb

0),( 12 bb 1b 2b

2

,

,

,2

1

13

11

1331

b

bе

bb

bе

2),( 13 be

1),( 11 bb

23213133 bbeb 2b

),(),(),(),(0 223221312323 bbbbbebb

106

,

, .

.

Нормируем каждый из векторов , , .

, , .

Векторы , , составляют ортонормированную систему.

Задачу можно решить и по-другому. Взять за произвольный фиксированный вектор и найти

вектор из условия . Затем найти вектор из условий и .

Полученные векторы , , следует нормировать с учетом того, что скалярные

произведения необходимо считать по заданной в условии задачи формуле.

Теорема 4. В любом ортонормированном базисе -мерного евклидова пространства

скалярное произведение векторов и , заданных координатами в этом базисе,

определяется формулой . (4)

Наоборот, если в базисе скалярное произведение определяется формулой (4), то этот базис

ортонормированный.

Следствие. В -мерном линейном пространстве с заданным базисом можно задать

скалярное произведение так, чтобы заданный базис был ортонормированным.

§4. Ортогональные матрицы

Квадратная матрица , для которой транспонированная матрица совпадает с

обратной матрицей , называется ортогональной матрицей. Квадратная матрица

является ортогональной, если .

5

3,

,

,2

2

23

22

2332

b

bе

bb

bе

3),( 23 be 5),( 22 bb

15

32

0

1

0

5

3

0

0

1

2

1

0

0

23213133 bbeb

1b 2b 3b

0

0

1

0

0

1

1

1

1

11

b

bf

05

10

0

1

0

5

1

2

22

b

bf

5

5

53

52

15

32

5

1

1

3

33

b

bf

1f 2f 3f

1b

2b 0),( 12 bb3b 0),( 13 bb 0),( 23 bb

1b 2b 3b

n E

nx

x

x

x2

1

ny

y

y

y2

1

nn

n

nT yxyxyx

y

y

y

xxxyxyx

...),...,,(, 22112

1

21

e

n X e

QTQ

1Q Q

EQQQQ TT

107

Свойства ортогональных матриц

1. Квадратная матрица ортогональна только тогда, когда сумма квадратов всех

элементов любого её столбца (строки) равна единице, а сумма попарных произведений

элементов двух любых столбцов (строк) равна нулю.

2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1.

3. Матрица, обратная ортогональной матрице, тоже ортогональная.

4. Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.

Теорема 5. В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного

базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной. Если матрица

перехода от ортонормированного базиса ко второму базису является ортогональной, то этот

второй базис тоже ортонормированный.

§5. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция вектора на подпространство

Пусть – евклидово пространство, а – его подпространство. В множество

векторов, ортогональных к каждому вектору подпространства , называют ортогональным

дополнением к подпространству .

Теорема 6. Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства

является подпространством в .

Теорема 7. Конечномерное евклидово пространство является прямой суммой любого

своего подпространства и его ортогонального дополнения , т.е. ортогональное

дополнение к подпространству является прямым дополнением.

Следствие 1. Если подпространство в n-мерном евклидовом пространстве имеет

размерность , то его ортогональное дополнение имеет размерность .

Следствие 2. Ортогональным дополнением к подпространству евклидова пространства

является подпространство .

Следствие 3. Если – подпространство в евклидовом пространстве , то любой вектор

имеет разложение , где , . Такое разложение единственно.

Пример 6. В четырёхмерном пространстве скалярное произведение в заданном базисе

определено формулой . Построить ортогональное

дополнение для подпространства , где , .

Решение. Векторы и составляют базис в . Дополним эту систему до базиса в

векторами и , удовлетворяющими условиям и и положим

. Векторы и являются решениями системы уравнений

Общее решение этой системы может быть записано в виде

. Эта система имеет два

Q

E L E L

L

LL L E

E

E

L L

L E

kL kn

L E

L

L E

Ex xxx 0 Lx 0

Lx

4E

44332211, yxyxyxyxyx

L 21,aaL

1

1

1

1

1a

1

1

1

1

2a

1a 2a L 4E

1b 2b 0),( 1 iba 0),( 2 iba

211 ,bbL 1b 2b

.0

,0

4321

4321

хххх

хххх

)1,0,0,1()0,1,0,1(),,0,( 434343 xxxxxxx

108

фундаментальных решения, например, , . Отметим, что и

составляют базис в , т.е. .

Пусть – подпространство евклидова пространства . Каждый вектор может

быть единственным образом представлен в виде

(12)

где , а вектор ортогонален к каждому вектору из , т.е. . Вектор

называют ортогональной проекцией вектора на подпространство и обозначают , а

вектор называют ортогональной составляющей вектора .

На практике при отыскании ортогональной проекции вектора на подпространство

, где система линейно независима, поступают следующим

образом. В разложении вектора на ортогональную проекцию и

ортогональную составляющую вектора вектор можно представить в виде

. (13)

Тогда равенство примет вид

(14)

Для определения коэффициентов необходимо умножить равенство (14)

скалярно на векторы . С учетом того, что ,

получаем систему линейных уравнений

(15)

относительно неизвестных . Из этой системы находим коэффициенты

Пример 7. Для вектора найти ортогональную проекцию на подпространство

и ортогональную составляющую , если , .

Решение. Векторы и линейно независимы. Запишем в виде

. Коэффициенты и находим, умножая скалярно равенство

на векторы и . Получаем систему

0

1

0

1

1b

1

0

0

1

2b1b 2b

L LL1

L E Ey

yyy 0

Ly 0

y L Ly 0y

y L уLпр

y y

x

kaaaL ,...,, 21 kaaa ,...,, 21

xxx 0x xx Lпр0

x x0x

kkaaax ...22110

xxx 0

xaaaxxx kk ...22110

k ,...,, 21

kaaa ,...,, 21 0),(...),(),( 21 xaxaxa k

),(...),(,

...

),(...),(,

),(...),(,

11

21212

11111

kkkkk

kk

kk

aaaaxa

aaaaxa

aaaaxa

k ,...,, 21

k ,...,, 21

0

6

3

x 0x

21,aaL x

0

1

1

1a

1

2

1

2a

1a 2a xx Lпр0 22110 aax

1 2

xaaxxx 22110 1a 2a

109

.

Для определения коэффициентов и найдём скалярные произведения:

,

,

,

,

,

.

Таким образом, получаем систему , решением которой будут

.

Значит, , а .


ВАРИАНТ 1

1. Используя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис

подпространства , где , ,

.

2. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство

и его ортогональную составляющую, где , ,

.

ВАРИАНТ 2



, .



.

),(),(,

),(),(,

2221212

2121111

aaaaxa

aaaaxa

1 2

3006)1(31,1 xa

901623)1(,2 xa

200)1()1(11, 11 aa

3102)1()1(1, 21 aa

3,, 1221 aaaa

61122)1()1(, 22 aa

21

21

639

323

321

3

3

0

1

2

1

3

0

1

1

322110 aax

3

3

3

3

3

0

0

6

3

0xxx

321 ,, aaaL )0,2,1,1,1(1 a )0,0,5,2,0(2 a

)2,1,3,1,1(3 a

)0,33,1,39(x

),,( 321 yyyL )2,0,3,1(1 y )2,1,7,3(2 y

)0,1,4,2(3 y

4321 ,,, aaaaL )2,1,1,1(1 a )11,5,1,2(2 a

)7,3,3,0(3 a )9,3,3,3(4 a

)1,3,1,1(z

),,( 321 aaaL )1,1,2,1(1 a )0,1,3,2(2 a

)7,2,1,3(3 a

110

ВАРИАНТ 3

1. Построить ортонормированный базис пространства , содержащий векторы

, .



.

ВАРИАНТ 4

1. Убедиться в том, что векторы , ортогональны, дополнить их до ортогонального

базиса пространства , если , .



ВАРИАНТ 5



.



.

ВАРИАНТ 6


подпространства , где , , .



.

ВАРИАНТ 7

1. Используя процесс ортогонализации, найти ортогональный базис подпространства

, где , , .

4A

2

1,

2

1,

2

1,

2

11a

6

5,

2

1,

6

1,

6

12a

)1,2,5,2( x

),,( 321 aaaL )7,2,1,1(1 a )4,1,1,1(2 a

)7,1,1,2(3 a

1a 2a

4A )3,1,1,1(1 a )0,5,1,4(2 a

)1,1,3,8( x

),,( 321 aaaL )1,1,3,2(1 a )1,3,3,4(2 a

).5,9,15,2(3 a

321 ,, aaaL )0,2,1,1,1(1 a )0,0,5,2,0(2 a

)2,1,3,1,1(3 a

)0,8,8,4( x

),,( 321 aaaL )5,3,3,1(1 a )3,5,3,1(2 a

)13,11,3,1(3 a

321 ,, aaaL )2,1,2,1(1 a )1,2,0,1(2 a )0,0,1,2(3 a

)9,8,3,10( x

),,( 321 aaaL )0,1,1,1(1 a )1,2,1,2(2 a

)3,8,1,8(3 a

321 ,, bbbL )1,1,1,1(1 b )1,1,3,3(2 b )8,6,0,2(3 b

111



.

ВАРИАНТ 8


подпространства , где , , .



.

ВАРИАНТ 9


подпространства , где , , ,

.

2. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора

на подпространство , где , ,

.

ВАРИАНТ 10


подпространства, натянутого на систему векторов , ,

.

2. Найти ортогональную проекцию вектора на линейное

подпространство , натянутое на векторы , , и

его ортогональную составляющую.

ВАРИАНТ 11


базиса пространства , где , .

2. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство ,

натянутое на векторы , , и его

ортогональную составляющую.

)12,9,12,3( z

),,( 321 aaaL )1,1,1,1(1 a )2,1,2,1(2 a

)0,3,0,3(3 a

321 ,, aaaL )3,1,2,1(1 a )1,1,1,4(2 a )8,1,1,3(3 a

)1,2,33,30(x

),,( 321 aaaL )8,1,1,2(1 a )3,1,2,7(2 a

)1,5,0,3(3 a

4321 ,,, aaaaL )1,3,1,2(1 a )3,3,4,7(2 a )7,3,3,0(3 a

)0,6,1,1(4 a

)20,1,12,4(x ),,( 321 aaaL )2,1,3,1(1 a )3,1,1,2(2 a

)5,2,4,3(3 a

)2,1,1,1(1 a )3,2,8,5(2 a

)8,3,9,3(3 a

)2,2,2,5( x

L )1,1,1,2(1 a )0,3,1,1(2 a )1,8,2,1(3 a

1a 2a

4A )2,1,1,1(1 a )3,3,2,1(2 a

)7,6,3,14( x A

)6,7,0,3(1 y )2,3,4,1(2 y )2,2,2,2(3 y

112

ВАРИАНТ 12


базиса пространства , где , .

2. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство,

натянутое на векторы , , и его

ортогональную составляющую.

ВАРИАНТ 13


подпространства, натянутого на данную систему векторов , ,

.

2. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство ,

натянутое на векторы , , и его ортогональную

составляющую.

1a 2a

4A )3,2,2,1(1 a )4,2,3,2(2 a

)1,6,3,1( x

)0,2,1,0(1 y )2,0,1,1(2 y )2,4,1,1(3 y

)1,2,2,1(1 a )3,5,1,1(2 a

)7,8,2,3(3 a

)4,3,1,4( x L

)1,1,1,1(1 a )1,2,2,1(2 a )3,0,0,1(3 a

113

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Половицкий Я. Д. Алгебра. Пермь: Перм. ун-т, 2008. Ч. 1, 2.

2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматлит, 1959.

3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч.1. Основы алгебры. М.: Физматлит,

2000.

4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2001.

5. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. СПб.:

Лань, 1999.

6. Шевцов Г. С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. М.:

Финансы и статистика, 2003.

7. Михалев А. В., Михалев А. А. Начала алгебры. Ч.1/Интернет-университет

инфомационных технологий. М., 2005.

8. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:

Наука, 1979.

9. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1978.

10. Икрамов Х. Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975.

11. Алгебра: Лабораторные работы № 1-7/ сост. Г. А. Маланьина,

В. И. Хлебутина, Т. М. Коневских. Пермь: Перм. ун-т, 2009.

12. Линейная алгебра: Лабораторные работы № 8-13/ сост. Г. А. Маланьина,

Я. Д. Половицкий, В. И. Хлебутина. Пермь: Перм. ун-т, 2006.

13. Линейные пространства: метод. указ. по решению задач/ сост.

Г. А. Маланьина, В. И. Хлебутина, Г. Ю. Савинкова. Пермь: Перм. ун-т,

2010.

14. Крутицкая Н. Ч, Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.:

Высшая школа, 1985.

114

Учебное издание

Коневских Татьяна Михайловна

Оглезнева Анна Николаевна

Алгебра и аналитическая геометрия.

Алгебра

Учебно-методическое пособие

Редактор Е. А. Огиенко

Корректор С. Б. Денисова

Техническая подготовка материалов: Т. М. Коневских

________________________________________________________________________________

Объем данных 3,99 Мб

Подписано к использованию 05.11.2019 ________________________________________________________________________________

Размещено в открытом доступе

на сайте www.psu.ru

в разделе НАУКА / Электронные публикации

и в электронной мультимедийной библиотеке ELiS

Издательский центр

Пермского государственного

национального исследовательского университета

614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15

http://www.psu.ru/

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ › files › docs › science ›...

Documents