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lecciones populares de matemáticas

METODO DE INDUCCION MATEMATICA

I. S. Sominski

nonyjiflPHbiE jieku,hh no matemathke

H. C. COMHHCKHfl

METOZl

MATEMATHMECKOñ

HHÜYKUHH

LECCIONES POPULARES DE MATEMATICAS

I. S. SOMINSKl

MÉTODO

DE INDUOCIÓN

MATEMÁTICA

Traducido del ruso por Carlos Vega, Candldato a Doctor en clencias

fisico-matemáticas

Segunda edición

EDITORIAL Ml«

MOSC0

IMPRESO EN LA URSS

Primera edición 1975

Segunda cdición 1985

© Traducción al cspaflol. Editorial Mlr. 1975

Ha KcnancKOM gauKe

ÍNDICE

Introducción 7

§ 1. Demostración de identidades;

problemas aritméticos

(ejemplos 1—13, probiemas I —16) 17

§ 2. Problemas trigonométricos

y algebraicos (ejemplos 14—18, problemas

16-23) 30

§ 3. Demostración de desigualdades

(ejemplos 19—24, problemas 24—27) 34

§ 4. Demostración de algunos teoremas

del Algebra elemental (teoremas I—7) 41

Epilogo. Yu. A. Gáslev. 47

Soluciones 52

INTRODUCCIÓN

Existen proposiciones generales y particulares. Son proposiciones generales, por ejemplo, las siguientes. Todos los ciudadanos de la URSS tienen derecho a la

enseñanza. En todo paralelogramo las dlagonales se cortan en el

punto medio de ambas. Todos los numeros que terminan en cero son divisibles

por 5. Las proposiciones particulares correspondientes son: Petrov tiene derecho a la enseñanza. Las diagonales del paralerogramo ABCD se cortan en el

punto medio de ambas. 140 es divisible por 5. E1 paso de las proposiciones generales a las particulares

se denomina deducción. Veamos un ejemplo.

Todos los ciudadanos de la URSS tienen derecho

a la enseñanza. (1)

Petrov es ciudadano de la URSS. (2)

Petrov tiene derecho a la enseñanza. (3)

La proposición particular (3) ha sido deducida de la proposición general (1) mediante la proposición (2).

E1 paso de las proposiciones particulares a las generales se aenomina inducción. La inducción puede llevar a conclusiones justas y a conclusiones falsas. Aclaremos esto con dos ejemplos.

140 es divisible por 5. (1)

Todos los números que terminan en cero son divisibles por 5. (2)

8

De la proposición particular (1) hemos obtenido la pro- posición general (2) que es justa.

140 es divisible por 5. (1)

Todos los números de tres dígitos

son divisibles por 5. (2)

De .a proposición particular (1) hemos obtenido la pro- posición general (2) que es falsa.

¿Cómo debe emplearse ia inducción en las Matemáticas»' para llegar síempre a conclusiones justas? La respuesta viene cn este libro.

1. Veamos primero dos ejemplos de indueción inadmi- sible cn las Matemóticas.

Ejemplo I. Sea

S"=T2 + 2l + 3^+ *•* +n(/i + l) ’

Es fácil ver que

o _ 1 _ i S‘-T2-T'

S,: 1.1*2

:F2 + T3 = T'

S*= F2 + Ts+5T + Fs = T ‘

Sobre la base de los resultados obtenidos afirmamos que para todo número natural n se tiene

Ejemplo 2. Consideremos el trinomio ^" + x + 41 estudiado ya por L. Euler. Tomando el cero en lugar de x, obtenemos el número primo 41. Tomando ahora en este mismo trinomio el uno en lugar de x, obtenemos de nuevo un número primo, el 43. Tomando en el trinomio sucesivamente 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 en iugar de x, obtenemos cada vez un número primo (47, 53, 61, 71, 83, 97, 113,

l> Véase el epílogo (páginas 47—51).

9

131 y 151, respectivamente). De aquí inferimns que al su s tituir x en el trinomio por un número entero no negativo cualquiera siempre se obtiene un número primo como resultado.

¿Por qué son inadmisibles en las Matemáticas Ios razonamientos empleados en estos ejemplos? ¿De qué adolecen los razonamientos realizados?

Ambas veces hemos enunciado una proposición general para todo n (para todo x, en el segundo ejeraplo) basándo- nos sólo en que esta proposición ha resultado justa para algunos valores de n (o de x).

La inducción se emplea ampliamente en las Materaáti- cas, pero hay que hacerlo con entendimiento1*; la ligereza puede conduci a conclusiones falsas.

Así, aunque en el ejemplo 1 la proposición general enunciada resulta casualmente justa (como se demuestra en el ejemplo 4), la proposición general del ejemplo 2 es falsa.

Efectivamente, analizando con mayor atención el trinomio W+x+41, nos persuadimos de que es igual a un número primo para x = 0, 1, 2.39, pero que para * = 40 este trinomio vale 413, o sea, un número compuesto".

2. En el ejemplo 2 nos hemos encontrado con una pro- posición que, siendo válida en 40 casos particulares, no lo es en general.

Dareraos otros ejemplos de proposiciones justas en varios casos particulares, pero no en general.

Ejemplo 3. E1 binomio x"—1, donde n es un número natural, tiene gran interés para los matemáticos. Bastará decir que está ligado estrechamente al problema geométrico sobre la división de la circunferencia en n partes iguales. No tiene nada de extraño, por consiguiente, que este binomio haya sido estudiado profundamente. En particular, los matemáticos se han interesado por la descomposición de este binomio en coeficientes de factores enteros.

Analizando las descomposiciones correspondientes a varios particulares de n, los matemáticos observaron que los valores absolutos de todos los coeficientes de estas descomposiciones no pasan del uno. En efecio,

11 Véase el epilogo (páginas 47—51). 31 Y salta en seguida a la vlsta que siendo x = 41 el númefo

x* + *-f-4l=4l*-p4l+4l es divlslble por 41.

2—17

10

x— 1 — x— 1,

x*— 1 = (jí— U(*+l).

x*— 1 = (x— 1)(a;s + x+1),

—1 =(x—I)(jc+1 ) <*■+!).

x»_l = (x-l)(x‘4-xa + *í + *+l).

j:»_ 1 =» (1) (x + 1) (x* + x+ I) (*■■— x+ 1).

Fueron compuestas tablas dentro de cuyos limites los coeficientes poseían esta propiedad. Pero Ios intentos de demosírar este hecho para todo n fracasaron.

En 1938 apareció en la revisfa «YcnexH MaTeMaTHwecKHX nayK» (Logros de las ciencias matemáticas, fasciculo IV) un pequeño artículo de N. G. Chebotaríov, destacado matemá- tico sovfttico, proponiendo a nuestros matemáticos estudiar esta cuestión.

El problema fue resuelto por V. K. Ivanov1'. Resulto que esta propiedad la tienen todos los binomios xn—I de grado menor que 105; pero uno de los faclores de a-105—1 es el polinomio

X4« _|_ xíi x”—x*3—*4S—2x41 — x4°—xst 4-

+ x9> -f x3» 4- x9* 4- xas 4- x3t 4- x31—x39 — x3»—x3*—

_x3a—x30 x” 4- x” 4-4- xl* + x13+xu— — x°—x*—2x’—x»—x» 4-*' + * + !

que no verifica dicha propiedad. Ejemplo 4. Consideremos los números de tipo 2*"4-1-

Para n=0, I, 2, 3 y 4 los números 22°-(-l=3, 2a-4-l=5. 23*4-l = 17, 21’ 4-1=257 y 23'4-1=65537 son primos. P. de Fermat, ilustre matemático francés del siglo XVII, aceptaba que todos los números de este tipo son primos. Sin embargo, L. Euler encontró, ya en el siglo XVIII, que

2-n 4- 1 = 4 294 967 297 = 641 -6 700 417

es un número compuesto.

11 «ycnexH MaTe.MaTHiecKHx HayK» (Logros de las ciencias mate- máticas.), 1941, fascículo IV, páginas 313—317.

n

Ejemplo 5. G. W. Leibniz, eminente matemático ale- mán del siglo XVII y uno de los fundadores de las «Mate- máticas superiores», demostró que cualquiera que sea el entero positivo n el número n*—n es divisible por 3, el número «»—n es divisible por 5 y el número n es divisible por 7. De aquí supuso que para todo k impar y cualquier n natural el número nk—n es divisible por k, pero pronto observó que 2’—2 = 510 no es divisible por 9.

Ejemplo 6. Un error del mismo carácter cometió D. A. Grave, conocido matemático soviético, al suponer que para todo primo p el número 2p~1— 1 noes divisible porp*. El cálculo directo confirmaba esta hipótesis para todos los números p menores que mil. Sin embargo, pronto se com- probó que 2,0M— 1 es divisible por 1093’ (1093 es un número primo); o sea, la hipótesis de Grave resultó errónea.

Ejemplo 7. ¿En cuántas partes dividen el espacio n planos jwsando todos por un mismo punto sin que pasen nunca tres por una misma recta?

Consideremos algunos casos particulares elementales de este problema. Un plano divide el espacio en dos partes. Dos planos, con un punto común, dividen el espacio en cuatro partes. Tres planos que pasan por un mismo punto, pero no tienen recta común, dividen el espacio en ocho partes.

A primera vista parece que, al aumentar en uno el número de planos, la cantidad de partes en que queda dividído el espacio se duplica y, por consiguiente, cuatro planos lo dividen en 16 partes, cinco lo dividen en 32 partes y, en general, n planos dividen el espacio en 2" partes.

Pero la realidad es distinta: cuatro planos dividen el espacio en 14 partes y cinco planos lo dividen en 22 partes. Se puede demostrar1’ que n planos dividen el espacio en n (n— l) + 2 partes.

Ejemplo 8. Veamos otro ejemplo de carácter muy instruc- tivo. Tomando en lugar de n en la expresión 991 /i*-|-1 sucesivamente los números enteros 1, 2, 3, ... jamás obtendremos el cuadrado de un número por muchos días o incluso años que dediquemos a ello. Sin embargo, seria erróneo deducir de aqui que ningún número de este tipo es un cuadrado. En efecto, entre los números de tjpo 99I/i'-f-I

w La soluq ¿n viene en el ejemplo 13 (página 29).

12

también hay euadrados; pero es muy grande el valor mínimo de n para el cual es un cuadrado el número 991n*-f-l. He aqul este valor:

n = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767.

Los ejemplos considerados permiten hacer una conclusión sencilla y al mismo tiempo importante.

Una proposición puede ser válida en una serie de casos particulares y no serlo en general.

3. Ahora surge otra pregunta. Se tiene una proposición válida en varios casos particulares y es imposible anaiizar todos Ios casos. ¿Cuándo se puede afirmar que esta proposi- ción es válida en general?

A veces la respuesta se logra aplicando un razonamiento especial conocido como método de inducclón matemática (completa o perfecta).

Este rnétodo se basa en ei principio de inducción mate- mática que consiste en lo siguiente.

Una proposición es válida para todo número natural n si: 1) es válida para n~ 1 y 2) de su validez para un nú- mero natural cualquiera n = k se desprende su validez para n = k-1-1.

Demostración11. Supongamos lo contrario, o sea, que la

proposición no es válida para cualquier número natural n. Entonces existe un número natural rn tal que 1) para n = m la proposición es falsa y 2) para todo n menor que m la prop.osición es justa (en otras palabras, m es el primer nú- mero natural para el cual resulta falsa ia proposición).

Es evidente que m> 1 pues para n=l la proposición es justa (condición 1). Por consiguiente, m— l es un núme- ro natural. Pero entonces la proposicíón es válida para ei

11 E1 lector puede omitir el texto que sigue hasta el punto 4 sin perjuicio para ia comprensión del matenal posterior, pues el principlo del número mlnimó—que se menciona a continuación y en el que se basa la demostración del prlncipio de inducción matemática —no es más (ni tampoco menos) evidente que el propio principio de induc- ción matemétiea. Por otra parte, un estudio más proíundo permite ver que ambos principios son equivalentes sólo si se aceptan condicio- nes complementarias. Por eso, podemos considerar el principio de inducción matemática como una hipólesis Intuitivamente muy convin- cente tomándola como un axioma que determina ia sucesión de los números naturales. Para mayore3 detalles véase ei epílogo y la literatura en éi mencionada.

13

número naíural m— 1 y no lo es para el número natural siguiente m. Esto contradice la condición 2.

Para demostrar el principio de inducción matemática nos hemos valido, como se ve, de que cualquier conjunto de números naiurales contiene el número minimo. Se puede demostrar que esta propiedad es, a su vez, un corolario del principio de induccíón matemática. Por lo tanto, ambas proposicjones son equivalentes y cualquiera de ellas se puede tomar como un axioma que deiine la sucesión de los números naturales; entonces la olra será un teorema. Suele tomarse comoaxioma precisamente el principiode inducción matemática.

4. Toda demostración que se basa en el principio de índucción matemática se deriomina demostración por induc- ción (por el método de inducción matemática). Tal demos- tración consta necesariamente de dos partes, o sca, de la demostración de dos teoremas:

Teorema 1. La proposición es válida para n = l.

Teorerna 2. La proposición es válida para n = A¡ -f t si

lo es para n = /e, donde k es un número natural arbitrario. Si ambos teoremas han sido demostrados, podemos afir-

mar, en virtud del principio de inducción matemática, que la proposición es válida para todo número natural n.

Ejemplo 9. Calcúlese la suma (véase el ejemplo 1)

S" = r2 + ¿3+3!4+** * +,n(¿i)' *

Sabemos ya que

Ahora no repitiremos el error cometido en el ejemplo 1 afirmando de inmediato que para todo número natural n es

Seamos prudentes y digamos que el análisis de las sumas

Slt S}, S3 y S4 sugiere la hipótesis de que S„ = -^~- para

todo número natural n. Sabemos que la hipótesis se cumple para n=l, 2, 3 y 4. Para comprobarla recurriremos al método de inducción matemática.

14

Teorema I. Para n=l la hipótesis se cumple pues

Teorenia 2. Supongamos que la hipótesis es válida para n = k, o sea, que

c_! | L _j * _ k ^* + k-j-\ •

domle k es un número natural. Demostremos que, entonces, la hipótesis es válida también para n—k+l, o sea, que

^ „*+* 4*+i rF5'

En efecto,

s*+i“S*+(fc+l)(*+2);

por consiguiente, según la hipótesis del teorema,

S h I 1 kl + -2k±-[ fe-|-l

*+' *! i ^WTWW+T) (fe+i)(fe-i-2) k+2'

Hcmos demostrado ambos teoremas. Ahora podemos afirmar, basándonos en el principio de inducción matemática, que

para todo número natural n. Observación I. Es necesario subrayar que la demostra-

ción por inducción exige incondicionalmente Ia demostración de ambos teoremas 1 y 2.

Hemos visto a qué conduce despreciar el teorema 2 (ejemplo 2).

Ahora mostraremos que tampoco se puede omitir el teorema I. Veamos un ejempio.

Ejemplo 10. Teorema. Todo número natural es igual at número natural siguiente.

Apliquemos para la demostración el método de inducción matemática. Supongamos que

* = é + l (1) y demostremos que

k + \=k + 2. (2)

15

En efecto, agregando l a ambos miembros de la igualdad (1), obtenemos la igualdad (2). Resulta, pues, que si la proposición es válida para n = también lo es para n—k-\-1. Hemos demostrado el teorema.

Corolario. Todos los números naturales son iguales.

¿Dónde radica el error? Consiste en que el primer teorema, necesario para poderaplicar el principio de inducción matemática, no ha sido demostrado (ni puede ser demostrado) y sólo ha sido demostrado el segundo teorema.

Cada uno de los teoremas 1 y 2 desempeña su papel. El teorema 1 crea, hablando figuralmente, la base de la inducción. El teorema 2 permite ampliar automática e indefinidamente esta base pasando de un caso particular al siguiente, o sea, de n a rc+1.

Si no ha sido demostrado el teorerna 1, pero ha sido demostrado el teorema 2 (ejernplo 6), no se ha creado la base de la inducción y no tiene sentido aplicar el teorema 2, pues nada hay que ampliar.

Si no ha sido demostrado el teorema 2, pero ha sido demostrado el teorema I (ejemplos 1 y 2), existe la base de la inducción pero no tenemos derecho de ampliarla.

Observación 2. Hemos explicado el método de inducción

matemática en el caso más sencillo. En situaciones más complejas habrá que modificar respectivamente los enun- ciados de los teoremas 1 y 2.

A veces, la segunda parte de la demostración se basa en que la proposición es válida no sólo para n — k sino también para n = k— I. En tal caso la proposición de la primera parte debe comprobarse para dos valores sucesivos de n. Más adelante el lector encontrará ejemplos de este tipo lejemplo 7, página 23).

A veces. en la segunda parte se demuestra la proposi- ción para un valor de n suponiéndose su validez para todos los números naturales k menores que n.

A veces. la proposición se demuestra para todo número entero n mayor que un número entero m “ (y no para cualquier número natural). En este caso la primera parte debe consistir en demostrar la proposición para n = m+l y, si es necesario, para algunos otros valores de n.

») por ejeinplo. toda proposición relacionada con los polígonos

de n lados tiene senlido sólo para n^*3.

16

5. Volvamos al ejemplo 1 para dejar consíancia de un momento importante en el método de inducción matemática.

Analizando la suma

C _ 1 . I I .

•• • + I

n(n+í)

para distintos valores de n, hemos visto que

por donde hemos llegado a la hipótesis de que

para todo n comprobándola después mediante el método de inducción matemática.

Hemos tenido la suerte de enunciar una hipótesis que efectivamente es justa. Si no hubiésemos acertado en la hipótesis, su falsedad quedaría manifiesta al demostrar el teorema 2.

Ejemplo II. Consideremos las sumas

i , i ,

’r5 + 2l + I

a(«4-I)

Supongamos que, analizando S„, hemos Ilegado a la hipó tesis de que

0)

La fórmula (I) es válida para n=I ya que S, = -^-. Su-

pongamos que es válida para n = k, o sea, que

c ...k+l

y tratemos de demostrar que también es válida para n = = *+ 1, o sea, que

, k+2 *+l — 3é-|-4 ’

17

Tenemos

•s*+,=s*+(ft+I)(fe+2) = fc+l . 1 fe» + 4fe» + 8ft+2

~3ft+1 +(ft+ 1) (ft+2) (ft+ I) (ft + 2) (3ft+ 1) '

o sea, un resultado distinto al que queríamos encontrar. Es decir, de la validez de la fdrmula (1) para n = k

no se deduce su validez para n = k+l. Queda claro que la fórmula (1) es falsa.

Por !o tanto, el método de inducción matemática permite determinar la ley general ensayando las hlpótesis que sur* gen, rechazando las falsas y llegando a la justa.

Para llegar a dominar el método de inducción matemá- tica es preciso considerar un número suficiente de problemas.

Para no repetir constantemente las palabras «Teorema 1» y «Teorema 2», convendremos en indicar por 1° y 2° la primera y la segunda parte de |a inducción (por su contenido, estas partes corresponden precisamente a los dos teoremas cuya demostración equivale a emplear el método de inducción matemática). Además, haremos diferencia entre ejemplos, acompafiados de solución detaliada, y problemas, destinados al trabajo individual del lector. A1 final del libro damos la solución de todos los problemas insertados en el texto.

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES; PROBLEMAS ARITMÉTICOS

EJemplo 1. Consideremos los números impares positivos tomados en orden de crecimiento'. 1, 3,'5, 7, ... Indique- mos el primero con el segundo con u„ el tercero con etc., es decir, pongamos

«i=l* «, = 3, + = 5, u, = 7, ...

Planteémonos el problema siguiente; hallar la fórmuia que vlncula el número impar un y su índice n.

Solución. Podemos expresar el primer número impar

así:

3-17

«, = 2-1-1; (I)

18

podemos expresar el segundo número impar asi:

«,-2-2-1; (2) podemos expresar el tercer número impar así:

«3 = 3-2—1. (3)

Analizando con atención las igualdades (1), (2) y (3), podemos enunciar la siguiente hipótesis: para obtener cualquier número impar un basta duplicar su indice y restar I; es decir, para cualquier /i-ésimo número impar se tiene

un = 2/i—l. (4)

Demostremos que esta lórmula es justa. 1°. La igualdad (1) signiíica que la fórmula (4) es vá-

lida para n== 1. 2°. Supongamos que la fórmula (4) secumple para n = k,

o sea, que para el fc-ésimo número impar se tiene

«* = 2ft—1.

Demostremos que, entonces, la fórmula (4) debe ser tam- bién válida para el (ft-fl)-ésimo número impar, o sea, que el (ft-fl)-ésimo número impar es de la forma

«*+i-2(*+l)“l

o, lo que es lo mismo,

M*+i —

Para obtener el (ft-|-l)-ésimo númcro impar basta agregar 2 al ft-ésimo número impar:

«*+i = «* + 2.

Pero, por hipótesis, «* = 2ft—1 de modo qde

u#+1=(2ft-l) + 2 = 2ft-f 1

como queríamos demostrar. Respuesta. u„ = 2n—1. Ejemplo 2. Calcúlese la suma de los n pnmeros nume*

ros impares. Solución. Indiquemos por S„ la suma buscada:

Sw=l+3+5 + ...+(2n—1).

19

Para problemas de este tipo los matemáticos disponen de íórmulas hechas. Nos interesa resolver este problema sin recurrir a dichas fórmulas, empleandoel método de in- ducción matemática. Para ello debemos elaborar la hipóte- sis, o sea, adivinar la respuesta.

Con este fin, tomamos para n sucesivamente los valores 1, 2, 3, ... hasta obtener materlal suficiente para poder enunciar una hipótesis más o menos acertada. Después que- dará sólo demostrarla empleando el método de inducción matemática.

Tenemos

S,= I, 5t —4, 5g = 9, 54 = 16, Ss=25 y Ss=36.

Ahora todo depende del espíritu de observación, de la capacidad de adivinar el resuJtado general a partir de los particulares.

Pensamos que en nuestro caso salta a !a vista que

S, = la, S,= 2\ Sa = 3» y S, = 4».

Sobre esta base podemos suponer que

S« = n*.

Demostremos que esta hipótesis es justa. 1°. Siendo n=l, la suma consta de un sumando igual

a 1. La expresión n* también es igual a 1 si n=\. 0 sea, la hipótesis se cumple para n = l.

2°. Supongamos que la hipótesis es válida para n*=k, es decir, que S* = A*. Demostremos que también debe ser válida para n = k + l, o sea, que

= (ft-f 1)*.

En efecto,

■S*+i = S*-f-(2ft-f 1).

Pero S* = &* de modo que

S*+i = A,-f(2ft+ !) = (*+ l)f

como queríamos demostrar. Respuesta. Sn = n*. Problema I. Determfnese un si se sabe quei/,= l yque

— w»-i + 3 j*

20

para todo número natural ft> 1. Sugerencia. u, = 3-l—2, u,= 3.2—2.

Problema 2. Hállese Ia suma

Sn = 1+ 2 + 2» + 2a + ... -1- 2»-*.

Sugcrencia. 5,=2 — 1, 5a = 28 —1, 5, = 2* — 1.

Ejemplo 3. Demuéstrese que la suma de los n primeros

números naturales es igual a n <'n^~ *■.

Solución. Este problema difiere de los anteriores pues

la hlpótesis viene dada y no hay que elaborarla. Sólo es necesario demostrar su validez.

Indiquemos por S„ la suma buscada:

S„=l+2 + 3+...+n.

1°. Para n= I la hipótesis es válida. 2°. Sea

1 + 2 + 3+..

Demostremos que O . (fc+l)(ft + 2) °*+i-2 '

En eíecto,

*i^tn+(4+,)»e±i^±a. Hemos resuelto el problema.

Ejeinplo 4. Demuéstrese que la suma de los cuadrados

de los n primeros números naturales es igual a n (n + !>.

Solución. Sea St(n)= l» + 2a + 3*+ ... +n».

1°. S,(l)=l* = iii±J^H±I>,

2°. Supongamos que

S,(n) = ^'1ty+?I.

Entonces

S,(n + l)=l* + 2* + 3*+...+n* + (n+I)* = = "("+iH2«+!.) + („ +1)3

21

y definitivamente

1 1) (n+1)í<n+1)*61H2(/t+1)'f 1].

Ejemplo 5. Demuéstrese que

5„= 1—2' + 3*—4*+ ... -f(—-l)n_1 rt* —

Solución. 1°. Salta a la vista que para n = 1 la hipóte-

sis es válida ya que (—1)° = 1. 2°. Sea

S* = 1 -2> + 3* -... -|- (-1 )*“'= (-1 )*~l.

Demostremos que

•S*+i= 1—2* + 3* —... + (—I)*-1 &' + (—1)* (ft +1)* = _( +g?

En eiecto,

S*+1 = S* + (-i)» (/f+l)« =

= <_ 1 )*-> + (-1 )* (* + 1). =

=(-n* [(ft+i)-|] ^+i)=(-i)»(ft+1)2(ft±-2).

Problema 3. Demuéstrese que

l, + 3* + 5»+... + (2rt— 1 )a = Oign—_nj2«±j_)

Problema 4. Demuéstrese que la suma de los cubos de

los n primeros números naturales es igual a [" (n^ -*]


1+* + *»+...+*" = í^=-í (x^l). Ejemplo 6. Demuéstrese que

1.2 + 2-3 + 3-4+...+(n-l)n = (n~l)3 (/> + 1).

Solución. 1°. =

____22 _

2°. Si

1 -2-t-2-3-f3-4 + ... +(n—l)n = Éilii2iLÍi±-!2t

se tiene 1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + ... + (n — I) n + n (n -f-1) =

E! resultado del ejernplo 6 puede ser deducido también de los resultados de los ejemplos 3 y 4 si nos fijamos en que

l*2 + 2.3-|-3-4+...-l-(n-l)n =

= 1 (1 + 1)+2(2+1)-f 3(3-{-1)4-...

...+(«-!) [(n-l) + l]= -[l* + 2»+...+(rt-l)»] + [l + 2... +(«-!)].


l.2-3 4-2-3-4 + 3-4-5+...+«(« +1) (n + 2) = _«(" + l)(n+2)ft + 3)

4 Problema 7. Demuéstrese que

1 i i i , I n ••'r(2n-l)(2nf l)"5^+I*


— f —+ | "* . "(" + !) l-3~3:5~” ‘ M2n —l)(2n + I) 2(2n + l)*


J_l _!_i_!_(_ 4_i_*_ 1 '4 ' 4+ ‘7-10 ‘ * ’ * ' (3n—2) (3n + 1) 3n +1 *


— + — | 1 | j_!_!_ |.5~5.9^ 9-13 '' ' (4n —3) (4n +1) 4n f 1 ’


I_ , l , a75Tr)'r (fl+l)(a + 2) ■**••*

... + __!_=_1_ (fl + n-l)(a + fl) a (af n)

23

Ejemplo 7. Demuéstrese que si v<¡ = 2 y tit=3 y sl

= —2

para todo número natural k, se tiene

«„ = 2“+l.

Solución. 1°. Para n = 0 y para n = 1 la proposición

es válida por hipótesis. 2°. Supongamos que

= y que t»*=2*+l.

Entonces

t»ft+l = 3 (2* + l)-2 (2*- + 1) = 2*+‘ + 1.

Problema 12. Demuéstrese que si

«i=fe¡r y (a^P) y si

u„= (a + P) «*-i— ap«fc-*

para todo número natural k > 2, se tienc 0„ + l__R«+»

-

Ejemplo 8. El producto 1-2-3se Indica por n. (se lee n íactorial). Conviene memorizar que 11 = 1,21 = 2, 31 = 6, 41 = 24 y que 51 = 120.

Calcúlese

S„=l-11+2-21+3-3! + . ..+n-nl.

Solución .

St= 1 -11 **=» 1* Sa= 1*11 + 2-21 =5,

Sa= 1-11+ 2-21+ 3-31 = 23,

S. = !.1I + 2-2I + 3-31 + 4-41 = 119.

Analizando estos resultados podemos persuadirnos de que

Si = 21 — 1, S, = 3! — 1, Ss = 4l — 1 y S4 = 51 — 1.

24

Por eso, podemos enunciar la siguiente hipótesis

Comprobémosla. 1°. Para «—1 la hipótesis es válida pues

Sx = 1 • 11 = 21 — 1. 2°. Sea

SA= 1-11 + 2-21 + ...+k-k\ = (k +1)1-1.

Demostremos que

SA+1 = 1.11+2-2! + ...+*•*! +

+ (*+ 1)(A;+ 1) l = (ife + 2) I—I. En etecto,

•S*+i — 5*-i (fe+ 1) (ft+ 1) I =

= [(ft+l)!-l] + (ft + l)(ft+I)! =

= (ft+l)l[l+(ft+l)]-l =

= (ft+I) I (ft + 2)—1 =(ft + 2) I —1.

Problema 13. Demuéstrese la identidad l

l+x 1 -t-X* 1+*+ + l+x* •• 6

2" I , 2" + » ” 1+*»" *— 1 ”ri_*>'»+J *

Ejemplo 9. Sea

a +P = m, ap = a, At = m—

A3 — m- , A,=m- , etc., m ■

m— I m —-

m—I

o sea,

Ak+1 = m—~ (m^Ua^P)

para ft> 1. Demuéstrese que A _(a'« + J—pn + l)_(ot"_ p«)

(1)

Solución. 1°. Demostremos primero que ia fórmula (1)

es válida para n=2. Por hípótesis.

At — m—

La fórmula (1) da

A

a m— 1 =(»+w-ís4=t

_ga+ Pa + aP~g—P “ a+P-í

(«a-P3)-,(«a—P3) (a* —p’)—(a—P)

o, simplificando la fracción en a—p,

A, a»+Pa+ap-a-p

a +í'- 1

como queríamos demostrar. 2°. Supongamos que la fórmula (1) es válida para

n = k, o sea, que (tt*+i-p*+.)-(a>-p»)

* (a*-P*)-(a*-'-p*-*)'

Demostremos que, entonces, tamblén debe ser válida para n*=k-\-1, o sea, que

= («*+»—p«+»)-(g» + |—p*+|)

k*'~ ía* + *— p* +') — (a*— p*)

En efecto,

4*+t = «-¿. es decir, Ah+t = (a + 6)—

Aplicando la igualdad (2), encontrarnos

A -r«4-Ri gp|a*—P*) —(a*-1 —P*-1)!

(«*+•—p*+*)—(a*+v_p»+i)

— (a*+«-p*+*) —(a*-p*)

como queríamos demostrar. Problema 14. Simpiifíquese el polinomio

1 * I *(*—!) / *(*— !)...{*—«+ I) ‘ M ' 51 •-. + !—U 7¡7

Respuesta. „(x-\){x-2).. (x-n)

26

Ejemplo 10 Demuéstrese que toda suma de un número entero de rublos, mayor que 7, se puede pagar en billetes de 3 y de 5 rublos.

Solución. 1°. La proposición es válida para la suma

de 8 rublos (ya que 8 rublos = 3 rublos-|-5 rublos). 2" Supongamos que la proposición es válida para una

suma de k rublos, donde k es un número entero mayor o igual a 8

Se pueden presenlar dos casos: 1) la suma de k rublos se puede pagar en billetes de 3 rublos y 2) para pagar la suma de k rublos se precisa al menos un billete de 5 rublos.

Eri el primer caso habrá no menos de tres billetes de 3 rublos ya que k > 8. Para pagar la suma de k-\-\ rublos bastará sustituir Ires billetes de 3 rublos por dos billetes de 5 rublos.

En el segundo caso para pagar la sumadefe-f-1 rublos sustituimos un billete de 5 rublos por dos billetes de 3 rublos.

Ejemplo 11. Demuéstrese que la surna de los cubos de tres número'; naturales sucesivos es divisible por 9.

Solución. 1°. La suma l3 + 23 + 33 es divisible por 9,

o sea, la proposición es válida si el primero de los tres riúmeros sucesivos es el I.

2°. Supongainos que la suma /?3 + (ft + 1 )3 -+ (* -t-2)3, dondc k es un número natural. es <1 ivisible por 9. La suma

+ + r 2)»+(* + 3)3 =

= (/.+-1)* +(¿ + 2)» + *» + 9fc2 + 27* + 27 =

= [*3 + (*+ 1 )*+(* + 2)1] f 9 (** + 3* + 3)

también será divisible por 9 pues consta de dos sumandos divisibles cada uno por 9.

Problema 15. Demuéstrese que la suma

A„ = lln+»+122n-t>

cs divisible por 133 cualquiera que sea el número entero n^O.

Ejemplo 22. Entre los 2n números I, 2, .... 2n se escogen al azar n + 1 números. Demuéstrese que entre los

27

últimos habrá al menos dos números -divisibles uno por otro.

Solución11. 1°. Para el caso de dos números 1 y 2 la proposición es váiida.

2°. Supongamos que hemos logrado escoger n -|- 1 núme- ros entre los 2n números 1, 2, 2/i(ra>2) de modo que ninguno sea divisible por otro. Para abreviar indica- remos este conjunto de números por Mn+1. Demostremos que, entonces, también se puede escoger n números entre los 2n—2 números 1, 2. .... 2n—2 de modo que ninguno sea divisible por otro.

Se pueden presentar cuatro casos: 1) M„+l no contiene el número 2n— 1 ni el número2n, 2) M,1+1 contiene el número 2n—1 y no contiene eí

número 2/i, 3) M,1+1 contiene el número 2n y nocontieneel número

2/i — l y 4) Aí„ + 1 contiene ambos números 2/i—1 y 2/i. Caso 1. Eliminernos de Aín+1 cualquier número. Queda-

ráo n números todos no superiores a 2n—2; ninguno será divisible por otro.

Caso 2. Eliminemos de Mn+1 el número 2n—I. Queda-

rán n números todos no superlores a 2/i — 2; ninguno de estos /i números será divisible por otro.

Caso 3. Eliininando de Aí,1+1 el número 2/i, obtenemos el mismo resultado.

Caso 4. Observemos, ante todo, que M„+i no contiene

el número n pues, de lo coritrario, habría en Mn+1dosnú- meros, 2« y n, divisible uno de ellos por el otro.

Eliminemos de /Ví„ + 1 ambos números 2/t —1 y 2n. Que- dará un conjunto de «—1 números que indicaremoscon Aín_,. Agreguemos a Aí„_, el número n. Obtendremos así n numeros con la particularidad de que ninguno pasa de 2n—2. Resta demostrar que entre estos n números no hay ninguno divisible por otro.

Como quiera que en Aín+1 no había dos números divisibles uno por otro, tampoco habrá números de este tipo en Aí,,.!. Sólo queda por demostrar que tampoco aparecen

11 Esta solución ha sido propuesta por M. Fridman. 4*

28

números de esta índole al agregar el número n al conjunto Mn.x.

Para ello es suficiente probar que 1) ninguno de los números que componen Aírt_, es divisible por n y que 2) el número n no es divisible por ninguno de los números que componen

La primera proposición se deduce de que Mn.x no contiene números superiores a 2n—2.

La segunda, de que el número 2n no es divlsible por ninguno de Ios números que componen

Por consiguiente, si aceptamos que la proposición no es válida en el caso de los 2n números 1,2.2n, tampoco será válida para los 2(n— 1) números i, 2.2n — 2. O sea, si ia proposición es válida para los 2(n— 1) núme- ros 1, 2, .... 2n—2, también será válida para los 2n nú- meros 1, 2, .... 2n.

De aquí y de 1° se infiere que nuestra proposición es válida para los 2n números 1, 2, .... 2n cualquiera que sea el número natural n.

Este problema admite la siguiente solución sencilia. Escojamos entre los 2n números 1, 2, .... 2n un conjunto cualquiera de n-fl números e indiquémoslo con Mn+i.

Dividamos todo número par que figura en M„+i por una potencia del 2 de modo que el cociente sea impar. Indi- quemos con Af„'+1 el conjunto de estos cocientes y de todos los números impares que figuran en EI conjunto M'n+t contiene /i-fl números impares todos menores que 2n.

Pero sólo hay n números impares positivos menores que 2/t y, por eso, en M'n+t habrá al menos dos números iguales. Sean ambos iguales a k.

Este resultado significa que Aí„+I contenia dos números 2’k y 2lk (uno de los números s o / puede ser igual a cero). Pero uno de estos dos números 2‘k 6 2(k es divisible por el otro.

Problema 16‘). Demuéstrese que n rectas distintas tra- zadas por un mismo punto de un plano lo dividen en 2n partes.

’) El problema 16 v el ejemplo 13 vincitlados a temas geomé- tricos, han sido. sln embargo, incluidos en esle pflrágrflío porque. de hecho. son de carécter arltmético.

29

Ejemplo 13. Demuéstrese: n planos que pasan por un mismo punto, sin que contengan nunca tres una recta común, dividen el espacio en A„ = n(n~l) + 2 partes.

Solución. »°. Un plano divide el espacio en dos partes

y, por otro lado, At = 2 de modo que /a proposiclón se cumple para n= 1.

2°. Supongamos que la proposición es válida para n = k, o sea, que k planos dividen el espacio en k (k—1) + 2 partes Demostremos que, entonces, fe + 1 planos lo dividen en k (k+ l) + 2 partes.

En efecto, sea P el (A+l)-ésimo plano. Corta cada uno de Ios k planos primeros según rectas y de esta forma el plano P queda dividido en partes mediante k rectas distintas que pasan por un mismo punto. En virtud del resultado del problema 16, el plano P estará dividido en 2k partes representando cada una un ángulo plano de vértice en el punto dado.

Los k planos primeros dividen el espacio en ángulos poliedros. Algunos de ellos son divididos por el plano P en dos partes.

La faceta común de dos Je estas partes es una porción del plano P comprendida cntre dos rayos, intersecciones de este plano y determinadas facetas del ángulo poliedro, o sea, es uno de ios 2k ángulos planos en que está dividido el plano P.

De aquí se deduce que no pasa de 2k el número de ángulos poliedros divididos en dos partes por el plano P.

Por otro lado, cada una de las 2k partes, en que los k primeros primeros planos dividen P, es la faceta común de dos ángulos poliedros y, por consiguiente, divide en dos partesel ángulo poliedro formado por losfe primeros planos.

De aquí se deduce que no es menor que 2k e¡ número de ángulos poliedros divididos en dos partes por el plano P.

Es decir, el plano P divide en dos partes exactamente 2k porciones del espacio formadas por los k planos primeros. Luego, si k planos dividen el espacio en k(k—1) + 2 partes, A+1 pianos lo dividen en

[k(k-\) + 2] + 2k = k(k+\) + 2

partes. Hemos demostrado la proposición.

30

PROBLEMAS TRICONOMÉTRICOS Y ALGEBRAICOS

Ejemplo 14. Demuéstrese la identidad n . 0n sen2"+1a

cosa cos 2ctcos4a . .. cos2"a = 2n+isena •

Solución. 1°. La identidad es válida para n = 0 ya que

sen2a C0Sa = 2Í^'

2°. Supongamos que es válida para n = k, o sea. que

n n„ sen2* + *a cosacos2a ... cos2*a = —-•

2*+1 sena

Entonces, también es váiida para n = k+\. En efecto.

cosacos2a . cos2Aacos2*+,a =

sen 2* + 1a eos 2*-11 a sen2*+,a

2* + ,sena 2* +2sen a

Ejemplo 15. Demuéstrese que /4„ =cosn0, si se sabe que /?! = cos0 y <4,=cos20 y que

''íft = 2cos0 —s

para todo k > 2. Solución. 1°. La proposición es válida para n = I y para

n = 2.

2°. Sea

Ak_t = cos(k—2)Q y /4ft_, = cos(^—1)6.

Entonces

/4» = 2cos0cos (k—1)0—cos (k—2) 0 = cos/z0.

Ejemplo 16. Demuéstrese que «+1

sen-A-Jt -sen

seiiy

nx

1 ■ sen x sen 2a: -f ,.. + sen nx

31

Solución. 1°. La proposieión es válida para n — 1.

2°. Sea

sen x -l- sen 2x 4-... -f sen kx =-■ 5enir': kx

—í-sen T- seny

Entonces

sen x -f sen 2x -|- .., fsen kx -f sen (fc -f 1) x =■ k -f l

sen~9_x ht — --— sen y + sen (k -f 1) x=

sen

sen-

2

fc-f 1

sen- — sen^-f 2sen^-^xcos^-j-! x ■■ --

ft + 2 sen —jT- x

ya que

>+l 1 2~


k±2 2

x sen-

kx 2

sen *+1

y -f cos x H- cos 2x -f ... -f cos nx

2/i f i sen —s— x

2 sen


sen x -f 2 sen 2x -f 3 sen Zx -f ... -f n sen nx = (n-f I) sen nx— n sen (n-f I)*

4 $en* j


cos x -f 2 cos 2x + ... + n cos nx = (n+l)cos/u:—ncos (n-f l)x—1

4sena y

32


2" t&T+ 5TlS-£r+ • • • +¿-tg¿ =

= ¿ttg¿—ctgx (x^mn).


arc cLg 3 + arc ctg 5 -f .. + arc ctg (2« -M) =

= arc tg 2 -}-arc . +arc tg5±i_rt arc tgl.


(l + 0n = 2T (cos^ + tsenf).

Solución. 1°. La proposición es válida para n=l ya

que

l+/ = 2T(cos-J+t senj).

2°. Sea

(1 + 0* = 2T(cos ±L +1 sen±i) .

Entonces

(I +<")*+1 = 2T (cos —■ +1sen i±)x

x2 » (cos ~+i' sen±) =

«2^[cos(*^+ísení*±^].


(]/3—t)"=2«(cos ^L_ASen±L).

Ejemplo 18. Demuéstrese el teorema: S¡ por efecto de un número flnito de operaciones racio-

nales (adición, sustracción, multiplicación y división) aplicadas a los números complejos x,, xt, .... x„ se obtiene un número u, por efecto de estas mismas operaciones apli-

33

cadas a Jos números_complejos conjugados xt, se obtiene el número u conjugado de u.

SQlución. 1°. Demostremos, ante todo, que la proposi- ción se cumple para cada una de las cuatro operaciones aplicadas a dos números complejos. Sean

x, = a + bi y xt =c + di. Entonces

= (a+c) + (b + d)i = u y

*i + *t = (a—bi) -j- (c—di) = (a -|- c) — (í> d) i = u.

Similarmente se demuestra la proposición para las operaciones de sustracción, de multiplicación y de división.

2°. Supongamos ahora que se ha formado una expresión racional con los números complejos jc„ .... x„. Es sabido que para calcular esta expresión hay que realizar sucesivamente una serie de pasos empleando en cada uno una de las cuatro operaciones y siempre con dos números complejos, con la particularidad de que estos pasos puerien ser numerados.

Sea, por ejemplo,

u= X¡£s+JV4

*1+ *!—•*«*

Para calcular u basta realizar los siguientes pasos

1) 4) u3—xa = u„

2) *»x« = us, 5) u,-(-ua = u„

3) xx-\-x3 = ua, 6) u,:u« = u.

Supongamos que la proposición es válida para todas las expresiones que requieren a lo sumo k «pasos» para su cálculo. La paiabra «paso» signiíica aqui que se realiza la adición, la sustracción, Ia multipiicación o la división de dos númcros complejos. Demostremos que, entonces, ia pro- posición es también válida para las expresiones que requieren k -f-1 «pasos».

En eíecto, el último, (&-}- l)-ésimo, «paso» se realjza con dos números u, y u¡ que se calculan efectuando k «pasos» a lo sumo.

Si sustituimos los números x¡, x.. x„ por sus conjugados, los números u¡ y u} se convertirán en sus conju-

34

gados u, y u¡ y, por eso, ei resultado de! l)-ésimo «paso» efectuado con estos últimos, o sea, el número u, se

convertirá e.n e| número conjugado u. Probletna 23. Demuéstrese que

(c.os x |-1 sen .v)" = cos nx i sen nx,

para todo u natural.

. §3 DEMOSTRAClOiM DE DESIGUALDADES


j_ , J_. , J_. 1? n |' I ' rt+2 ' •' - 2n 24

para todo número natural n > 1, Solución. Indiquemo.s por S„ el primer miembro de la

desigualdad.

1° Ss = y, por consiguiente, la desigualdad se

cumple para n -2.

2°. Sea .S* > ¡L1 para cierto k. Demostremos que, enton-

13 ces, tambíén ,St M ■ 24 • Tenemos

S*FTT + T+2 + • • ' + 2Ü y

Comparando Sk y SM.,, vemos que

v _c -_J_i__J_L_ '3fc+i ' 2k +2 A+l 1

o sea,

5*+1—~ 2(k + l)(2k |-lj •

El segundo miembro de la última igualdad es positivo cualquiera que sea ei número natural k. Por eso, SA + 1 '> Sk.

Pero S* > de modo que tambien 5/!+1.>24.

Problema 24. Háliese el error en el razonamiento que sigue.

35

Proposición. La desigualdad

2“ 2n + 1

es válida para todo número nalural n. Demostración. Supongamos que la desigualdad se cumple

para n=k, donde k es un número natural:

2* > 2/1+1. (I)

Demostremos que, entonces, también se cumplirá para

n—k-^-l. o sea, que

2*+>>2(¿ + l)+l. (2>

En efecto, 2* es no menor que 2 cualquiera que sea el número natural k. Agreguemos 2* al primer miembro de la desigualdad (1) y 2 al segundo. Obtendremos la desigualdad justa

2*+ 2* > 2k-\- 1+2,

o sea, 2*+> . 2 (* + I) + 1.

Hemos dernostrado la proposición. Problema 25. ¿Para qué valores nalurales de n se

cumple la desigualdad

2" > 2n + 1?

Ejemplo 20. ¿Para qué valores naturales de n se cumple la desigualdad

2" > n*?

Solución.

Para n = 1 la desigualdad es válida ya que 21l4. Para n = 2 la desigualdad es falsa ya que 2J = 2J Para n = 3 la desigualdad es falsa ya que 23 <s 3*. Para n = 4 la desiguaidad es falsa ya que 2* = 4*. Para n = 5 la desigualdad es válida ya que 2‘ > 5*. Para n = 6 la desigualdad es válida ya que 2’ > 6!. Por lo visto, Ia desigualdad es válida para n=l y para

todo n > 4. Demostrémoslo. 1°. Para n= 5 la desigualdad es válida 2°. Sea

2* > k\ 0)

36

donde k es un número natural mayor que 4. Demostremos que

2*+‘ >(* + I)*. (2)

Sabemos que 2*>2ft+-l para é>4 (problema 25). Por eso, agregando 2* al primer miembro ae la desiguaí- dad (1) y 2ft + l al segundo, obtenemos la desigualdad (2) que, por consiguiente, es válida.

Respuesta. 2" > n! para n = 1 y para n > 4. Ejemplo 21. Demuéstrese que

(I+a)rt> 1+««,

donde a>—1. a^O y n es un número natural mayor que 1.

Solución. 1°. La desigualdad es válida para n = 2 pues

as > 0. 2°. Supougamos que la desigualdad se cumple para

n=k, o sea, que

(I +a)* > I -\-ka, (1)

donde k es un número natural. Demostremos que, eníon- ces, la desigualdad también se cumpie para n = *+l, o sea, que

(l+a)*+‘ > l+(ft+l)a. (2)

Eri efecto, por hipótesis, se tiene l+a>0 de modo que es válida la desigualdad

(l+a)*+‘ >(|+to)(l+«) (3)

que se obtiene multiplicando por 1 +a ambos miembros de la desigualdad (1).

La desigualdad (3) se puede expresar así:

(1 +a)*+‘ > l+(* + l)a+/ja*.

Desechando el sumando positivo ka1 en el segundo miembro de la última desigualdad, obtenemos la desigualdad (2) que, por consiguiente, es válida.


> Vñ

para todo númeró natural n > 1.

37


4" ^ (2n)l

/i-f- I ^ (nl'*

para todo número natural n > 1. Ejemplo 22. Demuéstrese que

2"-1 > (a+6)”. (1)

donde a-t-b>0, a=£b y n es un número riatural mayor que I.

Solución. 1°. Para n = 2 Ja desigualdad (1) da

2(a'+¿>*)>(a + b)«. (2)

Puesto que se cumple la desigualdad

(a—b)% > 0. (3)

Agregando (a + b)J a ambos miembros de la desigualdad (3), obtenemos la desigualdad (2).

Con esto queda demostrado que la desiguaidad (l) se cumple para n=> 2.

2°. Supongamos que la desigualdad (1) se cumple para n=k, o sea, que

2*-*(o* + b*)> (a + b)\ (4)

donde k es un número natural. Demostremos que, entonces, la desigualdad (1) también

se cumple para n = k+ 1, o sea, que

2*(a*+1 + b*+1) > (ü +6)**1. (5)

Multipliquemos por a-\-b ambos miembros de la desigualdad (4). Puesto que, por hipótesis se tiene o + ú>0, obtendremos la siguiente desigualdad justa

^^-Ma^ + ^tfl + úJXa+í»)***. (6)

Para demostrar la validez de la desigualdad (5) basta probar que

2* (a*+1 + 6*+l) > 2*-> (a* + b*) (a + 6) (7)

o, lo que es lo mismo, que

fl*+i + í,A+i > akb-\-abk. (8)

38

La desigualdad (8.) equivale a la desigualdad

b) -0. (9)

Si a^b, tenemos ak > bk y el primer miembro de la desigualdad (9) es el producto de dos números positivos. Si a< b, tenemos ak<b” y el primer mlembro de la desigualdad (9) es el producto de dos números negativos. En ambos casos la desigualdad (9) se cumple.

Con esto queda demostrado que la validez de la desigualdad (1) para n = k implica su validez para " = *+»•

Ejemplo 23. Demuéstrese que cualquiera que sea x >0 y cualquiera que sea el número natural n se cumple la desigualdad

xn-\-xn~a 0)

Soiución. T, a) Para n«l la desigualdad (1) da

<2)

La desigualdad (2) se desprende de la desigualdad evidente

b) Para /i = 2 la desiqualdad (1) da

<3)

Puesto que la desigualdad (2) se cumple para todo x ,> 0, subsiste al sustituir x por xa, o sea,

Agregando 1 a ambos miembros de la última desigualdad, obtenemos la desigualdad (3).

2°. Supongamos que Ia desigualdad (1) se cumple para

n~k, o sea, que

^ + (4)

cionde k es un ruimero natural. Demostremos que. entonces, la desigualdad (1) tambien se cumple para n = k-\-2,

39

o sea, que

.**+í + 1

x*-3 >k b 3. (5)

Introduciendo obtenemos

x"+2 en |a desigualdad (2) en lugar <le x,

xk+í *2. (6)

Sumando miembro por miembro las desigualdades (4) y (6), obtenemos la desigualdad (5).

Resumamos. En los puntos a) y b) de l1" hemos uemostrado la desi-

gualdad (1) para /i=l y para n — 2. En el punto 2° hemos demostrado que, siendo váiida

la desigualdad (I) para n=k, también lo es para /i = *-k -|- 2. En otras paíabras, el punto 2" permite pasar de /i = ¿ a n = k-\-2.

Los resultados de los punlos l°a) y 2" permiten afirmar que la desigualdad (1) se cumple pára cualquier número irnpar n. Similarmente, los resultados de los puntos l°b) y 2° permiten afirmar que la desigualdad (1) se cumple para cualquier número par n. En conjunto, podemos afirmar que la desigualdad (1) sc cumpíe para lodo número natural //.

Ejemplo 24. Demuéstrese el teorema: La media geomé- trica de varios números positivos no pasa de la media arit- mética de los mismos, es decir, siendo a,, a.„ . ,, a„ unos números positivos, se tiene

;/«a."" '„■■■,i)

Solución. 1°. Para // = 2 la desigualdad (I) da

|/5a<2i+«». (2)

Es fácil obtener esta desiguadad a partir de esta otra

>0,

válida cualesquiera que sean los números positivos a, y La desigualdad (2) admite una interpretación geomé-

trica sencilla. Tomemos sucesivamente en una recta AB

40

los segmentos a, y a„. Construyamos la circunferencia cuyo diámetro es ía suma de estos segmentos. Entonces,

2i+®! es el radio de est circunferencia y V a.a, es a mi-

tad de la cuerda perpe dicular aI diáinetro en el purito común de los segmentos a, y a, (véase la figura); de aqm se deduce la desigualdad (2).

2°. Supongamos que Ia desigualdad (1) se cumpie para n = k.

Demostremos que, entonces, también se cumple para n = 2k. En efecto,

'iy a.^ ... atk = }/ vatak • • • a„ {/ak+1 ... a,Ák

- ■ • • ak+ /gn i - ^ ^ 2 ^

a, -Mn + • • • +o» | a» + i + • ■ • +a2<i

• • • +<»*+ • ■ +fl3fe

2k

Puesto que hemos demostrado ya la desigualdad (I) para n = 2, podemos afirmar ahora que se cumple para n = 4, 8, 16, etc., o sea, para n = 2s, dondt s es un número na-

3°. Para demostrar que la desigualdad (1) se cumple cualquiera que sea el número natural n, probemos que, si se cumple para n = k, también secumplepara n = k— 1.

41

Sean, pues, ax, at, ..., ak.t unos números positivos. Sea k un número positivo (por ahora indefinido). Entonces

Determinemos X de modo que

al+a2-j- ' + a»-l + ^ ,ai + aa + ...-f-a/,-,

k — I

o sea, pongamos

j __ fli-l-aa+ ■. . + 12^-!

k—l Tenernos

1 / !_!_• aM-i (ai + °a + ■ - • + aA-i) aj-)-a,+ .. .+flj¡_, V k-i ^ ~\ •

es decir,

’-'/afl, V.'.a,.; < ?.■+.«■+ .

Sea ahora m un número natural cualquiera. S1 m = 2S, la desigualdad se cumple en virtud de 2°. Si m=+2\ determinemos el número s de modo que m sea menor que 2f; entonces, basándonos en 2° y 3°, podemos afirmar que la desigualdad se cumple para n = m.

DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS

DEL Á1.GEBRA ELEMENTAL

Teorema 1. El cuadrado de un polinomio es igual a la

suma de los cuadrados de sus términos y del duplo de todos los productos de sus términos tomados dos a dos, o sea,

(a, +a2+...+an)* = aj + a»+_+fl*-¡-

+ 2(a1aa + ala,+ ...+a„_laJ. (1)

1°. Para n=2 Ia fórmula (1) se demuestra mediante el cálculo directo.

2°. Supongamos que la fórmula (1) es válida para n = A¡—1, o sea, que

(+ + «,+ ... +a*_1)» = a+ \al+ ... +aLi +2S,

42

donde 5 es la suma de todos productos de los términos u a, .a,_, tomados dos a dos. Demostremos que

donde S, es la suma de todos los productos de los términos alt at, . ..,aA-u a* tomados dos a dos, o sea,

+ 4- ...+a*-i)a*•

En efecto,

<«,+ ... +a*-i + a*)í = [(«i + • • ■ +flfc-i) +aJ'= .-=(0,+ ... +a*_1)a+2(al+.. •+<*»-.) °*+a*=í

=iif+...+aÍ.,+2S+2(al+...+a*-i)a*+«l = = af + a?+...al+2Sl.

Teorema 2. El término n-ésimo de una progresión arit-

méíica $e determina según la fórmula

a,, = a1 + d(n— 1), U)

donde a, es ei prirner término dc la progresión y d es la

razón de la misma. 1°. La fórmula (1) es válida para n = l. 2°. Supongamos que la fórmula (l)es valida para n=>n,

o sea, que a* = a,+<i(ft— 1).

Entonces

aft+l = a* + d = aj+íí(é—l)+d=a,+d/s

de modo que la fórmula (1) también se cumpie para

Teorema 3. El término n-ésimo de una progresión geo-

métrica se deíermina según la fórmula

a„ = a An~l> í1)

donde a, es el primer término de la progresión y q es la

razón de la misma. 1°. La íórmula (1) es válida para /t=l. 2°. Sea

ak = a1qk~l.

43

Entonces

a*+1 = a*9=J«i'7**

Teorema 4. El número de permutaciones de m elementos

se determina según la fórmula

P„ = rnl- (1)

1°. Observemos, ante todo, que P,= 1 de modo que la fórmula (1) es válida para m = 1.

2°. Sea Pk = k\ Demostremos que

Entre los ft-f-1 elementos dados a„ aa, .... ak, a„+i escojamos los k primeros formando con ellos todas las permutaciones posibles. Por hipótesis, habrá k\ permutaciones de esie tipo.

Coloquemos en cada una de ellas el elemento a*+, delante del primer, del segundo, .... del fc-ésimo y detrás del é-ésimo elemento. Por esta vía obtenemos a partir de una permutación de k elementos un total de A¡-j-l permutaciones dQ k-f-1 elementos. En suma habrá

k\(k+ !) = (* +1)1

permutaciones de *-|-l alementos. Es preciso demostrar ahora que 1) entre las (k+ I) I permutaciones no hay dos iguaies y 2) hemos obtenido todas las permutaciones de k+\

elementos. 1) Supongamos que entre las (*-f-1) I permutaciones hay

dos iguales. Sean éstas p¡ y p3. Supongamos que el elemento aA+1 ocupa en la permutación p, la posición s-ésima a partir de la izquierda. También en ps el elemento aí+1 ocupará la posición s-ésima a partir de la izquierda.

Eliminemos de p, y de p, el _elemento aM+i. Obtendre-

mos dos permutaclones iguales, p, y pa, de k elementos. Así, pues, para obtener p, y p, hemos colocado el

elemento ah+1 dos veces en la misma posición y en una mlsma permutación de los elementos a„ a„ .... ak. Pero esto contradice la regla empleada para construir las permutaciones.

2) Supongamos que no hemos obtenido una permutación p de ¿-f-1 elementos y que el elemento aA+l ocupa en p

44

la posición s-ésima a partir de la izquierda. Eliminemos

de p el elemento ab+1. Obtendremos una permutación p íor- mada por los k elementos primeros. Es decir, para obte-

ner p basta tomar la permutación p y colocar en ella el elemento ü*+1 en la posición s-ésima a partir de la izquierda.

Es imposible que nos hayamos saltado la permutación

p ya que hemos tomado todas las permutaciones de los k elementos primeros. Es imposible que no hayamos colocado el elemento as+1 en la posición señalada pues lo hemos colocado en la primera, segunda, .... (fe-f l)-ésima posi- ción a partir de la izquierda.

Por lo tanto, todas las permutaciones construidas son distintas y no hemos perdido ninguna permutación de k+ 1 elementos.

De lo expuesto se deduce que

P„+l=(fe + ni. Teorema 5. El número de variaciones de m elementos

tomados n a n se determina según la fórmula

Anm = m(m— 1)... (m—n + 1). (1)

1°. Observemos, ante todo, que A]„ = m y, por consiguiente, la fórmula (1) es válida para n= 1.

2°. Supongamos que

Am = m (m— 1)... (m—k + 1),

donde k < m. Demostremos que

Ak*x=m{rn— 1)... (m—k).

Para obtener todas las variaciones de m elementos tomados k+ 1 a £+1 basta tomar !as variaciones de m elementos tomados k a k y agregar al final de cada una de ellas uno de los m—k elementos restantes. Es fácil persuadirse de que las variaciones de m elementos tomados fe+1 a ¿ + 1 obtenidos de este modo son distintos y de que, además, cualquier variaclón de m elementos tomados k + 1 a k + 1 figura enire esos.

Por lo tanto,

Ak¿1 = Am (m—k) = m{m—\) ... (m—k).

45

Teorema 6. El número de combinaciones de m elementos

tomados n a n se determina según la fórmula

r„ _ m (m— I) ...(m— n+I) 1-2‘...-n

1°. Observemos, ante todo, que C'm — m y, por consiguiente, la fórmula (I) es válida para n=l.

2°. Supongamos que

rk m(m— 1) ... (w—fe-t-1) 1-2-. ..-k

y demostremos que

r»+1 m(m—I) ...(m — fe+l)(m—k) m I-2-... -A <*-+-1) *

Para obtener todas las combinaciones de m elementos tomados fc-f-l a fe-|-l consideremos todas las combinaciones de m elementos tomados fe a k y agreguemos a cada una de ellas, como el (fe-(-l)-ésimo elemento, uno de los m—fe elementos restantes.

Salla a la vista que de esta forma se obtendrán todas las combinaciones de m elementos tomados fe -¡-1 a fe -f-1 apareciendo cada una de ellas k + l veces.

En efecto, la combinación n,, aa, .... ak, a*+, se obtendrá al agregar el elemento a, a la combinación a,, a8, .... ak, aft+„ al agregar el elemento aa a la combinación a„ a„, ..., ak, ak+i, etc., y, por último, al agregar el elemento at+1 a Fa combinación a¡, a}, ...,ak. Por io tanto,

C'k+i fk m k um — ^m k | —

m (m — I).. .(m—k)

1-2- ...-ft(fe-t-l)

Teorema 7. Cualesquiera que sean los números a y b y

el número natural n tiene lugar la fórmula

(a+b)" = a" + Cka»-'b + ...

... +Csnan-tbí-1-... +Cnn-'abn-x+bn (1)

(fórmula del binomio de Newton), 1°. Para n=l tenemos a + b = a + b y, por consiguieníe,

la formula (1) es válida en este caso. 2°. Sea

(a+6)* = a*-j-Cia*-l6-fCla*-36*-|- ,.+b*.

46

Enlonces

(a-(-¿»)A+‘ = (a + 6)* (a + b) = = (<jft-fCiaA-i¿+.., + 64) (a+b) =

= + Cl) akb + (Cl+C|) ak~lb* + ...

... + (Ci+Ci+I) a*“ V+> + ... + b*+

Tomando en consideración que C\ + Ci41 = Cl*1,, obtenemos

(a+6)*+,=a*+, + CÍ+1a*ó +

+ Ci+1a*-,¿*+...+aV.a/i‘,¿i+1+-.. +6*+1-

EPÍLOGO

Yu. A. Gástev

La inducción es el paso de lo particular a lo general la deduc- clón, de lo general a )o particular. Es sabldo el papel que desern- peñan los procesos de slntesis de obrervaciones y experemeritos oiilados (o sea, la induccióu) en las cienclas empíricas. En cambio, las Matemáticas siempre se han considerado como un niodelo clásico de apücación de métodos puramcnte deductivos ya que siempre se sobreentendia, explicita o implicitamente, que todas las proposiciones matemáticas (salvo los axiomas, proposiciones de partida) se demues• tran, mientras que las aplicaciones concretas de estas proposlciones se infieren dc las demostraclones, válidas en el caso gencral, (deduc- clón).

Pero leemos: «La inducclón se emplca ampliamente en las Mate- máticas, pero hay quehacerlo con entendimiento» (página 9) o «¿Cómo debe emplearse la inducción en las Matemáticas para llegar siempre a conclusiones justas?»1' (página 8). ¿Qué significa esto? ¿No querra decir que entrc los métodos matemálicos existen «correctos» o infa- libles (deductivos) y métodos «poco seguros» (induclivos) oue a veces, y especialmente en manos inexpertas (o, como dice el autor, aplica- dos con «Iigere7.a»), fallan? Si esto fuese asf, ¿dónde está el criterio de seguridad de estos métodos «inductivos»? ¿Cómo recuperar la seguridad en el carácter irremisiblemente obligatorlo de las conclusiones matemáticas? ¿O se trata de una situación sin salida y la validex de los razonamientos matemáticos es de la misma naturaleza que las sintesis experimentales de las ciencias empíricas y, por lo tanto, no estaría de más «comprobar» una vez más un hecho demostrado (como a menudo se recomienda a los escolares que «coinprueben» las onera- ciones aritméticas realizadas o la solución de una ecuación hallada siguiendo una fórmula gencral)?

La realidad es distinta. La Inducclón (o sea, la sugerencia de una idea o una hipótesis) sin duda desempeña en los Matem&ticas un papel importante, pero puramente eurlstíco: permite adivinar cuál debe ser, según todas las apariencias, la solucion. Pcro las proposiclones mate• mátlcas se demuestran slempre deductivamente. Ningún resultado mafi- mátlco puede conslderarse \usto. válido, si no ha sido deducido de las proposiciones de partida.

11 Esta forma de enfocar la «Inducción en las Matemáficas» es ya casi tradicional en los textos escolares, induso, en los más modemos.

48

Pero, ¿y el «método de inducclón matemática»? Lo que sucede es que la «inducción matemática» es un método deductioo. En efecto, conslderemos con más detalle la estructura de los razonamlentos ma- temáticos que aparentan ser un «paso de io particular a lo general». Es fácil persuadirse de que la llamada inducción matemática no es, de hecho, inducclón: |es un método de razonamiento puramente deductivo! La demostración por este método consta de dos partes: 1) la base, o sea, ia demostración (|deductiv«!) de la proposición para un número natura) (o varios; por ejemplo, para 0 ó I; en la paglna 13 esta parte se denomina «Teorema 1») y 2) el paso inductioo («Teore- ma 2») que consiste en la demostración (también deductiva) de la proposición generat: para todo n es cierto que la validez de la pro- posición para n implica su validez para «+l. E1 «prlncipio de in- ducción matemática» (página 12) es una proposición precisa (cuya evidencia intuitiva es aceptada por muchos matcmáticos como indls- cutible aunquc a la hora de la exposición axiomática de la Aritmética figure como un Bxloma) que permlte obtener, a partlr de la base y del paso inductivo, una demostración puramente deductiva de la proposición para todos los números naturales n. Por consiguiente, no queda ningún caso que no haya sido «abarcado por ias hfpótesis» y al que aun debe hacerse extensiva (por inducción) ln proposición: el teorema precisamente se demuestra para todos los números naturales: dc la base demostrnda, digamos, para el número 0) obtencmos aplicando el paso inductivo la demostración para el número 1 y después de la misma forma para 2, 3, ... De estc modo el teorema puede ser argumentado para cualquier número natural u.

En otras palabras, el noinbre de «Inducción matemática» se debe simplemente a que se asocia en nuestra consciencia con los razonamlentos «tnductivos» tradicionales (ya que la basc cfectivamente se dcmucstra sólo para un caso particular); pero el paso inductivo, a dlfercncla de los criterios, basados en la experiencia de verosimilitud de los razonamlentos inductivos de las cienclas naturales (y sociales), es una proposiclón general que no necesita de ninguna hipótesls parti• cular y se demuestra según los rigurosos canoncs de los razonamlentos deductivos. Es por eso que la «inducción» matemática se denomina también «completa» o «perfecta» ya que (a dfferencia de la Inducción corriente, «imperfecta», que no garantiza ei conocimicnto completo) es un método deductivo («de 100% de seguridad») de demostraclóa

Es decir, la inducción en tanto que mitodo de demostraaón no se emplea en las Matemáticas2I; pero esto no excluye en modo alguno, por supuesto, la amplla apllcación en ellas del método deductlvo de «inducción matemólica».

11 Acerca de los problemas que se plantean al argumentar de esta forma el método, véase ia literatura indicada más adelante.

*) Hemos mencionado ya de pasada el papel fecundo que desem- peña ia inducción «corriente» («incompleta») en la formación de hi- pótesis mateináticas que conducen al descubrimiento dc nuevos hechos; de esto y de la relación entre la inducción «corriente» y el método de inducción matemática se trata con más detalle en el libro «Las Matemáticas y los razonamientos verosimiles» de G. Polya, voiumen I (especialmente cap. 7).

49

Entendiendo asi este término nos podemos, claro está, permitir la Iibertad de emplear frases como «inducción en la Geométria»11 o «inducclón en las Matemáticas». Pero siempre debe tenerse presente que la primern expresión, hablando con rigor, tiene un sentido totai- mente distinto del que tiene la expresión voluminosa (jpero precisal) «aplicación del método deductivo de inducción matematica a la de- mostraclón de teoremas de contenldo geométrico» y que la segunda expresión, a despecho de los criterios gramaticales, no es lo mismo 3ue la «induccion matemática»; este último término debe compren-

erse en con/unto y no como «Inducclón en las Matemáticas». EI método de inducción matemática (en la forma expuesta en este

libro) es un método de demostración de teoremas aritméticos o, más rigurosamente, de teoremas referentes a las propiedades generales de los números naturales (0, I, 2, ...; a veces, como sucede en este libro, la sucesión natural se comienra con el I. pero esto no es una cuestidn dc prlncipio). Y para la Aritmética de los números naturales este método en clcrto sentido (razonable y amplio) es el instrumento universal (y a vecea únlco) de demostraclón.

Par8 que esta última afirmación no le parezca nl lector exage- rada dcbe tener el convencimiento de que la edificación axiomática (dcductiva) de la Aritmética se basa en la definición, por inducción malemática, de lasoperaciones con los nútneros naturales (por ejemplo, para deflnir la adlción se define —base de la índucclón— la adiclón del I ó del 0 y después —paso inductivo— la adición de un número natural cuatquicra se reduce a la adición del número precedente). Por eso, es cvidente que para «llegar» a las propiedades generales de los números naturoles rclacionadas, digamos, con las operaciones de adición o de multiplicación debemos usar (si queremos argumentar Bxiomáticamente estas propiedades) la misma «escalera» (cuyo «esca- Ióo» inferior es la propiedad correspondiente enunciada para el nú- mero natural mlnimo) que empleamos para «ascender» al concepto general que nos interesa; hablando flgurnlmente, no hay otra forma de «agarrarse» a la demostración necesaria. Y as[ ocurre con la de- mostraclón de todas las proposiclones aritméticas. Y si esto no se ve en el curso escolar de Ia Aritinética o del Algebra es porque ese curso (con mucha razón) se basa no tanto en el método axiomático como en el experlmento y Ib intuición *). Al fin y al cabo, incluso el lector más meticuloso y crftico se confortna a menudo con saber, digamos, que la ley distributiva de la multiplicaclón respecto a la adición se puede demostrar y no exige la demostración misma. (Pero esta seguridad, aunque esté bien fundamentada, difiere de la demostración auténtica tanto como difiere, por ejemplo, una información periodís-

Este es cl nonibre que, para abrevlar, han dado L. /. Golotiiná e /. Aí. Yaglom a su libro (Editorial MIR, 1975) concebido como continuación natural del libro de I. S. Sominski.

z) Por otra parte, cuando en el curso escolar se demuestran propiedades generales de los números naturales sin emplear para ello la induccion, esto se debe a que se utilizan (a veces /mplícitamenfe) como hipótesis proposiciones que, para su fundamentación rigurosa, precisan la Induccion (de la misma forma que el empleo del postu- lado de las paralelas en la Geometria euclldea se puede «camuflar* tomando en su lugar uno de sus corolarios).

50

t¡ca de lo que sabe aulfenticamentc el testigo; además, esta analo- cía va muy lejos.) Por eso, en el curso escolar c! metodo de induc- ción matemática aparece mucho más tardc que las propiedades, intuitivamente claras y íácllmente asimilables. de las operaciones aritmfeticas; por ejemplo. en relación con la formula del binomio de Newton de la que no puede decirse que su validez «salta a la

V'St Otras rainas de las Matemáticas necesitan del método de Induc- ción matemática en la misma medida en que emplean la base arit- mética, Esta necesidad tiene dos aspectos. Ante todo, muchas ramas matemáticas se edifican directamente sobre la base antmetica de los números naturales (digamos, la teoria de los números racionales que conduce, a su vez. a la teoría de los números reales); en cambio. otras pueden ser inlerpretadas en términos aritmeticos (por ejempio, todo resultado de la Geometría euclidea puede ser expresado en el icneuajo «de coordenadas* de los números reales). En estos casos, las proposiciones de carácter geométrico, digamos, se pueden demostrar medianle la inducción matemática empleando esta interpretacion aritmética. Se puede dectr que el carácter gcométrico o de otra tndoie de estas proposieiones no es más substancial para la demostracion que, por ejemplo, 1« naturaleza de los objetos en el problema rela- tivo a ia adición de tres y cinco pepinos o de tres y cmco barcos. (El lector podrá encontrar ejemplos semejantes en este libro.)

Pero sucede también que la base de la inducción se demuestra por mfetodos esenclalmente no aritméticos *). Sin cmbargo, tambien en este caso represcnta cl paso inductivo (auri cuando se ba$e en axiomas geométricos u otros) una proposición generalsobrelosnú.- rneros naturales puesto que se (rata de la validez de una propieaaa para todo número naturaln1). ,

Es decir, la inducción matemática segun tos numeros naturales es un método de demostración de teoremas aritmeticos «por su lor- rna», pero quizá geométricos o de cualquier otra Indole (mecámcos,

por ejemplo) «por su contenido». . , ._ Señalemos también que el método. tan fructifero en las demoatra-

ciones que siguen el proceso dc construcción de la sucesion natural 0, I, 2.puede ser extendido también a procesos de indole muy distinta. Por ejecnplo, cn los cálculos de la Lógica matematica que operan con fórrhulas («proposiciones») obtemdas de «formulaselernen- tales» («proposiclones elementales») de tipo A, B. C, ... mediante, digamos, los signos & («y»). V («o»), 3 («si entonces ■••>) Y 1 («no»), las propiedades generales de las formulas se demuestran erti- pleando la llamada inducción por construcción: se demuestra que i) esia propiedad es válida para cuaiquier fórmula eiemental (base) y que 2) si esta propiedad es válida para las fórmulas X e Y, tambien lo es para las fórmulas (X&Y), (X V Y). (X 3 Y)i y |A (paso induct,- vo); de aqui se deduce que la proposicion sonsiderada es valida para todas las íórmulas de este tipo. La analogía que aqui se observa con

>) Véase, por ejernplo, el libro ya mencionado «Inducclón en la Geometría» de L. I. Gotoviná e I. M. Yaglom.

3) Es decir, el propio paso «de n a « + (» se demueslra para to<Io

núinero naturat n.

51

la inducción matemática expuesta en este libro es tan palpable que salta a la vista incluso de un lector inexperto.

En general, toda construcción matemática (o lógica) consis- tente en el paso de uno o varios objetos iniciales a objetos nuevos mediante una o varias operaciones de paso, puede ser considerada como el fundamento del método correspondíente cinductivo» (que, corno hemos visto, es puramente deductivo) de definición o de de- niostración. (A propcVsito, e! papel relativamente supcditado que desempeña la Inducción matcmática en el Análisis matemático se debe precisamente a que los números reales, a diferencia dc los naturales, no son resultado dc .una construcción neta que se desarrolla según esta forma, _dc modo que distintas «induccioncs según los números reales» están muy lejos de tener el carácter universal que tiene la inducción matemática cn la Aritniétíca y su modificación en la Lógica matemática.)

En cuanto a las preguntas de carácter general matemático o ló- gico quc pucdan surgirle al lector, lo remitimos a la llteratura espe- ciat ‘). En cambio, ei presente libro sirve muy bien para dar a co- nocer las aplicaciones concretas del mélodo de induccion matemática elemental.

*) Véase, por ejemplo, Jl. rewun, 0 MaTeMaru'iecKoñ mtjiyKUHH, v)" 2>M3MaTrK3« 1962 (/-■ Guertkin, Sobre la inducción matemática);

,, ,Af>H0Abd‘ TeopeTHiecKaa apHÓMeTHKa, M., y'incjirii3, 1939 (/. V. Arnold, Aritmétlca tcórica); S. C. Kleene, Introduction to metamathematics, Amsterdam, New York and Toronto. 1952 (S. C. Kleene, Introducción a las Metamatemátícas, § 7, 13, 21, 38 y otros); «MaTeMaTHHecKati KHayKHHH» í>H.T0co4x;Kaii sHUHKJioneflHH, M., 1904, t. 3(«Inducción matemálica», Enciclopedia filosófíca, v. 3).

SOLUCIONES‘)

I. Hlpótesis

u„ = 3/i—2.

1*. La hipótesis cs válida para n = \. 2*. Sea

«* = 3ft—2.

Bntonces

u*+I = «* + 3 = 3fe—2-f 3 = 3 (á + l)—2,

2. Hipótesis

5n = 2n—1.

1*. La hipótesis cs válida para n=I.

2*. Sea

S* = 2‘-l.

Entonces S*+i = S*+2* = 2*+1 —I.

(Podlamos también forinor directamentc la diferencia 2S„—Sn Tf

mostrar que es Igual a 2n — I.) 3. 1*. La proposición es vólida para n=l.

2*. Sea

l.+3.+S.+...+g»-l

Entonces

!»+3» + ... + (2ft -1 y + (2fe +1)» = ■ {2k ~ ‘ ’ (—+-> + (2fe + 1)»=

(fe+l)(2ft + l)(2fe + 3)

- 3

>) Sólo indicamos los números de los probtemas. La solución de Ios ejemplos se da en el texto.

53

4. I*. La proposición es válida para n = I. 2*. Sea

ls+2s + ...+ft»=

Entonces

P+2»+...+ft» + (ft+i)» =

ft» (fe+l)s 4 (* + !)’=[

(fc + l)(ft + 2)

2

6. 1". La proposición es válida para n = l. 2B. Sea

1+*+*''+...+** r* + ‘—1 x—\ *

Entonces

1 +*+*>+... +x* + x*+i=íÍ^=i.+ **+x **♦« — !

x-\ •

«. 1B. La proposición es vállda para n = I. 2°. Sea

l-2-3 + 2-3-4+...+ft(fe+l)(fe + 2)=ft(ft+l)(fe4f2)(fe + 3\

Entonces

1 '2-3+2-3-4 + ... +ft (ft+1) (ft+2) +(ft +1) (fe + 2) (ft + 3)=>

_ fe (fe + I) (ft+2) (fe + 3) + (fe +1) (fe + 2) (fe + 3)_

(fe + l)(fe + 2) (ft + 3) (fe + 4)

4

7. IB. La proposición es válida para n=l.

2*. Sea

1.1. , 1 ft I - 3+3-5 +""" + (2ft— 1) (2ft +1) 2ft+ 1 ‘

Entonces

r3++5+ •1 •+ (2F=+T(2ft+T) +(lft+Tn2fc+3j=' ft . 1 fe+1

2fe+1 +(2ft + I) (2ft+3)^2^ + S ‘

8. 1*. Lo proposición es válida para n=l. 2*. Sea

!* 2» . fe*_fe(fc+l) 1 -3 + 3-5+ • ’'+ (2fc-1) (2ft+1) 2 (2fe+ 1) *

54

Entonces

21+2* 1.3 ' 3.5^ ‘ ‘'

ft» (k±\y

(2* —1) (2fc+ 1) 1 (2fe-¡- 1) (2fc+3)

k (fc+1) (fe+I)»

'2(2*+l)'t'(2ft+ I) (26-f-3)

-(k | i)fe(2M-3) + 2 «,+ !)_

1 1 ’ 2(26+1) (26 + 3)

.(6 + t) (26* -|- 56 + 2)_<6 + I) (26+- 1) (6 +2)

2 (26 + 1) (26 + 3) 2 (2fe+ 1) (2fc + 3)

0. 1°. La proposición es válida para n = l. 2«. Sea

I

(* + 1) (6 + 2)

' 2(2* + 3) '

1.4+4.7+'"+(3ft-2) (3* + l)~3ft+ I ‘ Entonces

J—1—!—l ... j_!-1_!_— 1 - 4 ' 4-7^ ’ (3*—2) (3*+ 1) r(3*+ I) (36 + 4)

.... * ■ 1 __ k±\ 364-1 r(36 + 1) (3* + 4) 3fe + 4‘

10. IB. La proposición es válida para n=l. 2°. Sea

_L, 1 , 1 1 fe l-5'r5-9"l‘"'','(4fe— 3) (46 -|- l)~4fe + l '

Entonces

J__|_!_l _i_!_I_!_ I -5 '5-9 r —“(46 — 3) (464- l)~(4fe+ 1) (46 t 5) ~

I fe+l

"4fe+l (4fe+I)(4ft + 5) 4fe+5

II. 1°. La proposición es válida para n= I. 2°. Sea

o(o-t I) r(a+ l)(o+-2) r" " "r(o + fe — 1) (a + fe) o(o + fe)-

Entonces

I I 1 , «(‘»+l)~t’ (o+l)(a + 2)"r "■

...+ —1 .-■■■+■■ i(J-r-ü = MQ + fe — l)(o+fe) r(o + fe) (a + fe + 1)

o(o + fe)^(o + fe) (o + fe+1)

fe+1 a(o+A+l)-

55

12. 1°. La proposición es válida para n=l y para n=2. 2°. Sean

“*-j o—P y u*-i = o*-p*

o-P

Enlonces

“* = (« + P) a* — p*

a-p

,*-l_R*-l P»-»_o * + l_ P* + l

o-p o-p

13. 1°. Siendo n = 0, tenernos

J_!_ 1 —jc» ’

o sea, la proposición es vólida. 2°. Sea

_i_+_JL_ + _±_+ +_J!_ = 1 + x— 1 -|-xa T H-*4 “ ' | +X1*

I 2* ‘ ‘

—x—rhi_x**+‘ ■

Entonces

I . 2 2* 2*+>

rfJTi+FT i+x+ r | +^»+> 1 2* + * . 2* + «

-*-i+ i_x»*+1+l-M*#+l 1 2*+*

x— 1 [_*>* + *

14. Para n=l (enemos

_x_ II

x — 1

1! '

Para n = 2 lenemos

, x ,x(x—1)_ x— 1 , x (x 1) <x—l)(x—2)

21 — I T 2 2!

Para n = 3 tenemos

x , x(x-l) x (x— 1) (x—2) _

II ‘ 2! 31

(x— 1) (x—2) x (x— I) (x—2)_

6 (x— 1) <x_2) (x—3)

= 31

2

56

Esto sugiere la hipótesis

l * i *(*—0 i / !)•.•(*—«+1)_ ll't' 21 •••■rl „1

_,y, (x — l) (* — 2),..(x — n) 1 ' n!

1°. La hipótesis e$ válida para n=l. 2°. Sea

I x | *(*-■> | , l)kx(x-l). ,(x-k+\)_ i,i 2| •••-r-t w fti

_ ,(Af— 1)(a: — 2)...{x— k) -t '1 •

Entonces

aí x <x— 1)

II ’ 21

,,, + (_ 1)» <*- »> ~ft + 1) ^

n^t*(*-i)..•(*-*)_

+ l ; (*+»)!

"(- <f—Q [¡qrr-!] =

16. 1°. La proposición es válida para n=0. 2°. Supongamos que la proposición es válida para n=k,

■o sea, que

/lA = l|ft+* + l2**+»

es divislble por 133. Entonces

/4A4.1=lJ*+8+12,‘*+i)+»=ll*+ll+l2>A+# =

= 11.11*+*+ 144-12**+,=

= 11-11*+»+ 133.12**+!+ ii. i2«*+i =

= 11 (| |*+»+ |2**+i)+ 133- 12**+i=

= 11,4* +133.12»*+!.

Hemos representado /4*+1 como la suma de dos términos divlsibles cada uno por 133. Luego, /4A+1 es divisible por 133.

18. 1°. Salta a la vlsta que la proposición es válida para n=l. 2°. Supongamos que la proposición es válida para n = k, o sea, 3ue k rectas dlviden el plano en 2é ángulos; la recta (fe+l)-ésima

ivlde en dos partes dos ángulos vertlcales a la vez, es decir, aumenta

57

en 2 el número de partes cn gue está dividido el plano. Por eso, ft-fl rectas dividen el plano en 2A-f2=2(ft-|-1) partes.

17. 1°. La proposición es válida para n=l ya que

3* seny sen

x . ( 3x x \ y+(«en-j—sen-g- J

2 sen j

-cos x.

2sen •

2°. Sea

2>4-1 1 <*n—j~x

—-(-cosAr+cosüí-f ... + cosá*=- ¿ 2 Sen j

Entonces

—-|-cosx+cos 2x+ ...+cos*x+cos (ft+ l)x=

sen - 2á+1

2sen|-

+ cos +l)Xt

sen -ft + - x+ 2 sen ~ cos (*+1) x

2 sen j

2*+l sen —jf— x + (

2fc+3 2ft+l sen —x—sen —x

2seni-

2ft+3 sen —s—x

2sen

18. 1°. La proposición es válida para n = 1 ya que

2senx—sen2x 2senx(l—cosx)

4 sena i-

2°. Sea

senx+2sen 2x+ ... +£ sen kx=

4 sena ■—

=sen x.

(&+ 1) sen kx—ksen (ft+1) x

4sen»i-

|es

58

Entonees

senx + 2sen2j:-l-...-l-feseníuc+(ft-f l)sen (ft+l)x=

=(ft+l)senftx-ft5en(fc+J)x + (ft+1) ^ (ft +x=

4sen’ —

= (*+ I) sen kx—ftsen (ft+ l)x+2 (ft+ 1) sen (ft+1) x (1 — cos x)

4sen*y

(ft + 2) sen (ft+ l)x+(ft+ I) sen kx

4sen’ -í-

2 (ft+1) cosxsen (ft+l)*_

4sen*

(ft + 2) sen (ft + l)x + (ft+1) sen fet

1 sen*

(ft+1) [sen(ft + 2)x + sen kx)_

4sen*y

_ (ft + 2) sen (ft + 1) *- (fe+ 1) sen (ft + 2) x _

4sen* ~

19. 1®. La proposición es vállda para «=1 ya que

2 cos x— cos 2x— I 2 cos x—2 cos* x cos x (I — cos x)

4sen* ■

2°. Sea

4sen>-£ 2sen» j

: COS X.

cos x + 2 cos 2x+ ... + fe cos kx-- (ft+ 1) cos kx—ft cos (fe+ 1) x— 1

4sen T

Entonces

cos x+2 cos 2jc+ ... +ft cos ft.v+(ft+ I) cos (ft + 1) x =

(ft+l)cos ft.t— k cos'(ft+ l)x— I

4sen*-|

(ft+ I) cos kx — ft COS (ft+ 1) X— I

, r* 4sen»y

+ (ft-L I) COS (ft + 1) K =

59

I 2(fe-(- l)cos(fe+l).t(l— cosx)

4 sen2 ■—

_ (fe-j-2) cos (fe + l)x+(fe-f- i)cosfex

4 sen-j

2 (fe+ I) cos x cos (fe+ I) x+1

4scn-"-í-

_ (fe + 2) CQ9 (fe+ l)x + (fe + 1) CQ3 kx

4sen»¿

(fe +1) fcos (fe-f-2) JC+ cos fex] + 1

4sen»y

... (fe + 2) cos (fe+l)x—(fe+l)cos (fe + 2) x— 1

4sen*-J

20. 1°. La proposlclón es válida para n=l ya quo

9" ct8 T-ctgx = ^-ctg --r tg*

2 h 2

2°. Sea

2tgT 2tg- T

T ^ t+-¿t «g +• • • *g -|r=-¿-ct2 -|r-ct2 x-

Entonces

2 o 2 + 2a **■ 2* +•••+ 2* tg 2* +2*+*2*+l'

:‘2*'ct,í ‘2*’—ctKx+2ftTi,g 2* + l~

1 I

'2* + l x ' x ctg^ 2*+lctg^

: p+T ct8 ¿FfT—ctK *•

-ctg* =

21. 1°. Tenemos

tg (arc tg 2—arc tg 1) = |j.2T- 3 •

60

Por eso,

arctg2—arctg 1 =arc tg y = arcctg3,

o sea, !a proposición es válida para n=l. 2°. Mostremos, ante todo. que

arcctg(2*+3)=arc tg±r^—arctg I. (I)

Hn efecto

k+2 ,

( , k + 2 . fc+1 I

MarclgH^~arctel]=7~H^=2M^'

o sea,

arc tg 2Ff3=arc c,g (2<f+3) = arc tg -arc tg ’'

Supongamos que la proposición es válida para n — k. es decir, que arc ctg3 + arc ctg5+... -farcctg [2k + i) =

=*rcfg2 + arctg—+... +arctg±í±—Aarctg I. (2)

Demostremos que. entonces, también es válida para n=¿+l» o sea, que

arc ctg 3 + arc ctg 5 + ... -f arc ctg (2* + I) + arc ctg (2* -|- 3) = 3

= arctg2+ arctg-g + ...

... + arctg|±-J-(*+l)arctg1. (3)

En efecto, sumando miembro por mlembro las iguaidades (I) y (2), obtenemos la Igualdad (3).

22. I®. La proposición es válida para n=l ya que

ia-/=2(cos-J-ísen±).

2°. Sea

(V~3— /)* = 2* ( cos —/ sen-^ ) .

Entonces

(V"3 —/)*+, = 2* (oos i sen ) 2 ( cos /sen ^-) =

^2*M[CQS(H^_ísen(Hl^].

61

23. 1°. La proposición es válitla para n=l. 2°. Sea

(cos x+i senx)* = cos kx-\-¡ sen kx.

Entonces

(cosi*+( sen = (cos sen for) (cos x-\-i senx) =

— (cos foccosA!—sen Aí senjc) +

■+• i (cos kx sen x-f- sen kx cos x) =

= cos (*+I)a: + isen(é+l)*.

24. Es errónea la últinia írase: “Heraos demostrado la proposlción". En verdad, hemos demostrado sólo que la deslgualdad

2" > 2n +1

es vállda para n = *+l s¡ lo es para n = k, donde k es un número natural cualqulera.

De aquf no se deduce todavía que la deslgualdad se cumple al msnos para un valor de n y, con más razón, para un número natural n cualquiera.

En una palabra, el error consiste cn que hemos demostrado sólo «I teorema 2 y no hemos conslderado el teorema I, o sea no hemos creado )a base par8 la inducción.

25. Salta a la vista que 3 es el mcnor número natural n para el cual se cumple la desigualdad 2n > 2n-(-l.

Puesto que Ia validez de esta desigualdad para n = fc impllca su validez para n = ft+ 1 (problema 24), podemos afirmar que la desigualdad se cumple para cualquier número natural n5>3.

26. 1°. La desigualdad se cumple para n = 2 ya que

l + ~> V"2.

2°. Sea

I I

m 1 V2 Üemostremos que

1,1

vn > V k.

====■ > VT+í- V^ K2 ka 1 j/T+T

Para todo se cumple la desigualdad

En electo, la desigualdad (3) equivale a esta otra

'+/S' > 1

0)

(2)

(3)

62

Sue se obticne muUipHcando ambos miembros de (3) por >^6 + 1 + V 6* umando mlembro por miembro las desigualdades (I) y (3), obfenc-

mos la desigualdad (2).

27. 1°. Para n=2 !a desigualdad da -j < 6 y. por consigulente,

se cumple. 2". Sea

4* (*!>* ’

donde 6^2. Es fócil comprobar que

<(* + ») - (2ft+l)(2ft-b2) * + 2 * (*+!)» *

para 6 > 0. Por eso,

4» 4(6+1) . (26)1 (26 + 1) (26 + 2)

6 + r 6 + 2 ^ (61)» (6 + 1)»

o sea,

4t + 1 (26+2)1

6 + 2 < |(6+1)!]»’

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“MIR” edita libros soviéticos traducidos al español, inglés, francés y árabe. Entre ellos figuran las mejores obras de las distintas ramas de la ciencia y la técnica; manuales para los centros de enseñanza superior y escuelas tecnoló- gicas; literatura sobre ciencias naturales y médicas. También se incluyen monograíías, libros de divulgación científica y ciencia ficción.

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El cálculo do variaciones es una de las romas de las Matemáticas moder- nos más ampliamenle desarrollada y con nuinerosas aplicaciones en las ciencias naturales y la técnica. Trata las rnagnit.udes que dependen de cur- vas y busca aquellas que expresan el valor mínimo o máxuno de estas magnitudcs. Sus orígones so romotan al tiempo en que Galileo planteó el famoso problema aobro la braquisto- crona; esla última os la curvu que une dos puntos dados y por la cual des- ciende, en tiompo miuimo. uu punto material. GalJleo pensaba equivoca- daniente que se trataba del arco de ima circ.unforencia. Más tarde, )3er- noulli demostró que dicha curva es un arco de cicloide y, con Euler y Lagrnnge, sentó Ins bnses del cálculo de variaciones que, desde entonces, coinenzó a desarroilarso intensamente. encnntrnndo cada ver mayores npli-

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