ejemplos. · ejemplo jxj. cuando la funci on tiene ’saltos’. ejemplo h(x), funci on a trozos...
TRANSCRIPT
![Page 1: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/1.jpg)
DEFINICION. Una funcion es diferenciable en a si f ′(a) existe, ydiremos que es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciableen cada uno de los puntos del intervalo.
NOTA. Para las funciones que estamos estudiando (f : R→ R) serdiferenciable y ser derivable tienen el mismo significado.
EJEMPLOS. ¿Donde son diferenciables las siguientes funciones?
f (x) = x3 − x
f (x) = ex
f (x) = |x |
() 25 de mayo de 2012 1 / 9
![Page 2: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/2.jpg)
DEFINICION. Una funcion es diferenciable en a si f ′(a) existe, ydiremos que es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciableen cada uno de los puntos del intervalo.
NOTA. Para las funciones que estamos estudiando (f : R→ R) serdiferenciable y ser derivable tienen el mismo significado.
EJEMPLOS. ¿Donde son diferenciables las siguientes funciones?
f (x) = x3 − x
f (x) = ex
f (x) = |x |
() 25 de mayo de 2012 1 / 9
![Page 3: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/3.jpg)
DEFINICION. Una funcion es diferenciable en a si f ′(a) existe, ydiremos que es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciableen cada uno de los puntos del intervalo.
NOTA. Para las funciones que estamos estudiando (f : R→ R) serdiferenciable y ser derivable tienen el mismo significado.
EJEMPLOS. ¿Donde son diferenciables las siguientes funciones?
f (x) = x3 − x
f (x) = ex
f (x) = |x |
() 25 de mayo de 2012 1 / 9
![Page 4: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/4.jpg)
Teorema
Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a
NOTA
La reciproca no es cierta. Ejemplo f (x) = |x |.El anterior teorema nos ayuda a identificar algunos de los puntos endonde la funcion NO puede ser derivable, estos son los puntos dediscontinuidad.
() 25 de mayo de 2012 2 / 9
![Page 5: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/5.jpg)
Teorema
Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a
NOTA
La reciproca no es cierta. Ejemplo f (x) = |x |.El anterior teorema nos ayuda a identificar algunos de los puntos endonde la funcion NO puede ser derivable, estos son los puntos dediscontinuidad.
() 25 de mayo de 2012 2 / 9
![Page 6: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/6.jpg)
Teorema
Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a
NOTA
La reciproca no es cierta. Ejemplo f (x) = |x |.El anterior teorema nos ayuda a identificar algunos de los puntos endonde la funcion NO puede ser derivable, estos son los puntos dediscontinuidad.
() 25 de mayo de 2012 2 / 9
![Page 7: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/7.jpg)
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
![Page 8: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/8.jpg)
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
![Page 9: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/9.jpg)
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
![Page 10: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/10.jpg)
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
![Page 11: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/11.jpg)
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
![Page 12: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/12.jpg)
DERIVADAS DE POLINOMIOS
Si f (x) = c , donde c ∈ R, es decir, f es una funcion constante
d
dx(f (x)) =
d
dx(c) = 0
Usando la definicion podemos ver que
d
dx(x) = 1
d
dx(x2) = 2x
d
dx(x3) = 3x2
() 25 de mayo de 2012 4 / 9
![Page 13: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/13.jpg)
DERIVADAS DE POLINOMIOS
Si f (x) = c , donde c ∈ R, es decir, f es una funcion constante
d
dx(f (x)) =
d
dx(c) = 0
Usando la definicion podemos ver que
d
dx(x) = 1
d
dx(x2) = 2x
d
dx(x3) = 3x2
() 25 de mayo de 2012 4 / 9
![Page 14: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/14.jpg)
Si n ∈ N, entoncesd
dx(xn) = nxn−1
y este resultado se puede extener a cualquier potencia real, es decir, sia ∈ R entonces
d
dx(xa) = axa−1
EJEMPLOEncontrar la funcion derivada de las siguientes funciones
f (x) =√x
f (x) =7√x5
f (x) = 1x
f (x) = xπ
() 25 de mayo de 2012 5 / 9
![Page 15: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/15.jpg)
Si n ∈ N, entoncesd
dx(xn) = nxn−1
y este resultado se puede extener a cualquier potencia real, es decir, sia ∈ R entonces
d
dx(xa) = axa−1
EJEMPLOEncontrar la funcion derivada de las siguientes funciones
f (x) =√x
f (x) =7√x5
f (x) = 1x
f (x) = xπ
() 25 de mayo de 2012 5 / 9
![Page 16: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/16.jpg)
Si n ∈ N, entoncesd
dx(xn) = nxn−1
y este resultado se puede extener a cualquier potencia real, es decir, sia ∈ R entonces
d
dx(xa) = axa−1
EJEMPLOEncontrar la funcion derivada de las siguientes funciones
f (x) =√x
f (x) =7√x5
f (x) = 1x
f (x) = xπ
() 25 de mayo de 2012 5 / 9
![Page 17: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/17.jpg)
Si f y g son funciones diferenciables, y c ∈ R una constante, entoncesddx [cf (x)] = c d
dx f (x)ddx [f (x) + g(x)] = d
dx f (x) + ddx g(x)
es decir, el operador derivada es un operador lineal, respeta la suma y lamultiplicacion por constantes.
EJEMPLO Encontrar la derivada de las siguientes funciones
f (x) = x3 − x
f (x) = 4x2
f (x) = 5x3 + 3x2 − x + 1
() 25 de mayo de 2012 6 / 9
![Page 18: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/18.jpg)
Si f y g son funciones diferenciables, y c ∈ R una constante, entoncesddx [cf (x)] = c d
dx f (x)ddx [f (x) + g(x)] = d
dx f (x) + ddx g(x)
es decir, el operador derivada es un operador lineal, respeta la suma y lamultiplicacion por constantes.
EJEMPLO Encontrar la derivada de las siguientes funciones
f (x) = x3 − x
f (x) = 4x2
f (x) = 5x3 + 3x2 − x + 1
() 25 de mayo de 2012 6 / 9
![Page 19: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/19.jpg)
Sabemos qued
dxex = ex
y qued
dxsin x = cos x
Ademas, usando la definicion
d
dxcos x = − sin x
() 25 de mayo de 2012 7 / 9
![Page 20: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/20.jpg)
Sabemos qued
dxex = ex
y qued
dxsin x = cos x
Ademas, usando la definicion
d
dxcos x = − sin x
() 25 de mayo de 2012 7 / 9
![Page 21: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/21.jpg)
Sabemos qued
dxex = ex
y qued
dxsin x = cos x
Ademas, usando la definicion
d
dxcos x = − sin x
() 25 de mayo de 2012 7 / 9
![Page 22: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/22.jpg)
A diferencia del calculo de lımites, las derivadas tienen propiedadesdiferentes para el producto y division de funciones. Si f y g funcionesdiferenciables, entonces
d
dx[f (x)g(x)] =
[d
dxf (x)
]g(x) +
[d
dxg(x)
]f (x)
en la notacion usual
(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f (x)
EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones
f (x) = cos2 x + x
g(x) = cos x sin x
h(x) = x2ex
() 25 de mayo de 2012 8 / 9
![Page 23: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/23.jpg)
A diferencia del calculo de lımites, las derivadas tienen propiedadesdiferentes para el producto y division de funciones. Si f y g funcionesdiferenciables, entonces
d
dx[f (x)g(x)] =
[d
dxf (x)
]g(x) +
[d
dxg(x)
]f (x)
en la notacion usual
(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f (x)
EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones
f (x) = cos2 x + x
g(x) = cos x sin x
h(x) = x2ex
() 25 de mayo de 2012 8 / 9
![Page 24: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/24.jpg)
Si f y g funciones diferenciables, entonces(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− g ′(x)f (x)
[g(x)]2
EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones
f (x) = 1x
g(x) = tan x
h(x) = x2+1x−1
i(x) = sec x
() 25 de mayo de 2012 9 / 9
![Page 25: EJEMPLOS. · Ejemplo jxj. Cuando la funci on tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funci on a trozos que no sea continua. Cuando la funci on tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022053014/5f123c56bda31f652070fc98/html5/thumbnails/25.jpg)
Si f y g funciones diferenciables, entonces(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− g ′(x)f (x)
[g(x)]2
EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones
f (x) = 1x
g(x) = tan x
h(x) = x2+1x−1
i(x) = sec x
() 25 de mayo de 2012 9 / 9