CargasCargas, , FuerzasFuerzas, y Campos , y Campos EléctricosEléctricos, , trabajotrabajo y y potencialpotencial electricoelectrico

IngIng. Gabriel Castro R. Gabriel Castro R

PsralelosPsralelos: A Y B : A Y B

PrepoPrepo veranoverano 20102010

Carga eléctricaLa carga eléctrica es la propiedad de la materia que señalamos como causa de lainteracción electromagnética. Se dice que un cuerpo está cargado positivamentecuando tiene un defecto de electrones. Se dice que un cuerpo está cargadonegativamente cuando tiene un exceso de electrones. Por tanto tambiénpodemos definir la carga eléctrica como el exceso o defecto de electrones queposee un cuerpo respecto al estado neutro.

La unidad de carga en el sistema internacional es el culombio (C ) que es la cantidad de carga que atraviesa una sección de un conductor en un segundo cuando la intensidad de la corriente es de un amperio. Se usan también el microculombio (1 µC = 10-6C) , el nanoculombio (1nC = 10-9C) o el picoculombio (1pC = 10-12C)

Propiedades:• El frotamiento no genera corriente eléctrica.• La carga eléctrica está cuantificada y su unidad más elemental es la carga del electrón. Cualquier carga es múltiplo entero del la carga del electrón y su valor es e = 1,6•10-19 C. Es una magnitud escalar. Por tanto un Culombio son 6,25•1018 e.• Las cargas son acumulativas. Llega un momento en que no se admite más carga y se escapa la carga.• Existen dos tipos de carga, positiva o negativa. La interacción electrostática entre cargas del mismo signo es repulsiva, mientras que la interacción entre cargas de signo opuesto es atractiva.

La carga eléctrica se conserva en cualquier proceso que tenga lugar en unsistema aislado. Al frotar un bolígrafo de plástico con un paño de lana no se creauna carga neta. Algunos electrones pasan del paño a l bolígrafo de modo que elnúmero de electrones en exceso en el bolígrafo es justamente el número deelectrones en defecto del paño. El bolígrafo adquiere carga negativa y el pañopositiva.

• La carga de un electrón es igual a la carga de un protón, cambiada de signo. Elprotón tiene más masa. mp= 1846 me

• La carga total de un sistema no varía por el movimiento de los portadores decarga. Si no fuera así, una vez que un electrón abandona un átomo no podríavolver a equilibrar la carga de un protón y la materia no se encontraría neutra.

Se denomina conductores a los cuerpos que dejan pasar fácilmente laelectricidad a través de ellos (metales) y aislantes o dieléctricos a los que no ladejan pasar. No hay aislantes perfectos por lo que muchas veces hablamos debuenos o malos conductores

Ley de Coulomb

Se refiere a la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas. Es el equivalente a la ley de la gravitación universal.

"La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa".

Es valido para cargas puntuales o puntiformes, es decir para aquellas cuyotamaño es mucho menor que la distancia entre ellas.

- significa fuerza atractiva+ significa fuerza repulsión

k no es una constante universal. Depende del medio en el que se encuentren las cargas. Se suele expresar k en función de la permitividad del medio. k = 1/4.π.ε

ε es la cte dieléctrica o permitividad del medio. Esta constante se puede expresar como ε = ε0•ε´

ε0 es la cte dieléctrica del vacío y vale

ε´ cte dieléctrica relativa al medio. En el vacio (aire)ε´ = 1. Adimensional

Constantes dieléctricas relativasAgua 80Aire 1

Azufre 4Madera 2 - 8

Porcelana 6 - 8 Vidrio 4 - 10

Por tanto =

Si estamos en el vacío (aire )

La distancia entre el electrón y e protón en el átomo de hidrógeno es de 5,3.10-11 m.

Compara las fuerzas electroestática y gravitatoria que se ejercen mutuamente e indique qué conclusiones obtiene.Datos:Masa del protón: mp = 1,67.10-27 kg.

Masa del electrón me = 9,1.10-31 kg.

Carga del protón: +e = +1,6.10-19 C

Carga del electrón: -e = -1,6.10-19 C

|-e| = |+e| = 1,6.10-19 C

r = 5,3.10-11 m

Aplicamos la ley de Coulomb para hallar la fuerza electroestática que ejercen mutuamente las dos partículas:

|Fe| = 8,2.10-8 N

Aplicamos la ley de la gravitación universal para hallar la fuerza gravitatoria que se ejercen mutuamente las dos partículas:

|Fg| = 3,6.10-47 N

La fuerza electroestática es 1039 veces mayor que la fuerza gravitatoria.Este resultado pone de manifiesto que a nivel atómico las fuerzaselectroestáticas son mucho más intensas que las gravitatorias.

Dos cargas eléctricas Q1 = +5 µC y Q2 = -3 µC están separadas 20 cm en elvacío. Calcula la fuerza eléctrica que actúa sobre una tercera carga Q3 = +2µC situada en el punto medio del segmento que une Q1 y Q2.

- Calculamos la fuerza que Q1ejerce sobre Q3:

F13 = 9.u1 N

- Calculamos la fuerza que Q2 ejerce sobre Q3:

F23 = -5,4.u2 N

La fuerza resultante F3 que actúa sobre Q3 es la suma vectorial de las dos fuerzas anteriores. Teniendo en cuenta que u2 = -u1, resulta:

F3 = F13 + F23 = 9.u1 N - 5,4.u2 NF3 = 9.u1 N + 5,4.u1 N = 14,4.u1 NSu módulo es F3 = 14,4 N

Dos pequeñas bolas de 10 gramos de mas cada una de ellas , estánsujetas por hilos de 1m de longitud suspendidas de un punto común. Siambas bolitas tienen la misma carga eléctrica y los hilos forman unángulo de 10°, calcula el valor de la carga eléctrica. ¿Puedes determinar eltipo de carga?

Fe + P - T = 0tg α = Fe/PFe = P.tg α = m.g.tg αsen α = (r/2)/lr = 2.l.sen α = 2.sen 5

No puede saberse si son positivas o negativas porque se comportan de la misma manera.

Toda partícula eléctricamente cargada crea a su alrededor un campo de fuerzas. Este campo puede representarse mediante líneas de fuerza que indican la dirección de la fuerza eléctrica en cada punto.

F = ko.q1.q2/r ²

r: distancia entre cargasko: constante de proporcionalidad que depende del medio que rodea a las cargas.ko = 9.109 N.m ²/C ²Esta constante también se puede referir a la permeabilidad del vacío:ko = 1/4.π. ε oε o = 8,85415.10-12 C ²/N.m ² (permeabilidad del vacío).

F = q1.q2/4.π. ε o.r ²

La fuerza de atracción o repulsión entre dos cuerpos estacionarios que, de acuerdo con el principio de acción y reacción, ejercen la misma fuerza eléctrica uno sobre otro. La carga eléctrica de cada cuerpo puede medirse en coulombs. La fuerza (F) entre dos partículas con cargas q1 y q2 puede calcularse a partir de la ley de Coulomb:

Intensidad de Campo Eléctrico

La intensidad de campo eléctrico E, es la fuerza por unidad de carga que va a operar sobre un punto cargado positivamente.E = F/q (4)

Despejando la fuerza de la (4), para una q1:F = q1.E (5)Si de (1) tenemos:F = k.q1.q2/d ² (1)Reemplazando (5) en (1):q1.E = k.q1.q2/d ² Þ E = k.q2/d ² (6)

Campo eléctrico. Intensidad de campoUn cuerpo o una partícula cargadaeléctricamente crea a su alrededor unapropiedad denominada campo eléctrico quehace que al colocar cualquier otro cuerpodotado de carga eléctrica en sus proximidadesactúe sobre él una fuerza eléctrica.

Calcula el campo eléctrico creado por una carga Q = +2 µC en un punto P situado a 30 cm de distancia en el vacìo. Calcula también la fuerza que actúa sobre una carga q = -4 µC situada en el punto P.

- Calculamos el campo eléctrico en el punto P:

- Calculamos la fuerza eléctrica que actúa sobre q:

F = q.E = 4.10-6 C.2.105.u N/C = -0,8.u N

La fuerza es atractiva, como corresponde a dos cargas de signo contrario. Su módulo es:F = 0,8 N

Dos cargas puntuales, Q1 = +1 µC y Q2 = +3 µC, están situadas en el vacío a 50 cm una de la otra. Calcula el campo eléctrico en un punto P situado sobre el segmento que une las dos cargas y a 10 cm de Q1.

- Calculamos el campo eléctrico creado por Q1 en P:

E1 = 9.105.u1 N/C

- Calculamos el campo eléctrico creado por Q2 en P:

E2 = 1,7.105.u2 N/C

El campo eléctrico resultante en el punto Pes la suma vectorial de E1 y E2. Para hallarlo tendremos en cuenta que u2 = -u1.

E = E1 + E2 = 9.105.u1 N/C + 1,7.105.u2 N/CE = 9.105.u1 N/C - 1,7.105.u1 N/CE = 7,3.105.u1 N/CSu módulo es E = 7,3.105 N/C

Campo en el interior de un conductor en equilibrio

Las cargas de un conductor tienen libertadde movimiento. Si Situamos un conductoren un campo eléctrico las cargas se vensometidas a fuerzas eléctricas que lasempujan a la superficie del conductor

El conductor alcanza el equilibrio cuando sus cargas libres estén en reposo. En estasituación, las cargas eléctricas están totalmente distribuidas en la superficie delconductor de modo que el campo eléctrico en el interior del conductor es nulo

Líneas de fuerza. Campo uniforme.

Los campos vectoriales se representan por líneas vectoriales. Como el campo es una fuerza son líneas de fuerza

Líneas de fuerzas del campo eléctrico sonlíneas imaginarias y son la trayectoria queseguiría la unidad de carga positiva dejadaen libertad dentro del campo eléctrico.

Criterios para dibujarlas

1. Las líneas de fuerza salen de las cargas positivas (fuentes ) y entran en las cargas negativas (sumideros ). Si no existen cargas positivas o negativas las líneas de campo empiezan o terminan en el infinito.2. El número de líneas que entran o salen de una carga puntual es proporcional al valor de la carga.3. En cada punto del campo, el número de líneas por unidad de superficie perpendicular a ellas es proporcional a la intensidad de campo.4. Dos líneas de fuerza nunca pueden cortarse. (El campo en cada punto tiene una dirección y un sentido único. En un punto no puede haber dos líneas de fuerza ya que implicaría dos direcciones para el campo eléctrico

Una carga puntual positiva Una carga puntual negativa

Dos cargas puntuales del mismo signo Dos cargas puntuales de diferente signo

El ión Na+ del cloruro de sodio tiene una carga positiva de 1,6.1013 µ C. El ión Cl- posee la misma carga que el Na+, (obviamente con signo contrario). La distancia que los separa es de 10-8 cm.

Calcule la fuerza de atracción.

Datos:q Cl- = -1,6.10-13 µ C = -1,6.10-19 C

q Na+ = 1,6.10-13 µ C = 1,6.10-19 C

r = 10-8 cm = 10-10 m

F = k.q Cl-.q Na+/r ²

F = 9.109 (Nm ²/C ²).(-1,6.10-19) C.1,6.10-19 C/(10-10 m) ² F = -2,304.10-8 N

Calcular el campo eléctrico de una Carga de 6 coulomb aplicada a una carga de prueba inicial que se encuentra a (-4i+2j).

Las fórmulas para el caso son: F = k0.qF.q/r2 (1)E = F/qF (2)k0 = 9.109 N.m ²/C ²

Despejando la fuerza F (entre las cargas) de la ecuación (2): E = F/qFF = E.qF (3)

Igualando las ecuaciones (1) y (3): k0.qF.q/r2 = E.qFAhora cancelamos la carga de prueba qp : k0.q/r2 = E (4)

Como r es la distancia entre ambas cargas la hallamos como el módulo del vector (-4i + 2j) utilizando sus componentes, y como no se aclara la unidad adoptamos m, es decir que la longitud de sus componentes estará dada en metros:

r ² = (-4 m) ² + (2 m) ²r ² = 16 m ² + 4 m ²r ² = 20 m ²Resolviendo la ecuación (4): E = (9.109 N.m ²/C ²).(6 C/20 m ²)E = 2,7.109 N/C

Nota: Cuando dos cargas se enfrentan a una determinada distancia r unaejerce sobre la otra una fuerza F igual y contraria a la que la otra carga leejerce a la primera (ecuación 1), si una carga es positiva genera un campoeléctrico saliente que afectará a la carga que tiene enfrente (ecuación 2).La carga de prueba se toma simbólicamente y en estos casos se anula(ecuación 4).En el vector (-4i + 2j) los números que acompañan a las letras son losmódulos de las componentes de dicho vector.Las letras indican sobre que eje de coordenadas está cada componente, seutiliza i para el eje "x" y j para el eje "y", así:-4i indica cuatro unidades sobre el eje "x" hacia el extremo negativo.2j indica dos unidades sobre el eje "y" hacia el extremo positivo.

Trabajo y energía potencial de un campo eléctrico

¿Qué trabajo se realiza para llevar la q2 del punto 1 al punto 2 dentro del campo creado por q1?

Trabajo para llevar el cuerpo de 1 a 2.Si el trabajo es positivo, lo hace el propio campo eléctrico. Si es negativo tiene que ser realizado en contra del campo por un agente externo.

Sabemos que W = -ΔEp Ep1 - Ep2 =

Según esta expresión se puede hablar de diferencia de Ep. Si se quiere hallar la Ep en un punto ha de dársele al otro punto Ep =0. Este valor 0 se toma en el ∞.

Energía potencial en un punto. Es el trabajo que se realiza para llevar q2 desde r1 al ∞ o viceversa.

1/r2 0; r2 = ∞ ® Ep1 =

Diferencia de potencial y potencial en el campo eléctrico.

Diferencia de potencial es la variación de la energía potencial por unidad de carga positiva.

V1 - V2 = (Ep1 - Ep2)/q2La referencia para tomar los potenciales latomamos en el ∞, y por tanto el potencial enun punto V1 = q1/4.π.σ1

W = q2.(V1 - V2)

W = q2.(V1 - V2)E = (F/q2) F = E.q2

W = E•q2•d

q2.(V1 - V2) = q2•EdV1 - V2 = Ed = E.(r2 - r1)

Definición de electrón-voltio.Es el trabajo necesario para transportar una carga de un e- entre dos puntos de un campo eléctrico cuya diferencia de potencial son de 1 voltio.

1eV = (1´6•10-19 C) •1V = 1´6•10-19 C •V = 1´6•10-19 Julios

Las tres cargas eléctricas de la figura están en el aire. Calcula:a) El potencial eléctrico en el punto P.b) La energía potencial que adquiere una carga q = +2,5 µC al situarse en el punto P.

a) Calculamos el potencial eléctrico creado por cada una de las cargas en el punto P:

El potencial eléctrico en el punto P es la suma algebraica de los potenciales eléctricos creados por cada una de las tres cargas:

V = V1 + V2 + V3V = (9 - 2,25 + 9)·105 VV = 15,75·105 V

b) Calculamos la energía potencial eléctrica que adquiere una carga q = +2,5 µC al situarse en el punto P:

Ep = q.VEp = 2,5·10-6 C·15,75·105

Ep = 3,9 J

Una carga eléctrica puntual Q = +2 µC se encuentra en el agua (εr = 80). Calcula:a) El potencial eléctrico a una distancia de 30 cm y a una distancia de 150 cm de la carga.b) La energía potencial eléctrica que tendría una carga puntual q = -3 µCsituada en esos puntos.c) El trabajo que deberíamos realizar para trasladar la carga q desde el primer punto hasta el segundo

- Datos:

a) Calculamos el potencial eléctrico en los puntos A y B. Tendremos en cuenta que en el agua el valor de K es:

b) Calculamos la energía potencial eléctrica de la carga q en ambos puntos:

EpA = q.VA = -3·10-6 C·750 V = -2,25·10-3 JEpB = q.VA = -3·10-6 C·150 V = -0,45·10-3 J

c) El trabajo que realiza el campo eléctrico para trasladar la carga q desde A hasta B es igual a la diferencia de energía potencial eléctrica entre estos puntos:

W = q.(VA - VB)W = EpA - EpB

W = -2,25·10-3 J - (-0,45·10-3 J)W = -1,8·10-3 J

El trabajo que realiza el campo eléctrico es negativo. Esto significa que debemos efectuar un trabajo de 1,8·10-3 J en contra del campo para trasladar la carga q de A a B.

Dos cargas puntuales de 2.10-6 y -10-6 C

están situadas, respectivamente, en el punto (1,0) y en el punto (0,2) de un sistema de ejes cartesianos cuya escala está establecida en centímetros. Calcula:

a) El campo eléctrico en el punto (2,1).b) El potencial eléctrico en el mismo punto.

a) El campo eléctrico en un punto debido a una distribución de cargas es la suma de los campos que crearían cada una de las cargas en el punto se estuvieran solas.El módulo del campo creado por una carga eléctrica puntual viene establecido por:E = K.Q/r²

b) El potencial eléctrico en el punto es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas eléctricas. El potencial debido a una carga puntual viene expresado por:V = K.Q/rV = V1 + V2

V = 8,64.105 V

Un electrón que tiene una velocidad de 5.105 m/s se introduce en unaregión en la que existe un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largode la dirección del movimiento del electrón. ¿Cuál es la intensidad delcampo eléctrico si el electrón recorre 5 cm desde su posición inicialantes de detenerse?

Solución:El electrón, al ser introducido en un campo eléctrico uniforme, está sometido auna fuerza eléctrica, F = Q.E, en la dirección del campo, que, por tanto, realizaun trabajo sobre aquel cuando se desplaza una distancia d, que viene dadopor:

W = Q.E.d

Como consecuencia, el electrón alcanza una velocidad final que en este trayecto es igual al trabajo realizado por el campo:

0 - ½.m.ve² = Q.E.d

Donde m es la masa del electrón (9,1.10-31 kg), y Q, su carga (-1,6.10-19 C).

De donde se obtiene: E = m.ve²/2.Q.d = 14,22 N/C

Un electrón es introducido en un campo eléctrico uniforme en direcciónperpendicular a sus líneas de fuerza con una velocidad inicial de 104 m/s.La intensidad del campo es de 105 V/m. Calcula:a) La aceleración que experimenta el electrón.b) La ecuación de la trayectoria

Solución:a) El electrón está sometido a una fuerza perpendicular a su trayectoria inicial; en consecuencia, se producirá una aceleración en la dirección del campo, que valdrá:

b) El movimiento del electrón se puede descomponer en dos, uno en la dirección del eje X, y otro en la dirección del eje Y:• Eje X:

x = v0.t

• Eje Y:

y = ½.ay.t² = Q.E.t²/2.m

Para hallar la ecuación de la trayectoria, despejamos el tiempo en la ecuación del eje X y sustituimos en la del eje Y:

y = 8,79.107.x²

que, como se aprecia, corresponde a la ecuación de una parábola.

Aplicaciones

Problema n° 1) Calcular la fuerza que produce una carga de 10 µ C sobre otra de 20 µ C, cuando esta última se encuentra ubicada, respecto de la primera, a:a) 1 cm.b) 2 cm.c) 0,1 cm.Datos:q1 = 10 µ C = 1.10-5 C q

2 = 20 µ C = 2.10-5 C

xa = 1 cm = 10-2 m xb = 2 cm = 2.10-2 m x

c = 0,1 cm = 10-³ m

a) Fa = k.q1.q2/xa ²Fa = 9.109 (Nm ²/C ²).1.10-5 C.2.10-5 C/(10-2 m) ²

Fa = 18.10-1 (Nm ²/C ²).C ²/10-4 m ²

Fa = 18.10³ N

Fa = 1,8.104 N

b) Fb = k.q1.q2/xb ²Fb = 9.109 (Nm ²/C ²).1.10-5 C.2.10-5 C/(2.10-2 m) ²

Fb = 18.10-1 (Nm ²/C ²).C ²/4.10-4 m ²

Fb = 4,5.10³ N

Fb = 4,5.10³ N

c) Fc = k.q1.q2/xc ²Fc = 9.109 (Nm ²/C ²).1.10-5 C.2.10-5 C/(10-³ m) ²Fc = 18.10-1 (Nm ²/C ²).C ²/10-6 m ²

Fc = 18.105 N

Fc = 1,8.106 N

Problema n° 2) Una bola de médula de sauco, A, tiene una carga de 40 µ C y está suspendida a 6 cm de otra bola, B, que ejerce una fuerza de 500 N sobre la carga A, ¿cuál es la carga de la bola B ?.

Datos:qA = 40 µ C = 4.10-5 C

r = 6 cm = 6.10-2 m

F = 500 N = 5.10 ² N

F = k.qA.qB/r ²qB = F.r ²/ k.qAqB = 5.10 ² N.(6.10-2 m) ²/9.109 (Nm ²/C ²).4.10-5 C

qB = 5.10-2 N.36.10-4 m ²/36 (Nm ²/C ²).C

qB = 5.10-6 C

Problema n° 3) Una bola de médula de sauco, A, tiene una masa de 0,102 g y una carga de 0,1 µ C. A está ubicada a 50 cm de otra bola, B, de 0,04 µ C.a) ¿qué fuerza ejerce B sobre A?.b) ¿cuál será la aceleración de A en el instante en que se suelta? (no tener en cuenta la aceleración de la gravedad).

Datos:qA = 0,1 µ C = 10-7 C

qB = 0,04 µ C = 4.10-8 C

r = 50 cm = 5.10-1 m

mA = 0,102 g = 1,02.10-4 kg

a) F = k.qA.qB/r ²F = 9.109 (Nm ²/C ²).10-7 C.4.10-8

C/(5.10-1 m) ²

F = 36.10-6 (Nm ²/C ²).C ²/25.10-2 m ² F = 1,44.10-4 N

b) F = m.aa = F/ma = 1,44.10-4 N/1,02.10-4

kg

a = 1,412 m/s ²

Un electróforo se puede descargar y cargar repetidas veces produciendo chispas. ¿De dónde se obtiene la energía que produce las chispas?.

Por el trabajo entregado para realizar la carga y descarga.

En los vértices de un cuadrado imaginario de 0,1 cm de lado hay cargas de 30, -10,40 y 0 C. Encuentre la fuerza resultante sobre el vértice de -10 C.

Datos:q1 = 30 Cq2 = -10 Cq3 = 40 Cq4 = 0 Cr = 0,1 cm = 10-³ m

F32 = k.q3.q2/r ² y F32 = FR.sen αF12 = k.q1.q2/r ² y F12 = FR.cos αFR ² = F12 ² + F32 ² y α = arctg(F12/F32)F32 = 9.109 (Nm ²/C ²).40 C.(-10 C)/(10-³ m) ²F32 = -9.109 (Nm ²/C ²).400 C ²/10-6 m ²

F32 = -3,6.1018 N

F12 = 9.109 (Nm ²/C ²).30 C.(-10 C)/(10-³ m) ²F12 = -9.109 (Nm ²/C ²).300 C ²/10-6 m ²

F12 = -2,7.1018 NFR ² = (-3,6.1018 N) ² + (-2,7.1018 N) ²FR ² = 1,29637 N ² + 7,2936 N ²FR ² = 2,02537 N ² FR = 4,518 N

α = arctg(-2,7.1018 N/-3,6.1018 N)α= arctg 0,75

α = 36,87°

La carga de un electrón es de -1,6.10-13 µ C y se mueve en torno a un protón de carga igual y positiva. La masa del electrón es de 9.10-28 g

y esta a una distancia de 0,5.10-8 cm.

Se pide encontrar:a) La fuerza centrípeta que opera sobre el electrón.b) La velocidad del electrón.c) La frecuencia de revolución (frecuencia del electrón).

Datos:qe = -1,6.10-13 µ C = -1,6.10-19 C

qp = 1,6.10-13 µ C = 1,6.10-19 C

r = 0,5.10-8 cm = 5.10-11 m

me = 9.10-28 g = 9.10-31 kg

a) F = k.qe.qp/r ²F = 9.109 (Nm ²/C ²).(-1,6.10-19) C.1,6.10-19 C/(5.10-11 m) ²

F = -2,304.10-28 (Nm ²/C ²).C ²/2,5.10-21 m ²

F = -9,216.10-8 N

b) a = v ²/r y F = me.aF = me.v ²/r

v ² = r.F/mev ² = 5.10-11 m.9,216.10-8 N/9.10-31 kg

v ² = 5,12.1012 (m/s) ² v = 2.262.741,7 m/s

c) v = e/t = e.1/t y f = 1/tv = e.ff = v/ef = v/2.π.rf = 2.262.741,7 (m/s)/2.3.14159.5.10-11 m f = 7,203.1015 /s