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--Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

1

“CÁLCULO I”

Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix MíguezDpto. Matemática Aplicada y Métodos InformáticosE.T.S.I. Minas.Universidad Politécnica de Madrid

BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

Cálculo de volúmenes de revolución


2

VOLUMEN DE REVOLUCIÓ AL GIRAR ALREDEDORVOLUMEN DE REVOLUCIÓ AL GIRAR ALREDEDOR DE EJE X:DE EJE X:

y2 = p.x

b

2

OX

a

V . y(x) .dx

y(x)

a b

dx


3

a bb

2OY

a

V . x (y).dy

VOLUMEN DE REVOLUCIÓ AL GIRAR ALREDEDORVOLUMEN DE REVOLUCIÓ AL GIRAR ALREDEDOR DE EJE Y:DE EJE Y:

y2 = p.x


4

dx

x1

x0

y(x)

Eje y

Eje x

Giro de un elemento dx alrededor del eje OY

Volumen corona cilíndrica:

2 2corona 1 0V . x x (x).y coron 1a 1 00x y(x. xxV x ).

dx2.x

1

0

x

OY

x

V 2 . x. y(x) .dx

Eje y

x1

x0

y(x)

Eje xb

dx

a

y2 = p.x


5

Volumen de revolución del cuerpo encerrado por larevolución de las curvas: y = f(x) , y = g(x) entre x=a , x=b

b

2 2

OX

a

V . f(x) g(x) .dx

Alrededor de eje OX:

b

OX

a

V 2 . x. f(x) g(x) .dx

Alrededor de eje OY:


6

EJEMPLO:EJEMPLO:

Calcular el volumen engendrado por y=sen(x) al girar:A) Alrededor de eje OX.B) Alrededor de eje OY.

Solución:

A) 2

OX

0

V . sen(x) .dx

2

OXV2

B) Oy

0

V 2 . x.sen(x).dx

2

OYV 2

En ambos casos se considera el intervalo [0,]


7

EJEMPLO:

Calcular el volumen de la región : 3y x x 1 , y=1, x=1

al girar alrededor de x=1

Solución:

Recinto: 3 3y x x 1 1 x x

Distancia al eje de giro1-x

1

3x 1

0

V 2 . 1 x . x x .dx

1

4 3 2x 1

0

V 2 . x x x x .dx

x 1

13V

30


8

EJEMPLO:

Calcular el volumen engendrado al girar el círculo :

22x y 8 4 al girar alrededor de OXSolución:

2

8

y

x

22x y 8 4 2y 8 4 x

2 2 2

X

2

2O

28 4 x 8 4V . .dxx

22

OX

2

V . 32 4 x .dx

(*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas”Ed. Tébar Flores.

(*)


9

Haciendo el cambio de variable:

x=2.sen(t) dx = 2.cos(t).dt

x= -2 -2 = 2.sen(t) sen(t) = -1 t = -/2x = 2 2 = 2.sen(t) sen(t) = 1 t = /2

2

2

2OXV 128 . cos (t).dt

2

2OX

0

V 128 . 2. cos (t).dt

22

OX

2

V 128. . 1 sen (t).cos(t).dt


10

Que se puede resolver como una integral Euleriana:

2.p-1=0 p = ½2.q-1=2 q = 3/2

2

OX

1 3.

1 3 2 2V 128 . , 128 128 64

2 2 2 2


11

EJEMPLO:

Calcular el volumen del elipsoide de revolución que seobtiene al girar la elipse: 2 2

2 2

x y1

a b

alrededor de su eje mayor.

a-a

b

-b

A1

Solución:

a2

OX

a

V . y(x) .dx

Por simetría se puede escribir:

a

2

OX

0

V 2 . y(x) .dx


12

Una expresión paramétrica de la elipse es:

x(t) = a . cos(t)y (t) = b . sen(t)

Introduciendo las paramétricas en la fórmula delvolumen se tendrá:

2

2

OX

0

V 2 . b.sen(t) . a.sen(t) dt

2

3OX

0

V 2ab . sen (t).dt

2 2OX

1. 2

1 42V ab . 2, 128 ab

52 32

2.p-1=3 p = 22.q-1=0 q = 1/2


13

EJEMPLO :

Calcular el volumen engendrado por la revolución delrecinto limitado por: y = -x2 - 3x+6 , x +y =3.

A) Al girar alrededor de x=3B) Al girar alrededor de OX

Solución: 2

2

x 3.x 6 3 x

x 2.x 3 0

x = - 3x = 1

(*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas”Ed. Tébar Flores.

(*)


14

B)

12

(x 3)

3

12

3

V 2 x 3.x 6 3 x . 3 x .dx

2 x 2.x 3 . 3 x .dx

256

3

12 22

OX

3

14 3 2

3

V x 3.x 6 3 x .dx

x 6.x 4.x 30.x 27 .dx

1792

15

A)


15

EJERCICIO PROPUESTO:EJERCICIO PROPUESTO:

Calcular el volumen de un cilindro de revolución deeje vertical, de radio R y altura h.

Solución:

V=.R2.h

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