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--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

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“CÁLCULO I”

Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix MíguezDpto. Matemática Aplicada y Métodos InformáticosE.T.S.I. Minas.Universidad Politécnica de Madrid

BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

Cálculo de áreas de revolución


2

b

2

a

S 2 . y. 1 y' dx

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓNForma explícita: y = f(x)

a b

y = f(x)

Alrededor de OX:Alrededor de OX:

b

2

a

2 . f(x). 1 f '(x) dx


3

d2

c

d2

c

S 2 . x. 1 x ' dy

2 . g(y). 1 g'(y) dy

Curva: x = g(y)Alrededor de OY:Alrededor de OY:

entre y = c ; y = d

y=c

y=d


4

JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (1) :JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (1) :

Giro alrededor del eje OX

Se considera el tronco de cono de revolución ABCD

(Área lateral)tr.cono= 2.(radio medio). (longitud generatriz)

Integrando en [a,b]:

y = f(x)ds

y1y2

A

B

C

D

dxa b

y ds

b

a

S 2 . y.ds


5


Giro alrededor del eje OY

Se considera el tronco de cono de revolución ABCD

(Área lateral)tr.cono= 2.(radio medio). (longitud generatriz)

Integrando en [a,b]:

x ds

b

a

S 2 . x.ds

y=c

y=d

xdy

ds CD

A B


6

x

y

s

P

Q

(Cuerda PQ)2 = x2 + y2

(Cuerda PQ/ s)2.(s/ x) 2 = + y2 / x2

Hacemos Q P, es decir, x 0:

2 2ds dy

1dx dx

2dy

ds 1 .dxdx


Cálculo del diferencial de arco “ds”


7

x

y

s

P

Q

(Cuerda PQ)2 = x2 + y2

(Cuerda PQ/ s)2.(s/ y) 2 = + x2 / y2

Hacemos Q P, es decir, y 0:

2 2ds dx

1dy dy

2dx

ds 1 .dydy


Cálculo del diferencial de arco “ds”


8

EJEMPLO:

Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OX, de la parábola: y2=4xentre x = 0, x=2 Solución:

2y 4.x y 2. x

Por simetría respecto OX, consideramos la rama positiva:

b 2

0

2

a

S 2 . . 1 dx 2 .y 2. x.1

y 1 xx

d' .

1y'

xy 2. x 2 1

y'x

1

0

8.S 4 . x 1.dx 3 3 1

3

y 2. x

y 2. x


9

EJEMPLO:

Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OY, del arco de curva: x=y3

entre y = 0, y=1 Solución:

12

1 1

0 0

1

0

3

2 4

4

3S 2 . . 1 dy 2 . . 1 .x y

36y

x ' 9. dy

12 . .

y

9.y1 .dy36

2x ' 3.y3x y

3249.

1 2S 2 . . 1 10 10 1

36y

3 27

2 4x ' 9.y


10

Área de una superficie de revolución en PARAMÉTRICAS:

0 , 1

xentre t t t t

yy

t

)

)

(t

x(

Alrededor del eje OX:

1

0

t2 2

t

y'(tS 2 . .y( .x '(tt) d) t)

Alrededor del eje OY:

1

0

t2 2

t

y'(tS 2 . .x( .x '(tt) d) t)


11

Ejemplo

Calcular el área engendrada por la revolución alrededordel eje OX de la astroide:

2 2 23 3 3x + y = a

Solución:

3

3

x = cos (t)

y = sen (ta )

aì üï ïï ïí ýï ïï ïî þ

.

.Pasamos a paramétricas:

3 3

3 3

a a

a

= cos (t) cos (t) 1

= .cos (t) cos (t) = -1a =

t 0

t

.

p

Þ = Û

- Þ Û

=

Nuevos límites de integración:

a-a

-a

a


12

2dx= -3.a.cos (t).sen(t)

dt

2dy= 3.a.sen (t).cos(t)

dt

( )22

22 22

2+ = 9.a cos (t) + sen (t).cdy

dtos (t).sen ( )

t.

x

dt

dæ æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

ö÷ç ÷ç ÷çè ø

22 4 2dx

= 9.a .cos (t).sen (t)dt

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø2

2 2 4dy= 9.a .cos (t).sen (t)

dt

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

22

2 22

dy

dtcos (t).s+ = 9

de

x

dn.

t).a (t




13

2

2

3

2

2 2 =sen (t)

.6 . cos(t).s

S = 2 .

en (t).a

a 9.a .cos (t).sen (t)2

dt

0

0

4

2

2.

. .

p

p

p

pé ùê ú= ê úê úë û

ò

ò

1

0

t2 2

t

y'(tS 2 . .y( .x '(tt) d) t)

2 2 2

OX

5. 1

5 22V 6 a . ,1 6 a a

72 52

2.p-1=4 p = 5/22.q-1=1 q = 1


14

EJEMPLO:

A)Hallar la superficie de revolución, al girar alrededor de OX,del arco de curva y = a.Ch(x/a) entre x=0, x=2a siendo a>0

B)Hallar la superficie de revolución al girar el mismo arco alrededor de OY

Solución:

A) b

2

a

S 2 . y. 1 y' dx

2a

2

0

x xa aS 2 . a.Ch( ). 1 Sh( ) dx

Si y = a.Ch(x/a) y’ = Sh(x/a)


15

Como Ch2(x) - Sh2(x) = 1 1+Sh2(x) = Ch2(x) :

x

a

a

22

0

S 2 . a.Ch ( )dx

de donde se obtiene:

2xa

2a

0

1S 2 a. (Ch( ) 1).dx

2

Operando:

2

2xa

a 2

0

a aS a. Sh( ) x Sh(4) 4

2 2

2x x xa a a

2 2Ch( ) Ch ( ) Sh ( ) Pues:


16

B)

d2

OY

c

S 2 . x. 1 f(x)' dx

2a 2a

2

OY OY

0 0

x xa aS 2 . x. 1 Sh( ) dx S 2 . x.Ch( ).dx

u=x du = dxCh(x/a)dx=dv v = a.Sh(x/a)

2a

2a

OY 0x x

a

0

aS 2 . a x.Sh( ) Sh( ).dx

2OYS 2 .a . 2.Sh( ) Ch( ) 12 2

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