colegioloperena.edu.co · author: jairsinio mendoza lozano created date: 3/17/2020 12:20:04 am
TRANSCRIPT
Profesor: Jairsinio Mendoza Lozano [email protected]
AREA DE MATEMATICAS
ASIGNATURA CÁLCULO
JORNADA TARDE
GRADO 11
Identifica cuando una función es creciente o cuando es decreciente.
Competencia:
Reconocer, claramente el concepto de función y relacionarlo con situaciones de la vida real.
Halla el dominio y rango de una función.
Reconoce si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva
Reconoce si una función es par o impar
Profesor: Jairsinio Mendoza Lozano [email protected]
Actividad 1.
1. Plantea la función que describe la situación dada.
a. El volumen de una esfera en función del radio.
b. El costo de producir x unidades de un artículo si los costos básicos son $500000 semanales
y el costo por producir una unidad es 3000.
c. El área de un triángulo equilátero en función de su lado.
2. Resuelve cada uno de los siguientes problemas
Un fabricante produce semanalmente 150 artículos que vende al doble del costo menos $1000.
a. Determina una función que móldele las utilidades recibidas en función del costo x de
producir un artículo.
b. ¡Cuánto es el costo de producir cada artículo si la utilidad es de $36.000?
c. Halla la utilidad recibida por el fabricante si se vende un artículo en $4000.
3. Completa la tabla de valores para cada función. Luego, realiza la gráfica.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3
x −
1
3
0 8
3
1 5
f(x)
b. 2𝑥+1
3
Profesor: Jairsinio Mendoza Lozano [email protected]
x −1 0 1
2
5 6 10
f(x)
La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial
X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.
Ejemplo de función inyectiva
La función f(x) = 2x+1 es inyectiva.
Veamos que se cumple la condición de inyectividad:
En efecto, si x y y tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo
tanto, f es inyectiva.
Profesor: Jairsinio Mendoza Lozano [email protected]
FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un
elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.
Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y.
En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:
Ejemplo de función sobreyectiva
La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.
Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos
los números reales.
El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.
FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del
conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de
función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto
final Y (condición de función inyectiva).
Teóricamente, una función f es biyectiva si:
Profesor: Jairsinio Mendoza Lozano [email protected]
Fórmula de la condición de una función biyectiva.
Ejemplo de función biyectiva
La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.
Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de
inyectividad:
Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar
la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los
números reales.
La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.
FUNCIONES SIMÉTRICAS Y ASIMÉTRICAS
Existen dos tipos de simetrías:
1. Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares).
2. Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares).
FUNCIÓN PAR
Una función par es una función simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Es decir, si plegásemos la
gráfica por el eje de ordenadas encima de la otra parte, la gráfica se solaparía.
Profesor: Jairsinio Mendoza Lozano [email protected]
Las funciones pares son las que cumplen que las imágenes del opuesto de un elemento (-x) y
la imagen de este elemento (x) coinciden, es decir:
FUNCIONES IMPARES
Una función impar es una función simétrica respecto al origen O. Si plegásemos la gráfica por el
eje de ordenadas (OY) y después de nuevo por el eje de abscisas (OX), la gráfica se solaparía.
En las funciones impares se cumple que la imagen del opuesto de un elemento (-x) es
la imagen opuesta de dicho elemento (x), es decir:
FUNCIÓN CRECIENTE
Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2,
se cumple que f(x1) < f(x2). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x,
aumenta la variable dependiente y.
Profesor: Jairsinio Mendoza Lozano [email protected]
FUNCIÓN DECRECIENTE
Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales
que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable
independiente x, disminuye la variable dependiente y.
FUNCIÓN CONSTATE.
Una función es constante entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales
que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2). Es decir, es constante en [a,b] si al aumentar la variable
independiente x, la variable dependiente y no varia.
ACTIVIDAD 2
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de las funciones
a. f(x)=x2 en los intervalos [-2,-1] y [1,3].
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 5𝑥 + 4 en los puntos 0, 2 y 3.