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Junta de Andalucıa. Cordoba.

Matematicas en laEducacion

Secundaria deAdultos.

Ejercicio yProblemas Resueltos.

Sebastian Nevado CalvoLicenciado en Matematicas

Curso 20015/16

Indice general

1. Numeros Naturales 21.1. Ejercicios-problemas de Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Numeros Enteros 62.1. Ejercicios-Problemas de Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Numeros racionales 123.1. Ejercicios-Problemas de Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Numeros Reales 204.1. Ejercicios-Problemas de Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5. Algebra 245.1. Ejercicios-Problemas de Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6. Problemas de Algebra 306.1. Resolucion de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

Tema 1

Numeros Naturales

1.1. Ejercicios-problemas de Naturales

1. Escribe los siguientes numeros en funcion de las potencias de diez:a) 12345 b) 2608 c) 30012 d) 27209

Solucion:

a) 12345 = 5 ·100+4 ·101+3 ·102+2 ·103+1 · 104

b) 2608 = 8 · 100 + 0 · 101 + 6 · 102 + 2 · 103

c) 30012 = 2 ·100+1 ·101+0 ·102+0 ·103+

3 · 104

d) 27209 = 9 · 100 + 0 · 101 + 2 · 102 + ·7 ·103 + 2 · 104

2. ¿Podremos poner los 38 alumnos de una clase en grupos de 4 sin que sobre nadie?

Solucion: No, porque al dividir 38 entre 4 da de resto dos, es decir, sobran dos alumnos al hacer gruposde cuatro.

3. ¿De cuantas formas se pueden sembrar en filas y columnas 36 arboles?¿y 25?¿y 19?

Solucion:Calculamos todos los divisores de 36, para ello realizamos su descomposicion factorial: 36 =24 ·32, por lo que tendra 3 ·3 = 9 divisores que son: 1, 36, 2, 4, 3, 9, 6, 18, 12. Las formas de sembrarlos arboles seran: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6, 9 · 4 y viceversa.Para 25, como antes 25 = 52, sus divisores seran 1, 25, 5, se podran sembrar como 1 · 25, 5 · 5 y 25 · 1.Para 19 como es primo sus unicos divisores son 1, 19, se podran sembrar como 1 · 19 y 19 · 1.

4. Aplica los criterios de divisibilidad para averiguar si los siguientes numeros:403, 189, 2304, 172, 3454, 24519 son divisibles:

a) por 3 b) por 4 c) por 2 d) por 11 e) por 6 f ) por 9

Solucion: Un numero es divisible por 3 si la suma de sus cifras lo es, por lo tanto: 4 + 0 + 3 = 3, No;1+8+9 = 18, Si; 2+3+0+4 = 9, Si; 1+7+2 = 10, No; 3+4+5+4 = 16, No; 2+4+5+1+9 = 21,Si.Un numero es divisible por 4 si lo es por 2 y por 2, o si la penultima cifra mas el doble de la ultima loes: 0 + 2 · 3 = 6, No; 8 + 2 · 9 = 26, No; 0 + 2 · 4 = 8, Si; 7 + 2 · 2 = 11, No; 5 + 2 · 4 = 13, No;1 + 2 · 9 = 19, No.Un numero es divisible por 2 si su ultima cifra es par: 2304, Si; 3454, Si, el resto de numeros, No.Un numero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan posicion par y lasque ocupan posicion impar lo es: 3 + 4 − 0 = 7, No, 9 + 1 − 8 = 2, No; 4 + 3 − 0 − 2 = 5, No;2 + 1− 7 = −4, No; 4 + 4− 5− 3 = 0 , Si; 9 + 5 + 2− 1− 4 = 10, No.

2

1.1. EJERCICIOS-PROBLEMAS DE NATURALES Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

Para que un numero sea divisible por 6 debe de serlo sucesivamente por 2 y 3; por el apartado 4a yquedandonos con los pares unicamente tenemos al 2304.Un numero es divisible por 9 si lo es sucesivamente por 3 y 3, o si la suma de sus cifras es multiplo de 9,de donde en 189 es el unico que lo cumple.

5. ¿Que cifra hay que anadir a la derecha del numero 181 para que el numero 181 . . . sea multiplo de:a) de 2 b) de 3 c) de 5 d) de 11?

Solucion: Para que sea divisible por 2 debe de acabar en cifra par: 0, 2, 4, 6, 8.Para que sea divisible por 3 aplicamos el criterio: 1 + 8 + 1 + x = 10 + x, por lo que debe de acabar en2, 5, 8.Para que sea divisible por 5 debe de acabar en 0 o en 5.Para que sea divisible por 11, aplicando el criterio: x+8− 1− 1 = x+6 de donde debe de acabar en 5.

6. Sustituye a por un dıgito de forma que el numero 66a sea divisible por:a) por 2 y por 5 b) por 3 pero no por 5 c) por 5 pero no por 3 d) por 2, por 11 y por 5

Solucion: Por 2 debe de acabar en 0, 2, 4, 6, 8, por 5 debe de acabar en 0, 5, luego acaba en 0.Por 3 debe de cumplir 6+ 6+ a = 12+ a multiplo de 3, de donde a puede ser 0, 3, 6, 9, pero como nopuede ser divisible por 5 no puede acabar en 0, por lo que acabara en 3, 6, 9.Por ser divisible por 5 debera acabar en 0, 5, pero al no serlo por 3, desechamos el 0.Al ser por 2 y por 5, unicamente lo cumple el 0, el cual comprobamos que es divisible por 11: 0+6−6 = 0es multiplo de 11.

7. Calcula el maximo comun divisor y el mınimo comun multiplo de los siguientes numeros:a) 45, 38 b) 121, 39 c) 180, 200 d) 24, 96 e) 39, 25f ) 120, 504 g) 18, 24, 36 h) 45, 55, 150 i) 1800, 30, 450 j) 54, 45, 90

Solucion: Para simplificar, en ver de escribir m.c.d(a,b) y m.c.m.(a,b) escribiremos mcd y mcm en cadaapartado. Recuerda que el mcd de dos o mas numeros esta formado por el producto de los factores primoscomunes afectados con el menor exponente (si no hay, el mcd es el 1)y el mcm de dos o mas numerosesta formado por el producto de todos los factores primos afectados con el mayor exponente.

a) 45 = 32 · 5, 38 = 2 · 19 =⇒ mcd = 1 y mcm = 2 · 32 · 19 = 1710

b) 121 = 112, 39 = 3 · 13 =⇒ mcd = 1 y mcm = 3 · 112 · 13 = 4719

c) 180 = 22 · 32 · 5, 200 = 23 · 52 =⇒ mcd = 22 · 5 = 20 y mcm = 23 · 32 · 52 = 1800

d) 24 = 23 · 3, 96 = 25 · 3 =⇒ mcd = 23 · 3 = 24 y mcm = 25 · 3 = 96

e) 25 = 52, 39 = 3 · 13 =⇒ mcd = 1 y mcm = 3 · 52 · 13 = 975

f ) 120 = 23 · 3 · 5, 504 = 23 · 32 · 7 =⇒ mcd = 23 · 3 = 27 y mcm = 23 · 32 · 5 · 7 = 2520

g) 18 = 2 · 32, 24 = 23 · 3, 36 = 22 · 33 =⇒ mcd = 2 · 3 = 6 y mcm = 23 · 33 = 216

h) 45 = 32 · 5, 55 = 5 · 11, 150 = 2 · 3 · 52 =⇒ mcd = 5 y mcm = 2 · 32 · 52 · 11 = 4950

i) 30 = 2·3·5, 450 = 2·32·52, 1800 = 23·32·52 =⇒ mcd = 2·3·5 = 30 y mcm = 23·32·52 = 1800

j) 45 = 32 · 5, 54 = 2 · 33, 90 = 2 · 32 · 5 =⇒ mcd = 32 = 9 y mcm = 2 · 33 · 5 = 270

8. Un nino va a nadar a una piscina cada 5 dıas y un amigo suyo cada 3 dıas. ¿Cada cuanto tiempo coincidenen la piscina?

Solucion: Coinciden al cabo de un numero de dıas que sea divisible por 3 y por 5, es decir, coincide entodos los multiplos de 3 y 5, la primera vez que coincidiran sera en el m.c.m.(3, 5) = 3 · 5 = 15, o sea,cada 15 dıas.

Dpto. de Matematicas. I.E.S. Luis de Gongora 3


9. Queremos poner baldosas cuadradas enteras del mayor tamano posible en un pasillo de 420 cm de largoy 120 cm de ancho. ¿Cuanto debe medir el lado de la baldosa? ¿Cuantas podemos poner?

Solucion: La longitud de la baldosa debe de ser un numero que divida tanto a 420 como a 120, y ademasdebemos de elegir el mayor de ellos, luego calculamos el m.c.d.(420, 120) = 60, luego la longituddeseada de la baldosa cuadrada sera de 60 cm.El numero de baldosas sera, por un lado 420 ÷ 60 = 7 y por el otro 120 ÷ 60 = 2, por lo que habra7 · 2 = 14 baldosas.

10. Tres autobuses salen de una estacion con destino diferente. Uno cada 2 horas, el segundo cada 3 y eltercero cada 4 horas. Si salen juntos a las 8 de la manana, ¿a que hora vuelven a salir a la vez?

Solucion: Los tres volveran a coincidir dentro de un numero de horas que sea a la vez divisible por 2, 3y 4, por lo que sera un multiplo de 2, 3 y 4, y la primera vez que ocurra sera en el m.c.m.(2, 3, 4) = 12,por lo que vuelven a salir otra vez juntos a las 20 horas.

11. Un profesor de Quımica quiere hacer grupos del mismo tamano con los alumnos de dos clases. Si hay24 alumnos en una clase y 36 en otra, ¿cuantos alumnos como maximo formaran cada grupo? ¿Cuantosgrupos salen en cada clase?

Solucion: cada grupo estara formado por un numero de alumnos que divida a 24 y 36, y el mayor numeroque cumple esto es el m.c.d.(24, 36) = 12.En la primera clase salen 24÷ 12 = 2 grupos y en la segunda 36÷ 12 = 3 grupos.

12. Dos amigos cronometran sus relojes a las cuatro de la tarde y conectan las alarmas de forma que unasuene cada 15 minutos y otra cada 18 minutos. ¿Cuando volveran a sonar a la vez?

Solucion: Los dos relojes sonaran a la vez al cabo de un numero de minutos que sea divisible por 15y 18, o lo que es lo mismo que sea multiplo de 15 y 18; el primer numero que cumple esto es elm.c.m.(15, 18) = 90, es decir al cabo de 90 minutos, es decir, suenan por primera vez juntos a lascinco y media de la tarde.

13. Dos amigos que se estan haciendo una ortodoncia coinciden en el dentista el 1 de octubre. Si uno acudea la consulta cada tres semanas y el otro cada 28 dıas, ¿cuando volveran a coincidir?

Solucion: Los dos coincidiran al cabo de un numero de dıas que sea divisible por 21 y 28, o lo que es lomismo, que sea multiplo de 15 y 18; el primer numero que cumple esto es el m.c.m.(21, 28) = 84, esdecir al cabo de 84 dıas, el 23 de diciembre.

14. Queremos rodear con pinos un jardın rectangular de 18m por 20m de forma que esten todos a la mismadistancia y haya un pino en cada esquina. ¿Cual es la maxima distancia a la que hay que plantarlos?¿Cuantos se necesitan?

Solucion: La distancia sera un numero que divida a la vez a 18 y 20, como piden la maxima distanciahabra que calcular el mayor de los numeros, el m.c.d.(18, 20) = 2, por lo que habra que sembrarlos cadados metros y habra que poner 18÷ 2 = 9 mas 20÷ 2 = 10 pinos, pero por dos ya que es rectangular.

15. En una tienda agrupan las monedas de euro en paquetes de 50, en otra de 40 y en otra de 100. Cierto dıacerraron las tiendas dejando en caja la misma cantidad de monedas empaquetadas. ¿Cual es la mınimacantidad posible de monedas que dejaron?

Solucion: El numero total de monedas empaquetadas en una tienda sera multiplo de 50, en otra de 40y en la otra de 100, como la cantidad dejada en las tiendas es la misma debera de ser un multiplo de50, 40 y 100, y el primer numero que verifica esto es el m.c.m.(50, 40, 100) = 200 monedas, es decir200 ÷ 50 = 4 paquetes en la primera, 200 ÷ 40 = 5 paquetes en la segunda y 200 ÷ 100 = 2 paquetesen la tercera.



16. El profesor de Educacion Fısica desea realizar unas pruebas de atletismo con los alumnos de una clase.Se da cuenta que si los coloca en parejas le sobra uno; si lo hace de tres en tres le sigue sobrando uno yde cuatro en cuatro lo mismo. Ası que decide hacer otra cosa. ¿Podrıas averiguar cuantos alumnos hayen la clase?

Solucion: Como siempre le sobra uno, le rogamos que salga momentaneamente de clase, entonces elnumero de alumnos ya si sera divisible por 2, por 3 y por cuatro; el primer numero que cumple esto es elm.c.m.(2, 3, 4) = 12 alumnos; y ahora le decimos al que sobraba que entre en clase por lo que habıa 13alumnos.


Tema 2

Numeros Enteros

2.1. Ejercicios-Problemas de Enteros

1. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:a) −7 < −8 b) 0 < 5 c) −2 < 0 d) −6 > −12 e) −51 < −3 f ) −3 > 1

Solucion: Recuerda, que un numero es mas pequeno que otro, si existe otro, positivo, que sumado alprimero nos da el segundo.

a) −7 < −8 es falso ya que la igualdad -7+x=-8 no se puede resolver para x positivo.

b) 0 < 5 es cierto ya que 0+5=5.

c) −2 < 0 es cierto ya que -2+2=0.

d) −12 < −6 es cierto ya que -12+6=-6.

e) −51 < −3 es cierto ya que -51+48=-3.

f ) 1 < −3 es falso ya que la igualdad 1+x=-3no se puede resolver para x positivo.

2. Realiza las siguientes sumas:a) −15 + 7− (−8) + (−9) b) 12 + (−10)− 5− (−21) c) −(−8) + 12 + (−5)− 3d) −(−6)− (6 + 3) e) 1− (−7 + 4) + (−2) f ) −12− (−8 + 4− 5) + (−1)

Solucion:

a) −15+7− (−8)+(−9) =−15 + 7 + 8− 9 = −9

b) 12+(−10)−5−(−21) =12− 10− 5 + 21 = 18

c) −(−8)+12+(−5)−3 =

8 + 12− 5− 3 = 12

d) −(−6)−(6+3) = 6−9 =−3

e) 1−(−7+4)+(−2) = 1−(−3)− 2 = 1+3− 2 = 2

f ) −12 − (−8 + 4 − 5) +(−1) = −12−(−9)−1 =−12 + 19− 1 = 6

3. Calcula los siguientes productos y sumas:a) −12 · (−4) b) 2 · (−3 + 1) c) −2 · 3 · (−5)d) −3 · (−5 + 2) e) −4 · (−3) · (−5) f ) −1 · (−2) · 3 · (−5)

Solucion:

a) −12 · (−4) = +48

b) 2 · (−3 + 1) = 2 · (−2) = −4c) −2 · 3 · (−5) = −6 · (−5) = 30

d) −3 · (−5 + 2) = −3 · (−3) = 9

e) −4 · (−3) · (−5) = 12 · (−5) = −60

f ) −1·(−2)·3·(−5) = 2·3·(−5) = 6·(−5) =−30

6

2.1. EJERCICIOS-PROBLEMAS DE ENTEROS Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

4. Calcula los siguientes cocientes:a) 15÷ (−3) b) −3÷ 3 c) (−10 + 2)÷ (−2)d) −12÷ 4 e) −(−15)÷ (−5) f ) −30÷ (−7 + 10)

Solucion:

a) 15÷ (−3) = −5b) −3÷ 3 = −1c) (−10 + 2)÷ (−2) = (−8)÷ (−2) = 4

d) −12÷ 4 = −3e) −(−15)÷ (−5) = 15÷ (−5) = −3f ) −30÷ (−7 + 10) = −30÷ 3 = −10

5. Realiza las siguientes operaciones:a) [−8 · 5(−9)]÷ 12 b) [−4 · (−2) · 7]÷ (−14) c) −(−2) · 5 · (−12)÷ (−4)d) (−18)÷ 3 · (−2) e) (−18)÷ [3 · (−2)]

a) [−8 · 5 · (−9)]÷ 12 = [−40 · (−9)]÷ 12 =360÷ 12 = 30

b) [−4 · (−2) · 7]÷ (−14) = [8 · 7]÷ (−14) =56÷ (−14) = −4

c) −(−2) · 5 · (−12)÷ (−4) = 2 · 5 · (−12)÷

(−4) = 10·(−12)÷(−4) = −120÷(−4) =30

d) (−18)÷ 3 · (−2) = −6 · (−2) = 3

e) (−18)÷ [3 · (−2)] = (−18)÷ [−6] = 3

6. Calcula:a) −15 · (−2) + 24÷ (−8) b) −15 · [(−2) + 24÷ (−8)] c) −15 · [(−2) + 24]÷ (−11)d) [−15 · (−2) + 24]÷ (−6) e) 2 + 3 · 4− 5 · (−2) f ) [2 + 3] · [4− 5 · (−2)]g) 2 + 3 · [4− 5] · (−2) h) [2 + 3] · [4− 5](−2)

Solucion:

a) −15 · (−2) + 24÷ (−8) = 30− 3 = 27

b) −15 · [(−2)+24÷(−8)] = −15 · [−2−3] =−15 · (−5) = 75

c) −15 · [(−2) + 24] ÷ (−11) = −15 · [22] ÷(−11) = −360÷ (−11) = 33

d) [−15 · (−2) + 24] ÷ (−6) = [30 + 24] ÷(−6) = 54÷ (−6) = −9

e) 2 + 3 · 4− 5 · (−2) = 2 + 12 + 10 = 24

f ) [2+3]·[4−5·(−2)] = 5·[4+10] = 5·[14] =70

g) 2 + 3 · [4− 5] · (−2) = 2 + 3[−1] · (−2) =2− 3 · (−2) = 2 + 6 = 8

h) [2 + 3] · [4 − 5](−2) = 5 · (−1) · (−2) =−5 · (−2) = 10

7. Efectua:a) 36÷ (−24 + 6)− 2 · (−8 + 5) b) [−18÷ (−9) + 2 · (−7)]÷ (−3) + (−9)÷ (−1)c) −2 + 3 · 5− 4 · 6÷ 12 · (7− 1) d) −7 · [8 + 5(−1)] + 24÷ (−13 + 7)e) −(−1)− [−2 · (−3)− 4 · (−2)]÷ (−2)

Solucion:

a) 36÷ (−24 + 6)− 2 · (−8 + 5) = 36÷ (−18)− 2 · (−3) = −2 + 6 = 4

b) [−18÷(−9)+2·(−7)]÷(−3)+(−9)÷(−1) = [2−14]÷(−3)+9 = (−12)÷(−3)+9 = 4+9 = 13

c) −2 + 3 · 5− 4 · 6÷ 12 · (7− 1) = −2 + 15− 24÷ 12 · 6 = 13− 2 · 6 = 13− 12 = 1

d) −7 · [8 + 5(−1)] + 24÷ (−13 + 7) = −7 · [8− 5] + 24÷ (−6) = −7 · 3− 4 = −14− 4 = −18e) −(−1)− [−2 · (−3)− 4 · (−2)]÷ (−2) = 1− [6 + 8]÷ (−2) = 1− 14÷ (−2) = 1 + 7 = 8



8. Saca factor comun:a) 2 · 5 + 2 · 3 · 5 b) 5 + 5 · 3 c) 4 + 8 · 5 d) 16 + 24e) 3a− 6b f ) −9a+ 6 g) 4a− 12ab h) −6a− 8aci) 8 + 8a j) 4 + 4a+ 4b k) 9 + 12a l) 2ab+ abc

Solucion:

a) 2 · 5 + 2 · 3 · 5 = 2 · 5 · (1 + 3)

b) 5 + 5 · 3 = 5 · (1 + 3)

c) 4 + 8 · 5 = 4 · (1 + 2 · 5)d) 16 + 24 = 8 · (2 + 3)

e) 3a− 6b = 3 · (a− 2b)

f ) −9a+ 6 = −3(3a− 2) = 3(−2a+ 2)

g) 4a− 12ab = 4a(1− 3b)

h) −6a− 8ac = −2a(3 + 4c) = 2a(−3− 4c)

i) 8 + 8a = 8(1 + a)

j) 4 + 4a+ 4b = 4(1 + a+ b)

k) 9 + 12a = 3(3 + 4a)

l) 2ab+ abc = ab(2 + c)

9. Calcula las siguientes potencias:a) (−2)6 b) (−3)5 c) (−2)9 d) [(−2)5]2 e) [(−3)2]4 f ) [(−2)3]3

Solucion:

a) (−2)6 = 26 = 64

b) (−3)5 = −35 = −729c) (−2)9 = −29 = −512

d) [(−2)5]2 = (−2)10 =210 = 1024

e) [(−3)2]4 = (−3)8 =

38 =

f ) [(−2)3]3 = (−2)9 =−29 = −512

10. Escribe le resultado en forma de una sola potencia:

a) 34 · 32 · 33b) (−2)3 · (−2)4 · (25)c) (−5)3 · 125d) (−5)3 ÷ 52

e) (−3)7 ÷ (−9)f ) (−2)3 · 322

g) −32 · (−3)2h) 256 ÷ (−5)7i) 44 ÷ 64j) [34 · 22]÷ (−9)k) [(−10)5 · 104]÷ (−5)2 · 57l) [(−36)3 · 62]÷ 162

m) −(−32)3 ÷ (−4)2n) 104 · (−10)3 ÷ 105

n) (−3)3 · (−32 ÷ 33)

Solucion:

a) 34 · 32 · 33 = 39

b) (−2)3 · (−2)4 · (25) = −212

c) (−5)3 · 125 = −53 · 53 = −5d) (−5)3 ÷ 52 = −55

e) (−3)7 ÷ (−9) = (−3)7 ÷ (−32) = 35

f ) (−2)3 · 322 = −23 · (25)3 = −23 · 215 =−218

g) −32 · (−3)2 = −34

h) 256 ÷ (−5)7 = (52)6 ÷ (−5)7 = 512 ÷(−5)7 = −55

i) 44 ÷ 64 = 44 ÷ 43 = 4

j) [34 ·22]÷(−9) = [34 ·22]÷(−32) = −32 ·22

k) [(−10)5 ·104]÷(−5)2 · 57 = [−(10)9]÷52 ·57 = [−(2 · 5)9]÷ 52 · 57 = [−29 · 59]÷ 52 ·57 = −29 · 57 · 57 = −29 · 514

l) [(−36)3 ·62]÷162 = [(−62)3 ·62]÷(24)2 =[−66 · 62]÷ 28 = [−66]÷ 28 = −(2 · 3)6 ÷28 = −26 · 36 ÷ 28 = −36 ÷ 22

m) −(−32)3÷ (−4)2 = (25)3÷ (22)2 = 215÷24 = 211

n) 104 · (−10)3 ÷ 105 = −107 ÷ 105 = −102

n) (−3)3 · (−32 ÷ 33) = −33 · (−3−1) = 32



11. Opera y simplifica:a) (−2)3 · (−2)5 ÷ (−2)6 b) 34 · (−3)3c) (12− 23 · 3)÷ (−2)2 + 3 d) −(−2)2 − 22

e) [(−1)2 − 22 − (−3)2]÷ [1 + 6÷ 2] f ) −24 + [3− 5 · (2− 7)]÷ (−2)2g) (−3)4 ÷ 32 + (−2)3 · (5− 2 · 32) h) −(−3)3 · (−1)3 − (−2)3 + 23

Solucion:

a) (−2)3 · (−2)5÷ (−2)6 = (−2)8÷ (−2)6 =(−2)2 = 4

b) 34 · (−3)3 = −37

c) (12−23·3)÷(−2)2+3 = (12−8·3)÷4+3 =(12−24)÷4+3 = (−12)÷4+4 = −3+4 =1

d) −(−2)2 − 22 = −4− 4 = −8e) [(−1)2 − 22 − (−3)2] ÷ [1 + 6 ÷ 2] =

[1− 4− 9]÷ [1 + 3] = [−12]÷ 4 = −3

f ) −24 + [3 − 5 · (2 − 7)] ÷ (−2)2 = −16 +[3− 5 · (−5)]÷ 4 = −16 + [3 + 25]÷ 4 =−16 + 28÷ 4 = −16 + 7 = −9

g) (−3)4÷32+(−2)3 · (5−2 ·32) = 81÷9+(−8) · (5 − 2 · 9) = 9 + (−8) · (5 − 18) =9 + (−8) · (−13) = 9 + 104 = 111

h) −(−3)3 · (−1)3 − (−2)3 + 23 = −(−27) ·(−1)− (−8) + 8 = −27 + 8 + 8 = −11

12. El 5 de Enero la temperatura en Leon era de 5 grados bajo cero y en Sevilla de 14o. ¿Que diferencia detemperatura habıa entre las dos ciudades?

Solucion: Las temperaturas serıan en numeros enteros los numero -4 y +14, la diferencia entre ellos serıala suma la diferencia entre la mayor y la menor, es decir, +14− (−5) = 14+ 5 = 19. La respuesta serıade 19o.

13. Un concurso otorga 60 e por cada respuesta acertada y descuenta 35 e por cada respuesta incorrecta.Un participante acerto 15 de 20 preguntas. ¿Que cantidad gano?

Solucion: Como acerto 15 preguntas gano 15 · 60 = 900 e y como las incorrectas son 5, entonces ledescuentan 5 · 35 = 175 e . La cantidad ganada serıa la diferencia: 900− 175 = 725 e .

14. Al activar un motor de un congelador, la temperatura desciende 2 grados cada 10 minutos. En el momentode enchufarlo, el congelador esta a 14oC.

a) ¿Cuanto tiempo tardara en estar a −18oC?

b) ¿A que temperatura estara si esta 3 horas activado?

Solucion: Primero calculamos la diferencia de grados de 14o a−18o, que serıan: 14−(−18) = 14+18 =32o. Como cada diez minutos baja la temperatura dos grados realizamos: 32÷ 2 · 10 = 160minutos, esdecir, 2 horas y 40 minutos.Los minutos que hay en 3 horas son 60 · 3 = 180, entonces como cada 10 minutos baja la temperatura 2grados, tenemos que: 180÷ 10 · 2 = 18 · 2 = 36o, es decir, bajara 36 grados, o sea, pasara de 14 gradosa 14− 36 = 22o C.

15. Si estoy en una novena planta de un edificio y mi coche esta aparcado en el sotano cuarto, ¿cuantasplantas debo bajar para cogerlo?

Solucion: La novena planta serıa el numero +9 y el sotano cuarto el −4, luego habra que recorrer9− (−4) = 13 plantas.

16. En mi cuenta bancaria habıa 1532 e el 31 de diciembre. Cada mes me ingresan 2100 e mensuales denomina y llegaron facturas de 130 e de luz, 96 e de telefono y la cuota mensual de Caritas de 24 e .¿Que saldo tendre el 30 de junio de ese mismo ano? (La luz y el telefono son bimensuales)



Solucion:Tenemos 2100 e mensuales de entradas, 24 e mensuales, 130 e y 96 e bimensuales de sali-das. Entonces el saldo final de la cuenta a 30 de junio sera: 1532 + 6 · 2100− 3 · (130 + 96)− 6 · 24 =1532 + 12600− 3 · 226− 144 = 14132− 678− 144 = 13310 e .

17. Una companıa petrolıfera compra una nueva perforadora con capacidad de perforar 18 metros diarios.¿A que profundidad, bajo el nivel del mar, estaba el petroleo si ha tardado 9 dıas en encontrarlo y estasituada en una planicie a 40m sobre el nivel del mar?

Solucion: A la cantidad perforada en los 9 dıas hay que quitarle los 40m que esta sobre el nivel del mar,9 · 18− 40 = 162− 40 = 122metros.

18. Para que un ordenador disponga de un equipo multimedia, se aconseja que tenga, al menos, 16 ((megas))de memoria RAM. Un ordenador tiene 4096 kb. ¿Cuantos bytes necesito anadirle?

Solucion: Recordando que un kilobyte son 210 = 1024 bytes, y que un megabyte es un kilobyte dekilobyte, es decir, 1 Megabyte = 210 kilobyte=1024 kb. Por lo que actualmente el ordenador tiene 4Megas, y como le hacen falta 16, le son precisos 12 Megas que pasados a bytes seran: 4Megas =4 · 210 kb = 4 · 210 · 210 bytes = 4 · 2204 · 1048576 bytes = 4194304 bytes.

19. Arquımedes fue un sabio griego que nacio el ano 287 a.C. y vivio 75 anos y Gauss un matematico alemanque nacio en 1777 vivio 78 anos.

a) ¿Cuantos anos transcurrieron desde el nacimiento de Arquımedes a la muerte de Gauss?

b) ¿Y de la muerte de Arquımedes al nacimiento de Gauss?

Solucion: Arquımedes nacio en el ano 287 a.C. que equivale al ano−287 y como vivio 75 anos, tenemosque murio en el ano: −287 + 75 = −212.Gauss nacio en el ano 1777 y vivio 78 anos por lo que murio en el ano 1777 + 78 = 1855.Los anos transcurridos desde el nacimiento de Arquımedes (-287) a la muerte de Gauss (1855) sera ladiferencia: 1855− (−287) = 2142 anos.De la muerte de Arquımedes (-212) al nacimiento de Gauss (1777) transcurrieron: 1777−(−212) = 1989anos.

20. Se calcula que el universo tiene 8 millones de anos y que las estrellas se apagaran cuando el universo sea10000 veces mas viejo que ahora. ¿Cuando ocurrira?

Solucion: Utilizando la notacion cientıfica pondremos que el Universo tiene 8 millones de anos = 8 · 106anos. Cuando sea 10000 veces mas viejo habra que multiplicar: 10000 · 8 · 106 = 105 · 8 · 106 = 8 · 1011anos.

21. Los astrofısicos calculan que el sol tardara 1010 anos en quemar todo su combustible convirtiendose enuna enana blanca. ¿Cuantos millones de anos tardara en ocurrir esto?

Solucion: Como un millon de anos son 106 anos, bastara con dividir: 1010 ÷ 106 = 104 anos. Es decir,dentro de 10000 millones de anos.

22. Se calcula que en el universo hay unos 10 millones de galaxias que contienen, por termino medio, diezmillones de estrellas cada una. ¿Cuantas estrellas se calcula que tiene el universo?

Solucion: Bastara con multiplicar 10 millones por 10 millones, es decir, 107 · 107 = 1014 estrellas, esdecir, 100 billones de estrellas. Ten en cuenta que 1012 es un billon.

23. Las siguientes sucesiones estan formadas siguiendo una cierta regla. Buscala.a) {−1, 1, 3, 5, 7, . . .} b) {−4, 12, −36, 108, . . .}

¿Sabras continuar las series?

¿Como se pasa de un termino al siguiente?. Escrıbelo de forma general.



Si {−1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . .},{−4, 12, −36, 108, −324, 972, −2916, . . .}.Para conseguirlas, a la primera basta con sumarle 2 en la primera y multiplicar por −3 en la segunda acada termino para conseguir el siguiente.

24. Un agricultor siembra cada ano sus tierras de trigo. Por cada kilo que siembra, recoge 20 kg. Si el primerano siembra un kilo y cada ano siembra todo lo que recoge el ano anterior, ¿cuanto recoge el primer ano?.¿Y el segundo?. ¿Y el tercero?. ¿Y al cabo de diez anos?. ¿Y al cabo de 20 anos?

Solucion: El primer ano recoge veinte kilos. El segundo ano recoge veinte veces veinte kilos, es decir,20·20 = 202 kilos. El tercer ano veinte veces 202 kilos, es decir, 20·202 = 203 kilos. Y ası sucesivamente,al cabo de diez anos 2010 kilos, al cabo de veinte anos 2020 kilos, ¡que finca tenemos, ası se quitarıa elhambre en el mundo!.


Tema 3

Numeros racionales

3.1. Ejercicios-Problemas de Fracciones

1. a) En una semana, ¿que fraccion representa de un dıa? ¿y seis dıas?

b) ¿Que unidad fraccionaria es 5 segundos respecto a 1 minuto?¿Y respecto de una hora?

c) ¿Cuantos meses es1

4de ano?¿Y las dos terceras partes de un ano?

d) En una bolsa hay 45 bolas. ¿Cuantas bolas son las3

5partes de las mismas?¿Y las

2

9partes?

e) ¿Que porcentaje de bolas son respectivamente cada una de dichas fracciones.?

Solucion:

a) Como una semana tiene siete dıas, la unidad (la semana) esta dividida en siete partes, por lo que un

dıa sera:1

7de semana. Y seis dıas seran:

6

7de semana.

b) Como un minuto tiene sesenta segundos, un segundo respecto a un minuto sera:1

60; cinco segundos

serıan:5

60=

1

12.

Un segundo respecto a una hora sera:1

3600; cinco segundos serıan:

5

3600=

1

720.

c) Un ano tiene 12 meses, luego1

4de 12 es igual a

1

4· 12 =

12

4= 3 meses.

Las dos terceras partes de un ano es2

3de 12 que es igual a

2

3· 12 =

24

3= 8 meses.

2. Una etapa de la vuelta ciclista a Espana es de 180 km. Despues de un cierto tiempo se han recorrido las2

3partes de la misma. ¿Cuantos kilometros quedan?

Solucion:En este caso, la unidad es 180 km, de los que hemos recorrido los

2

3, por lo que quedaran por recorrer

1− 2

3=

3− 2

3=

1

3del recorrido. Habra que calcular

1

3de 180 que es igual a

1

3· 180 =

180

3= 60 km

3. En una caja hay cierta cantidad de lapices. Las4

5partes de los mismos son 12 lapices. ¿Cuantos hay en

la caja?Solucion:La cantidad total de lapices la hemos dividido en 5 partes y, resulta que, 4 de ellas son 12 lapices, por lo

que una parte sera12

4= 3 lapices. La cantidad total sera 5 · 3 = 15 lapices.

12

3.1. EJERCICIOS-PROBLEMAS DE FRACCIONES Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

4. Se ha recorrido el 75% de un trayecto de 225 km. ¿Que fraccion del camino es la parte recorrida y laque queda por recorrer?¿Cual es la longitud de cada una?Solucion:Recuerda que el 75% de una cantidad equivale a calcular

75

100=

3

4de dicha cantidad, que sera la parte

recorrida.La parte que queda es 1− 3

4=

4− 3

4=

1

4del recorrido.

Las longitudes son3

4· 225 =

3 · 2254

= 168, 75 km y1

4· 225 =

225

4= 56, 25 km.

5. Reduce en cada caso a comun denominador:

a)2

3,4

5,1

3b)

1

4,2

7c)

3

2,1

5,2

9

d) 7,4

7,2

5e)

1

4,

3

18,5

3f ) −2

5,

5

21,13

8,

2

25

Solucion:Recuerda que hay que calcular primero el mınimo comun multiplo de los denominadores, que sera eldenominador comun y a partir de el se calculan los numeradores de manera que las fracciones nuevas senequivalentes a las primeras.

a)2

3,4

5,1

3=⇒ 10

15,12

15,

5

15b)

1

4,2

7=⇒ 7

28,

8

28

c)3

2,1

5,2

9=⇒ 135

90,18

90,20

90d) 7,

4

7,2

5=⇒ 245

35,20

35,14

35

e)1

4,

3

18,5

3=⇒ 9

36,

6

36,60

36f ) −2

5,5

21,13

8,2

25⇒ −1680

4200,1000

4200,6825

4200,336

4200

6. Completa las siguientes igualdades:

a)2

3=

12=

10b)

16

12=

4=

36=

24

Solucion:Recuerda que para obtener fracciones equivalentes a una dada basta con multiplicar o dividir ambosmiembros por un mismo numero no nulo.

a)2

3=

12=

10=⇒ 2

3=

2 · 412

=10

3 · 5=⇒ 2

3=

8

12=

10

15

b)16

12=

4=

36=

24=⇒ 16

12=

4

12÷ 4=

16 · 336

=24

3 · 6=⇒ 16

12=

4

3=

48

36=

24

18

7. Efectua las operaciones indicadas:

a)3

2+

1

4+

2

3

b) 1 +2

3+

1

5

c)4

3− 5 +

1

2

d)2

3− 1

2+

11

12

e)4

5+

1

2− 2

f )2

5− 1

3+

1

4− 1

2

Solucion:

a)3

2+1

4+2

3=

18

12+

3

12+

8

12=18 + 3 + 8

12=

29

12

b) 1 +2

3+

1

5=

15

15+

10

15+

3

15=

28

15

c)4

3− 5 +

1

2=

8

6− 30

6+

3

6=−196

d)2

3− 1

2+

11

12=

8

12− 6

12+

11

12=

13

12

e)4

5+

1

2− 2 =

8

10+

5

10− 20

10=−710

f )2

5− 1

3+1

4− 1

2=

24

60− 20

60+15

60− 30

60=−1160



8. Calcula:

a)2

3· 45÷ 1

2b) 2÷ 1

2·(2

3+

1

4

)c)

1

5÷(1− 1

2

)+ 3 d)

7

4− 1

3÷(2

3+

1

5

)Solucion:

a)2

3· 45÷ 1

2=

8

15÷ 1

2=

16

15

b) 2÷ 1

2·(2

3+

1

4

)= 2÷ 1

2·(

8

12+

3

12

)=

2÷ 1

2· 1112

= 4 · 1112

=44

12=

11

3

c)1

5÷(1− 1

2

)+ 3 =

1

5÷(2

2− 1

2

)+ 3 =

1

5÷ 1

2+ 3 =

2

5+ 3 =

2

5+

15

5=

17

5

d)7

4−1

3÷(2

3+

1

5

)=

7

4−1

3÷(10

15+

3

15

)=

7

4− 1

3÷ 13

15=

7

4− 15

39=

273

156− 60

156=

213

156=

71

52

9. Efectua las siguientes operaciones:

a) 1 +1

1 +1

2

b)1 +

1

5

3 +2

3

÷ 2

1 +1

4

c)

(1 +

1

3

)÷(1

2+

1

5

)2

d) 2−[1−

(1

3+

2

5

)]÷ 3

Solucion:

a) 1 +1

1 +1

2

= 1 +1

2

2+

1

2

= 1 +13

2

=

1 + 1÷ 3

2= 1 +

2

3=

3

3+

2

3=

5

3

b)1 +

1

5

3 +2

3

÷ 2

1 +1

4

=

5

5+

1

59

3+

2

3

÷ 24

4+

1

4

=

6

511

3

÷ 25

4

=6

5÷ 11

3÷(2÷ 5

4

)=

18

55÷ 8

5=

90

440=

9

44

c)

(1 +

1

3

)÷(1

2+

1

5

)2

=

(3

3+

1

3

)÷(

5

10+

2

10

)2

=

4

3÷ 7

102

=

40

212

=40

21÷ 2 =

40

42=

20

21

d) 2 −[1−

(1

3+

2

5

)]÷ 3 = 2 −[

1−(

5

15+

6

15

)]÷ 3 = 2−

[1− 11

15

]÷

3 = 2 −[15

15− 11

15

]÷ 3 = 2 − 4

15÷ 3 =

2− 4

45=

90

45− 4

45=

86

45

10. Calcula la fraccion generatriz de cada uno de los siguientes numeros decimales:

a) 1, 23

b) 0, 1

c) 3, 10

d) 4, 3

e) 2, 21

f ) 0, 25

g) 2, 125

h) 0, 071

i) 2, 325

j) 2, 346

Solucion: Recuerda, que se pone el numero igualado a una incognita F , se multiplica por la unidadseguida de tantos ceros como cifras tenga el perıodo y a continuacion se restan las dos igualdades, des-apareciendo el perıodo y al final se despeja la incognita.

a) 1, 23⇒ F = 1, 233333 . . . ; 10F = 12, 333333 . . .⇒ 9F = 11, 1⇒ 90F = 111⇒ F =111

90



b) 0, 1⇒ F = 0, 11111 . . . ; 10F = 1, 11111 . . .⇒ 9F = 1⇒ F =1

9

c) 3, 10⇒ F = 3, 101010 . . . ; 100F = 310, 101010 . . .⇒ 99F = 307⇒ F =307

99

d) 4, 3⇒ F = 4, 333333 . . . ; 10F = 43, 333333 . . .⇒ 9F = 39F =39

9

e) 2, 21⇒ F = 2, 211111 . . . ; 10F = 22, 111111 . . .⇒ 9F = 19, 9⇒ 90F = 199⇒ F =199

90

f ) 0, 25 =⇒ F = 0, 25 =⇒ 100F = 25 =⇒ F =25

100=

1

4

g) 2, 125⇒ F = 2, 1255555 . . . ; 10F = 21, 2555555 . . .⇒ 9F = 19, 13⇒ 900F = 1913⇒ F =1913

900

h) 0, 071 ⇒ F = 0, 0717171 . . . ; 100F = 7, 1717171 . . . ⇒ 99F = 7, 1 ⇒ 990F = 71 ⇒ F =71

990

i) 2, 325⇒ F = 2, 325325 . . . ; 1000F = 2325, 325325 . . .⇒ 999F = 2323⇒ F =2323

999

j) 2, 346 ⇒ F = 2, 3464646 . . . ; 100F = 234, 64646 . . . ⇒ 99F = 232, 3 ⇒ 990F = 2323 ⇒F =

2323

990

11. Efectua las siguientes operaciones con numeros decimales:

a) 2, 3 · 1, 2

b)1

4· 2, 1

c)1, 3 + 2, 01

3, 2

d) 0, 2 · 1, 31

e) 0, 15÷ 3, 2 · 3, 2

f ) 2, 5− 1, 25

Solucion:

a) Calculamos primero 1, 2 ⇒ F = 1, 22222 . . . ; 10F = 12, 22222 . . . ⇒ 9F = 11 ⇒ F =11

9,

entonces sustituyendo en 2, 3 · 1, 2 =23

10· 119

=253

99.

b) Calculamos primero 2, 1 ⇒ F = 2, 11111 . . . ; 10F = 21, 11111 . . . ⇒ 9F = 19 ⇒ F =19

9,

entonces sustituyendo en1

4· 2, 1 =

1

4· 199

=19

36.

c) 1, 3 ⇒ F = 1, 33333 . . . ; 10F = 13, 33333 . . . ⇒ 9F = 12 ⇒ F =12

9=

4

3, 2, 01 ⇒ F =

2, 01111 . . . ; 10F = 20, 11111 . . .⇒ 9F = 18, 1⇒ F =181

90y 3, 2⇒ F = 3, 22222 . . . ; 10F =

32, 22222 . . . ⇒ 9F = 29 ⇒ F =29

9, entonces sustituyendo en

1, 3 + 2, 01

3, 2=

4

3+

181

9029

9

=

120 + 181

9029

9

=301

90÷ 29

9=

301

90· 929

=301

290

d) 1, 31 ⇒ F = 1, 311111 . . . ; 10F = 13, 11111 . . . ⇒ 9F = 11, 8 ⇒ F =118

90=

59

45, entonces

sustituyendo: 0, 2 · 1, 31 =1

5· 5945

=59

225



e) Como esta calculada en el apartado 11c, sustituimos en: 0, 15 ÷ 3, 2 · 3, 2 =15

100÷ 32

10· 299

=

15

100· 1032· 299

=3

64· 299

=29

192

f ) 2, 5 ⇒ F = 2, 55555 · · · ⇒ 10F = 25, 55555 . . . ⇒ 9F = 23 ⇒ F =23

9, tambien 1, 25 ⇒

F = 1, 252525 . . . ⇒ 100F = 125, 252525 . . . ⇒ 99F = 124 ⇒ F =124

99sustituyendo en

2, 5− 1, 25 =23

9− 124

99=

253− 124

99=

129

99=

43

33

12. Efectua las operaciones indicadas:

a) (0, 7)3 ÷ (0, 42)2

b)

[(1

2

)2

÷(2

3

)]3c) 1÷ (2−3)2

d)

[(1

3

)3

− 1

3

]2÷ 16

9

e)(−1

3

)−2

÷ 2

3·(3

5

)−1

f )

[(−1

2

)2

÷(−2

3

)−1]2

Solucion:

a) (0, 7)3÷(0, 42)2 =(

7

10

)3

÷(

42

100

)2

=

(7

10

)3

·(50

21

)2

=

(7

2 · 5

)3

·(2 · 52

3 · 7

)2

=73 · 22 · 54

23 · 53 · 32 · 72=

7 · 52 · 32

=35

18

b)

[(1

2

)2

÷(2

3

)]3=

[1

22· 32

]3=

[3

23

]3=

33

29=

27

512

c) 1÷ (2−3)2 = 1÷ 2−6 = 1÷ 1

26= 1 · 26 = 64

d)

[(1

3

)3

− 1

3

]2÷ 16

9=

[1

33− 1

3

]2· 916

=

[1

33− 32

33

]2· 916

=

[−833

]2· 916

=82 · 32

36 · 2 · 8=

8

34 · 2=

4

34=

4

81

e)(−1

3

)−2

÷ 2

3·(3

5

)−1

=

(−3

1

)2

· 32· 53=

32 · 3 · 52 · 3

=45

2

f )

[(−1

2

)2

÷(−2

3

)−1]2

=

[1

22÷(−3

2

)]2=

[1

22·(−2

3

)]2=

[− 2

22 · 3

]2=

[− 1

2 · 3

]2=

1

22 · 32=

1

36

13. Nos han pagado el 80% de una cantidad que nos debıan y nos han pagado 22, 5 e . ¿Cual era dichacantidad?

Solucion: El enunciado nos viene a decir que si imaginariamente dividimos la cantidad debida en 100

partes, entonces 80 equivalen a 22, 5e ; por los que una parte sera22, 5

80= 0, 28125, de donde la cantidad

debida sera 100 · 0, 28125 = 28, 125 e .

14. Por dos billetes de adulto y un de nino (cuyo importe es la tercera parte que el de uno de adulto) pagamos7 e . ¿Cuanto cuesta cada billete?

Solucion: La cantidad de billetes de adultos comprados sera 2 +1

3=

7

3billetes, que equivalen a 7 e ,

por lo que1

3de billete equivale a

7

7= 1 e , por lo que el billete

3

3equivale a 3 · 1 = 3 e



15. Al pagar una factura nos detallan:

Importe: 750 e

IVA: 12% del importe.

Recargo:2

5del importe.

¿A cuanto asciende el importe?

Solucion: A la cantidad inicial le anadimos el 12% y a la resultante le aumentamos sus2

5.

750 +12

100750 =

(1 +

12

100

)· 750 = (1 + 0, 12)750 = 1, 12 · 750 = 840 e .

840 +2

5840 =

(1 +

2

5

)840 = 1, 4 · 840 = 1176 e

16. Un grifo llena un estanque en 20 h y otro en 12 h. Se abre el primer grifo y echa agua durante una hora.A continuacion se abren los dos a la vez durante tres horas y se cierran. ¿Que fraccion de estanque quedapor llenar?

Solucion: Este tipo de problemas se resuelve por el metodo de reduccion a la unidad, es decir, calculamosla parte de estanque que llena cada deposito en una hora:1

20de deposito llena el primero y

1

12el segundo. Los dos juntos abiertos durante una hora llenaran:

1

20+

1

12=

3

60+

5

60=

8

60=

2

15, en tres horas llenaran 3 · 2

15=

6

15=

2

5de deposito. Pero se

nos olvida que el primero estuvo abierto una hora, por lo que lo llenado sera:2

5+

1

20=

9

20por llenar

1− 9

20=

11

20.

17. Un trayecto de 215 km los recorre un coche en 2 h y otro en3

2h. En una hora, ¿que ventaja saca el

segundo al primer coche?

Solucion: Calculamos lo que recorre cada coche en una hora (otra vez la reduccion a la unidad):215 km

2 h=

215

2km/h y el otro

215 km3

2h

= 215÷ 3

2km/h = 215 · 2

3km/h =

430

3km/h. Calculando la diferencia:

430

3− 215

2=

860− 645

6=

215

6que son los kilometros que una hora recorre el segundo mas que el

primero.

18. Una persona gasta las5

12partes de su sueldo en comida; la tercera parte en vivienda y la quinta parte en

varios. ¿Que proporcion de sueldo le queda por ahorrar?

Solucion: Sumamos las cantidades:5

12+

1

3+

1

5=

25 + 20 + 12

60=

57

60, por lo que le queda 1− 57

60=

3

60=

1

20de sueldo.

19. Un operario hace un trabajo en 5 dıas y otro en 7 dıas. ¿Que parte de trabajo hacen juntos en dos dıas?¿Cuanto quedarıa por hacer?

Solucion: Calculamos que parte del trabajo realizan en un dıa:1

5y1

7, de donde los dos juntos en un dıa

realizaran:1

5+

1

7=

12

35, en dos dıas realizaran: 2 · 12

35=

24

35. Quedarıa por hacer: 1− 24

35=

11

35



20. Un operario realiza las2

5partes de un trabajo, un segundo las

3

4partes del resto y el tercero termina el

trabajo. Calcula la proporcion de trabajo que ha realizado cada uno.

Solucion: El primero realiza las2

5partes, quedando 1 − 2

5=

3

5partes de las que el segundo realiza los

3

4, por los que realiza:

3

4· 35=

9

20, quedando para el tercero: 1− 2

5− 9

20=

20− 8− 9

20=

3

20partes.

21. En un deposito hay 90 l de vino. Llenamos 50 botellas de3

4de litro y 45 botellas de medio litro. ¿Cuantas

botellas de medio litro necesitaremos para llenar el resto de vino que queda en en deposito?

Solucion: Calculamos el gasto de vino: primero son 50 botellas de3

4, de donde salen 50 · 3

4=

150

4

litros, en segundo lugar gastamos 45 de medio litro, de donde salen 45 · 12=

45

2; quedando un total de

90 − 150

4− 45

2=

360− 150− 90

4= 30 litros, que echado en botellas de medio litro salen: 30 ÷ 1

2=

30 · 2 = 60 botellas.

22. Con 50 kg de harina hacemos 60 kg de pan.

a) ¿Cuanta harina es necesaria para hacer un pan de 2 kg?

b) ¿Y un pan de 6 kg?

c) ¿Y una barra de pan de 250 gr?

d) ¿Cuantos kilogramos de pan se pueden hacer con 30 kg de harina?

Solucion: Calculamos primero los kilos de pan que salen con un kilo de harina y, al reves, la harina

precisa para sacar un kilo de pan: basta con realizar simples divisiones:60 kg pan

50 kg harina=

6

5kg pan

1 kg harina

por lo que de cada kilo de harina salen6

5kg de pan y como

50 kg harina

60 kg pan=

5

6kg harina

1 kg pande donde

para hacer un kilo de pan se precisan5

6kg de harina.

Respondiendo a las cuestiones tenemos que para hacer un pan de 2 kg se precisan: 2 · 56=

10

6=

5

3kilos

de harina; para hacer un pan de 6 kg se precisan: 6 · 56

= 5 kilos de harina; para una barra de pan de

250 gr se precisan:250

1000· 56=

1

4· 56=

5

24kilos de harina.

Con 30 kg de harina sacaremos: 30 · 65= 36 kg de pan.

23. El cafe pierde1

5de su peso al tostarlo. Se compra en origen a 7 e el kilogramo. ¿A como debemos

venderlo para ganar el 20% del precio de compra?

Solucion: Calculo a cuanto hay que vender los 1 − 1

5=

4

5kg de cafe tostado para ganar un 20%:

1, 2 · 7 = 8, 4 e . De donde reduciendo a la unidad obtenemos que1

5de kilo debera venderlo por

8, 4

4= 2, 1 e , de donde el kilo lo debera vender por 5 · 2, 1 = 10, 5 eur.

24. Una herencia de 600000 e se reparte entre tres hermanos proporcionalmente a sus edades. La edad delos dos menores es de 2 y 5 anos y se sabe que el mas pequeno hereda 80000 e . ¿Cual es la edad delhermano mayor y cuanto recibe cada uno?



Solucion: Como el mas pequeno tiene 2 anos, tenemos que por cada ano los hermanos han heredado:80000

2= 40000 e , por lo que el de cinco anos ha heredado 5 · 40000 = 200000 e y el otro hermano ha

heredado el resto: 600000− 80000− 200000 = 320000 e , de donde se deduce que tiene320000

40000= 8

anos.

25. Una botella esta llena de vino. Se saca la cuarta parte y se llena de agua. A continuacion se saca la terceraparte y se vuelve a llenar de agua. ¿Que tanto por ciento de vino queda en la botella?

Solucion: Sacamos1

4de vino y lo echamos agua por lo que hay

3

4de vino y

1

4de agua; a continuacion

sacamos la tercera parte de la composicion por lo que sacare1

3· 34=

1

4de vino y

1

3· 14=

1

12de agua,

por lo que el vino que queda en la botella sera:3

4− 1

4=

2

4=

1

2, es decir el 50%.

26. Una pelota se deja caer desde una determinada altura y rebota a las3

4partes de la altura desde la que cae.

Al cuarto rebote queda a la altura de 1 m del suelo. ¿Desde que altura cayo la pelota?

Solucion: Hay que darse cuenta que para pasar de una altura a la siguiente bastara con multiplicar por3

4, por lo que para deshacer el proceso habra que dividir por

3

4o lo que es lo mismo multiplicar por

4

3.

Como hay que deshacer el proceso cuatro veces habra que multiplicar cuatro veces por4

3, o lo que es lo

mismo por(4

3

)4

=256

81y por 1m, por lo que la altura inicial sera

256

81m.

27. Escribe en notacion cientıfica los numeros:

a) 2341, 16

b) 0, 0000013

c) 324 · 105 · 10−6

d) 0, 0000000017 · 15

e)3 · 10−5 · 10−7

2 · 106f ) 42000000000

Solucion:

a) 2341, 16 = 2, 34116 · 103

b) 0, 0000013 = 1, 3 · 10−6

c) 324·105·10−6 = 3, 24·102·10−1 = 3, 24·10d) 0, 0000000017 · 15 = 1, 7 · 10−9 · 1, 5 · 10 =

2, 55 · 10−8

e)3 · 10−5 · 10−7

2 · 106= 1, 5 · 10−18

f ) 42000000000 = 4, 2 · 1010

28. En 1910 el cometa Halley tuvo su maxima aproximacion a la Tierra que fue de 0, 15 UA. ¿A cuantoskilometros estuvo de la Tierra? ¿A cuantos metros?. (UA = Unidad astronomica = Distancia media entrela Tierra y el Sol, equivale a 8, 32 minutos-luz)

Solucion: Sabemos que la velocidad de la luz es de 300000 km/s = 3 · 105 km/s y que un minutotiene 60 segundos por lo que una U.A. sera: 8, 32 · 60 · 3 · 105 = 1497, 6 · 105 = 1, 4876 · 103 · 105 =1, 4876 · 108 km, por lo que la maxima aproximacion del cometa fue: 0, 15 · 1, 4876 · 108 = 1, 5 · 10−1 ·1, 4876 · 108 = 2, 2464 · 107 km. La distancia en metros sera 2, 2464 · 1010 m

29. La estrella mas cercana al Sol es la Alfa-Centauro, que esta a 4, 3 anos-luz. Calcula dicha distancia enkilometros.

Solucion: Sabiendo que un ano tiene 365 dıas, que un dıa tiene 24 horas, que una hora tiene 60 minutos,que un minuto tiene 60 segundos y que un minuto tiene 60 segundos, la cantidad pedida sera el resultadode: 4, 3 · 365 · 24 · 60 · 60 · 3 · 105 km = 3, 7668 · 104 · 3, 6 · 103 · 3 · 105 = 4, 068144 · 10 · 1012 =4, 068144 · 1013 km


Tema 4

Numeros Reales

4.1. Ejercicios-Problemas de Reales

1. Halla√6 en la calculadora y escribe la aproximacion que consideres oportuna al tomar 3 cifras decimales.

Haz lo mismo pero con 4 cifras decimales.

Solucion: Con la calculadora√6 = 2, 4494897 . . ., por lo que tomando tres cifras decimales la aproxi-

macion a las milesimas sera 2, 449. Si la aproximamos a las cuatro cifras, las diezmilesimas sera: 2, 4495.

2. Escribe 5 numeros que pertenezcan a cada uno de los siguientes intervalos:a) [3, 25; 3, 5] b) (−2, 0] c) [−1, 1]

Solucion:

a) Del intervalo [3, 25; 3, 5] cinco numero pueden ser: 3, 26; 3, 265; 3, 2709; 3, 28; 3, 4.

b) Del intervalo (−2, 0] cinco numeros pueden ser: −1, 99; −1, 2; −0, 24; −0, 13; −0, 005.

c) Del intervalo [−1, 1] cinco numeros pueden ser: −0, 99; −0, 3; 0; 0, 25, 0, 98

3. Halla sin calculadora:

a) 3√−125 b) 4

√256 c)

√1

81d) 3

√1

27

Solucion:

a) 3√−125 = (−53)

13 =

−533 = −5

b) 4√256 = (28)

14 = 2

42 =

22 = 4

c)

√1

81=

(1

34

) 12

=

1

342

=1

32=

1

9

d) 3

√1

27=

(1

33

) 13

=

1

333

=1

3

4. Expresa en forma de potencia:

a) 4√2 b) 3

√52 c) 5

√−33

Solucion:

a) 4√2 = 4

12 b) 3

√52 = 5

23 c) 5

√−33 = −3

35

5. Expresa en forma radical:

a) 314 b) 4

23 c) (−6)

35

Solucion:

20

4.1. EJERCICIOS-PROBLEMAS DE REALES Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

a) 314 = 4√3 b) 4

23 =

3√42 c) (−6)

35 = 5

√(−6)3

6. Reduce a comun ındice y opera simplificando los resultados:

a)√2 3

√1

2b)

4√2√2

c) (√3)2 3

√1

3d)√5

3√52

e) 3√3 6

√1

9

Solucion: Recuerda que el ındice comun es el mınimo comun multiplo de los ındices.

a)√2 3

√1

2=

6√23 6

√(1

2

)2 =

6

√23

22= 6√2

b)4√2√2=

4√2

4√22

= 4

√2

22= 4

√1

2

c) (√3)2 3

√1

3= ( 6√3)6 6

√(1

3

)2

=6

√36

32=

6√34 =

3√32

d)√5

3√52

=6√53

6√54

=6

√53

54= 6

√1

5

e) 3√3 6

√1

9=

6√32 6

√1

9=

6

√32

3= 6√3

7. Escribe bajo un unico radical y de la manera mas sencilla posible las siguientes expresiones:a) ( 5√8)3 b) (

√7)4 c)

√√11 d) 4

√3√25

Solucion:

a) ( 5√8)3 = [(23)

15 ]3 = 2

95 = 2

5√24 = 2 5

√16

b) (√7)4 = (7

12 )4 = 7

42 = 72

c)√√

11 = (1112 )

12 = 11

14 = 4√11

d) 4√

3√25

8. Efectua las siguientes operaciones:

a) 3√2− 2

√2−√2 b) 2

√3 +

1

2

√3 +√3

Solucion: Ten en cuenta que unicamente se pueden sumar y restar los radicales semejantes.

a) 3√2− 2

√2−√2 = (3− 2− 1)

√2 =

0√2 = 0

b) 2√3 +

1

2

√3 +√3 =

(2 +

1

2+ 1

)√3 =(

4 + 1 + 2

2

)√3 =

7

2

√3

9. ¿Son semejantes las siguientes expresiones?

a)√5 y√20 b)

√3 y√81 c)

√1

2y

√25

2d) 15 y

√225

Solucion:

a)√5 y√20; Si, ya que

√20 =

√22 · 5 = 2

√5

b)√3 y√81; No, ya que

√81 =

√34 = 32 = 9

c)

√1

2y

√25

2; Si, ya que

√25

2=

√52

2= 5

√1

2

d) 15 y√225; No, ya que

√225 =

√32 · 52 = 3 · 5 = 15

10. Extrae factores fuera del radical y suma:

a) 3√2−√8 +√2 b)

√12 +

√75−

√3 c)

√72 +

√3−√2 +√27

d)

√1

3−√

4

3+

√1

27e)√32−

√2



Solucion:

a) 3√2−√8 +√2 = 3

√2−√23 +

√2 = 3

√2− 2

√2 +√2 = (3− 2 + 1)

√2 = 2

√2

b)√12 +

√75−

√3 =√22 · 3 +

√3 · 52 −

√3 = 2

√3 + 5

√3−√3 = (2 + 5− 1)

√3 = 6

√3

c)√72+

√3−√2+√27 =

√23 · 32+

√3−√2+√33 = 2 ·3

√2+√3−√2+3

√3 = 5

√2+4

√3

d)

√1

3−√

4

3+

√1

27=

√1

3−√

22

3+

√1

33=

√1

3− 2

√1

3+

1

3

√1

3=

(1− 2 +

1

3

)√1

3=(

3− 6 + 1

3

)√1

3=−23

√13

e)√32−

√2 =√25 −

√2 = 22

√2−√2 = 3

√2

11. Racionaliza las expresiones:

a)3

3√2

b)13√5

c)35√9

d)2√

3−√2

e)1√5− 1

f )2√

5− 2√3

g)2

35√53

h)√2

1− 2√2

i)1 +√5

3−√5

j)√2 +√3

1 + 2√3

Solucion: Recuerda que racionalizar una fraccion consiste realizar las operaciones oportunas para quelas raıces desaparezcan del denominador.

a)3

3√2=

2√2

3√2√2=

2√2

3 · 2=

√2

3

b)13√5=

3√52

3√5 · 3√52

=3√25

3√53

=3√25

5

c)35√9

=3

5√33

=3

5√33

5√32

5√33

=3

5√33

5√35

=

3 5√27

3

d)2√

3−√2

=2(√3 +√2)

(√3−√2)(√3 +√2)

=

2(√3 +√2)

3− 2=

2(√3 +√2)

1=

2(√3 +√2)

e)1√5− 1

=(√5 + 1)

(√5− 1)(

√5 + 1)

=

(√5 + 1)

5− 1=

√5 + 1

4

f )2√

5− 2√3=

2(√5 + 2

√3)

(√5− 2

√3)(√5 + 2

√3)

=

2(√5 + 2

√3)

5− 4 · 3=

2(√5 + 2

√3)

−7

g)2

35√53

=2

5√52

35√53

5√52

=2

5√52

35√55

=2

5√52

3 · 5=

25√52

15

h)√2

1− 2√2

=

√2(1 + 2

√2)

(1− 2√2)(1 + 2

√2)

=√2(1 + 2

√2)

1− 4 · 2=

√2(1 + 2

√2)

−7

i)1 +√5

3−√5

=(1 +

√5)(3 +

√5)

(3−√5)(3 +

√5)

=

(1 +√5)(3 +

√5)

9− 5=

(1 +√5)(3 +

√5)

4

j)√2 +√3

1 + 2√3

=(√2 +√3)(1− 2

√3)

(1 + 2√3)(1− 2

√3)

=

(√2 +√3)(1− 2

√3)

1− 4 · 3=

(√2 +√3)(1− 2

√3)

−11

12. Calcula el capital acumulado en una cuenta bancaria despues de 10 anos, si el capital que ingresamos alabrir la cuenta fue de 4500 e y el interes anual del 2%.

Solucion: Basta con aplicar la formula de capitalizacion compuesta: CF = CI(1 + r)t, donde CF es elcapital final, CI es el capital inicial, r es el interes anual en tanto por uno y t es el tiempo expresado enanos. Sustituyendo tenemos:CF = 4500(1 + 0, 02)10 = 4500 · 1, 0210 =



13. Queremos comprar un dormitorio juvenil que cuesta 1000e y aplazar el pago en 12 meses. Si nos carganun interes mensual, ¿que capital tendremos que pagar cada mes?

Solucion: Tenemos que aplicar la formula de la capitalizacion compuesta aplicada a meses: CF =

CI

(1 +

r

12

)m, donde m son los meses.

14. Nos han concedido un prestamo a pagar en 5 anos con un interes del 5%. Al final de cada ano pagamosuna anualidad de 1385, 85 e . ¿Cual fue el prestamo concedido?

Solucion: Sustituyendo el la formula: 5 · 1385, 85 = CI(1 + 0, 05)5


Tema 5

Algebra

5.1. Ejercicios-Problemas de Algebra

1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a) La edad de mi padre es tres veces la mıa.

b) La edad de mi abuela es el doble del triple de la mıa.

c) El cociente entre las edades de mi madre y la mıa es tres.

d) Mi padre gana la mitad de la mitad de lo que gana mi tıa.

e) La edad de mi hermano es un numero par.

f ) Mi edad es un numero impar.

Soluciones:

a) Tomamos x como la edad del padre e y mi edad, de donde literalmente tenemos que x = 3y.

b) Tomamos x como la edad de mi abuela e y mi edad, de donde x = 2(3y) = 6y.

c) Tomamos x como la edad de mi madre e y mi edad, de dondex

y= 3.

d) Tomamos x como lo que gana mi padre e y como lo que gana mi tıa, de donde: x =1

2

(1

2y

).

e) Tomaos x como la edad de mi hermano, de donde x = 2y, siendo y cualquier numero entero.

f ) Tomamos x como mi edad, de donde x = 2y + 1, siendo y cualquier numero entero.

2. Llama x e y a dos numeros y expresa algebraicamente:

a) La suma de x y la mitad de y.

b) Un quinto de x menos el triple de y.

c) El cuadrado de su suma.

d) La suma de sus cuadrados.

e) El doble de su diferencia.

f ) La diferencia de sus cuadrados.

Soluciones:

a) x+y

2

b)1

5x− 3y

c) (x+ y)2

d) x2 + y2

e) 2(x− y)

f ) x2 − y2

3. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases sabiendo que un kilo de arroz vale x e y que un kilode patatas vale 23 centimos de euro mas barato.

24

5.1. EJERCICIOS-PROBLEMAS DE ALGEBRA Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

a) El coste de cinco kilos de arroz y de siete kilos de patatas.

b) El coste de medio kilo de arroz y de tres cuartos de kilo de patatas.

c) El coste de 100 kilos de arroz y la misma cantidad de patatas si nos la venden a mitad de precio.

Soluciones: un kilo de patatas valdra x− 0, 23, por lo que:

a) 5x+ 7(x− 0, 23) = 5x+ 7x− 1, 61 = 12x− 1, 61

b)x

2+

3

4(x− 0, 23) =

x

2+

3

4x− 0, 1725 =

5

4x− 0, 1725

c) 100x+ 100

(1

2(x− 0, 23)

)= 100x+ 50x− 11, 5 = 150x− 11, 5

4. Establece las variables que consideres oportunas y traduce al lenguaje algebraico las expresiones:

a) Tenemos lo mismo.b) Lo tuyo es el doble de lo mıo.c) Lo mıo es el doble de lo tuyo.d) Lo mıo es la tercera parte de lo tuyo.e) La diferencia entre lo tuyo y lo mıo es 5, pe-

ro tu tienes mas.f ) La diferencia entre lo tuyo y lo mıo es 5, pe-

ro yo tengo mas.

g) Si tengo 6 mas, tendre el doble que tu.

h) Lo que tengo es 50 veces lo tuyo.

i) Si tuviera tres mas, entonces tendrıa el dobleque tu.

j) Si te doy 8, entonces tendremos igual.

k) Si te doy 8, entonces tu tendras el doble queyo.

Solucion: Proponemos las variables m como el dinero que es mıo y t como el dinero que tu tienes.

a) m = t

b) 2m = t

c) m = 2t

d) m =t

3

e) t > m; t−m = 5

f ) m > t; m− t = 5

g) m+ 6 = 2t

h) m = 50t

i) m+ 3 = 2t

j) m− 8 = t+ 8

k) 2(m− 8) = t+ 8

5. Una mesa rectangular dispone de dos alas rectangulares supletorias de 25 cm de ancho, que la conviertenen una mesa cuadrada. Indica la expresion de la superficie de la mesa en los siguientes casos:

a) Antes de desplegar las alas.b) Cuando se pliega un ala.c) Cuando se pliegan las dos alas.

d) ¿En cuanto aumenta la superficie de la mesaal incorporar las alas si estas tienen un metrode largo?

Solucion: Suponemos que las dimensiones de la mesa en centımetros, sin las alas supletorias, son x ey, y que las alas supletorias estan en el lado y. Como al desplegar las dos alas de 25 cm se obtiene uncuadrado tendremos que y = x+ 25 + 25 =⇒ y = x+ 50.

a) x · y = x · (x+ 50)

b) (x+ 25) · y = (x+ 25) · (x+ 50)

c) (x+50) ·y = (x+50) ·(x+50) = (x+50)2

d) y = 100 =⇒ x = 50; x · y = 50 · 100 =5000 cm2; y · y = 100 · 100 = 10000 cm2,aumenta en 5000 cm2, es decir, en mediometro cuadrado.

6. Halla los valores numericos de las expresiones siguientes para a = 3; a = −1; a =1

2:



a) 4− 5a+ a2 b) (2− a) · (3 + 2a)

Solucion:

a) Para a = 3 tenemos: 4− 5 · 3 + 32 = 4− 15 + 9 = −2; (2− 3) · (3 + 2 · 3) = −1 · (3 + 6) = −9.

b) Para a = −1 tenemos: 4 − 5 · (−1) + (−1)2 = 4 + 5 + 1 = 10; (2 − (−1)) · (3 + 2(−1)) =(2 + 1) · (3− 2) = 3 · 1 = 3.

c) Para a =1

2tenemos: 4−5 · 1

2+

(1

2

)2

= 4− 5

2+

1

4=

16− 10 + 1

4=

7

4;(2− 1

2

)· (3+2 · 1

2) =

3

2· (3 + 1) =

3

2· 4 = 6.

7. Realiza las operaciones indicadas:a) 2x · (−5xy2z3)3 b) (3a3 − 2a2 − 3ab)− (a2 + 2a3 − 3ab)c) 5xy · (−3x2y) d) 3(3a2 − 2a2 + 1)− 2(a3 − 5a)− 5a2

e) (−4a3b2) · (−2ab2) f ) (a2 − 2ab+ b2) + (a2 + 2ab+ b2)− (a2 + b2)g) 6ab · (2a− 3b+ 5ab) h) (x+ y) · (x2 − xy + y2)i) (3b2 − ab+ 1)(5a− b) j) (a3 − a2b)(−ab) · (2a− b)

Solucion:

a) 2x · (−5xy2z3)3 = 2x(−5)3x3(y2)2(z3)3 = 2x(−125)x3y4z9 = −250x4y4z9

b) (3a3 − 2a2 − 3ab)− (a2 + 2a3 − 3ab) = 3a3 − 2a2 − 3ab− a2 − 2a3 + 3ab = a2 − 3a2

c) 5xy · (−3x2y) = −15x3y2

d) 3(3a2−2a2+1)−2(a3−5a)−5a2 = 9a2−6a2+3−2a3+10a−5a2 = −2a3−2a2+10a+3

e) (−4a3b2) · (−2ab2) = 8a4b4

f ) (a2−2ab+ b2)+(a2+2ab+ b2)− (a2+ b2) = a2−2ab+ b2+a2+2ab+ b2−a2− b2 = a2+ b2

g) 6ab · (2a− 3b+ 5ab) = 12a2b− 16ab2 + 30a2b2

h) (x+ y) · (x2 − xy + y2) = x3 − x2y + xy2 + yx2 − xy2 + y3 = x3 + y3

i) (3b2 − ab+ 1)(5a− b) = 15ab2 − 5b3 − 5a2b+ ab2 + 5a− b

j) (a3 − a2b)(−ab) · (2a − b) = (−a4b + a3b2) · (2a − b) = −2a5b + a4b2 + 2a4b2 − a3b3 =−2a5b+ 3a4b2 − a3b3

8. Expresa en forma de sumandos las expresiones:

a) (x+ 1)2

b) (5− x)2

c) (x+ 3)(x− 3)

d) (2x− 1)2

e)(x+

1

2

)(x− 1

2

) f ) (3 + x)(3− x)

g)(x2− 1)2 h)

(1− 2x

3

)2

Solucion: Recordando las expresiones de las identidades notables: (a+ b)2 = a2+ b2+2ab; (a− b)2 =a2 + b2 − 2ab y (a+ b)(a− b) = a2 − b2 tenemos:

a) (x+ 1)2 = x2 + 1 + 2x

b) (5− x)2 = 25 + x2 − 10x

c) (x+ 3)(x− 3) = x2 − 9

d) (2x− 1)2 = 4x2 + 1− 4x

e)(x+

1

2

)(x− 1

2

)=

(x2 − 1

4

)

f ) (3 + x)(3− x) = 9− x2

g)(x2− 1)2

=x2

4+ 1− x

h)(1− 2x

3

)2

= 1 +4x2

9− 4x

3



9. De las siguientes igualdades indica cuales son identidades y cuales ecuaciones:

a) (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1

b) 36− x2 = (6+ x)(6− x)

c) x2 = 2x− 1

d) 2(x− 5) = 2x− 10

e) 4x− 3 = 3− 4x

f ) 2− (x− 1) = x+ 3

g) x+ 5 = 3x− 8

h) (x− 1)2 = x2 − 1

i) 2x = x2 − 2x

Solucion: Una identidad polinomica se presenta cuando una igualdad se cumple para todos los valoresde la variable. De otra manera, si reducimos terminos nos sale la igualdad 0 = 0. En caso contrario nossale una ecuacion, que puede tener o no soluciones.

a) (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1 Sı.b) 36− x2 = (6 + x)(6− x) Sı.c) x2 = 2x− 1 No.d) 2(x− 5) = 2x− 10 Sı.e) 4x− 3 = 3− 4x No.

f ) 2− (x− 1) = x+ 3 No.

g) x+ 5 = 3x− 8 No.

h) (x− 1)2 = x2 − 1 No.

i) 2x = x2 − 2x No.

10. Transforma en producto las siguientes expresiones:

a) x2 + 2x+ 1

b) x2 + 4x+ 4

c) x2 − 6x+ 9

d) 4x2 + 4x+ 1

e) 4x2 + 12x+ 9

f ) 9x2 + 12x+ 4

g) x2 − 4

h) 9− x2

i) 16x2 − 9

j) 25− 4x2

k) x2 − 49

l) 4x2 − 36

Soluciones: Recuerda las identidades notables.

a) x2 + 2x+ 1 = (x+ 1)2

b) x2 + 4x+ 4 = (x+ 2)2

c) x2 − 6x+ 9 = (x− 3)2

d) 4x2 + 4x+ 1 = (2x+ 1)2

e) 4x2 + 12x+ 9 = (2x+ 3)2

f ) 9x2 + 12x+ 4 = (3x+ 2)2

g) x2 − 4 = (x+ 2)(x− 2)

h) 9− x2 = (3 + x)(3− x)

i) 16x2 − 9 = (4x+ 3)(4x− 3)

j) 25− 4x2 = (5 + 2x)(5− 2x)

k) x2 − 49 = (x+ 7)(x− 7)

l) 4x2 − 36 = (2x+ 6)(2x− 6)

11. Agrupa las ecuaciones equivalentes:

2 + 4x = 5 4x = 3

12x = 6x+ 2 2x+ 1 =5

26x = 3x+ 1 4 = 4x+ 1

3x+ 4 = 6x+ 3 6x− 1 = 3x

2x = x+1

35− 4x = 2

Solucion: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solucion. Las ecuaciones las nume-ramos con la fila donde esta 1, 2, 3, 4 y la columna donde esta a, b.

Las ecuaciones 1a, 1b, 2b, 3b y 5b son equivalentes ya que 2 + 4x = 5 =⇒ 4x = 3 =⇒ x =3

4y

4x = 3 =⇒ x =3

4, 2x+1 =

5

2=⇒ 2x =

5

2− 1 =

3

2=⇒ x =

3

4, 4 = 4x+1 =⇒ 4x = 3 =⇒ x =

3

4,

5− 4x = 2 =⇒ 3 = 4x =⇒ x =3

4.



Las ecuaciones 2a , 4b, 3a, 4a, 5a lo son ya que: 12x = 6x + 2 =⇒ 6x = 2 =⇒ x =2

6=

1

3,

6x − 1 = 3x =⇒ 3x = 1 =⇒ x =1

3, 6x = 3x + 1 =⇒ 3x = 1 =⇒ x =

1

3, 3x + 4 = 6x + 3 =⇒

3x = 1 =⇒ x01

3, 2x = x+

1

3=⇒ x =

1

3.

12. Determina el valor de m para que la ecuacion:

a) 3x+m = 2 tenga una solucion igual a 5.

b) mx− 1 = 1 tenga una solucion igual a 1.

c) 3(x−m) + 50 =m

2− 5x tenga como solucion x = −1.

d) ¿Tiene siempre solucion la ecuacion mx− 1 = 1?

Solucion:

a) Sustituyendo el valor de 5 en la ecuacion 3 · 5 +m = 2 =⇒ 15 +m = 2 =⇒ m = −13.

b) Sustituyendo el valor de 1 en la ecuacion m · 1− 1 = 1 =⇒ m = 2.

c) Sustituyendo el valor de -1 en la ecuacion 3(−1−m)+50 =m

2+5 =⇒ −3−3m =

m

2−45 =⇒

−3m+m

2= −42 =⇒ −6m+m

2= −42 =⇒ −5m = −84 =⇒ m =

84

5

d) Despejamos la incognita: mx − 1 = 1 =⇒ mx = 2 =⇒ x =2

m, solucion que tiene sentido para

cualquier valor de m excepto el m = 0.

13. a) Pon un ejemplo de una ecuacion que tenga una solucion unica.

b) Pon un ejemplo de una ecuacion que no tenga solucion.

c) Pon un ejemplo de una ecuacion que tenga de solucion x = 3.

Solucion:

a) Para solucion unica: 3x+ 4 = 5x− 3.

b) Sin solucion: 3x− 3− x = 5 + 2x.

c) Solucion x = 3: 3x+ 2 = x+ 8.

14. Inventate una historia para cada una de las expresiones siguientes:

a) x+ 3 = 15; x es la edad de Carlos.

b) 3p = 24; p es el precio de un chicle.

c) 16− y = 9; y es un numero cualquiera.

d) p+m = 210; p son kilos de peras y m de manzanas.

e) 7(x+ 5) = 735; x es el precio del kilo de naranjas.

f ) 3d = c; d es el numero de dıas y c el de coches fabricados.

Solucion: Las historias pueden ser varias, entre ellas:

a) Calcula la edad de Carlos sabiendo que dentro de tres anos tendra 15.

b) Compre tres chicles y me costaron 24 centimos de euro, ¿cuanto me costo cada uno?

c) Averigua un numero sabiendo que si se lo quitas a 16 da como resultado 9.

d) La cantidad de kilos de peras y manzanas que hemos comprado asciende a 210.



e) Compro en la plaza 7 kilos de naranjas, por llevarmelas a mi casa me cobran 5 centimos de euromas por kilo. En total me cobran 7, 35 e . ¿Cuanto me costo el kilo de naranjas?

f ) Una pequena fabrica de coches fabrica 3 coches al dıa, relaciona mediante una ecuacion el numerode dıas y el numero de coches fabricados en esos dıas.

15. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2(x− 3) = 1− (x+ 4)

b) 3(x− 2)− 2(x− 3) = 1− 2x

c) 5x− (x− 3) = 5− (1− 4x)

d)x− 1

2− x+ 1

3= 1

e) x− x+ 1

5+ 1 = 2(x+ 1)

f )3− x

2− x− 1

3· 5 = 1− x

2

g) 5x− (1− 2x) = 6

h)1

8(x− 2) +

2

3(x+ 2) + x = −4

i)2(x− 1)

3+

1− 3x

2= 1− x

4

Solucion:

a) 2(x− 3) = 1− (x+ 4) =⇒ 2x− 6 = 1− x− 4 =⇒ 2x+ x = −3 + 6 =⇒ 3x = 3 =⇒ x = 1

b) 3(x− 2)− 2(x− 3) = 1− 2x =⇒ 3x− 6− 2x+6 = 1− 2x =⇒ 3x− 2x+2x = 1− 6+ 6 =⇒3x = 1 =⇒ x =

1

3c) 5x− (x−3) = 5− (1−4x) =⇒ 5x−x+3 = 5−1+4x =⇒ 5x−x−4x = 5−1−3 =⇒ 0 = 1

Absurdo. Sin solucion.

d)x− 1

2−x+ 1

3= 1 =⇒ 3(x− 1)

6−2(x+ 1)

6= 1 =⇒ 3x− 3

6−2x+ 2

6= 1 =⇒ 3x− 3− 2x− 2

6=

1 =⇒ x− 5

6= 1 =⇒ x− 5 = 6 =⇒ x = 11

e) x− x+ 1

5+ 1 = 2(x+1) =⇒ x

5− x+ 1

5+

1

5=

10(x+ 1)

5=⇒ x− x− 1+ 1 = 10x+10 =⇒

10x = −10 =⇒ x = −1

f )3− x

2− x− 1

3· 5 = 1− x

2=⇒ 3(3− x)

6− 2(x− 1)

6· 5 =

6

6− 3x

6=⇒ 9− 3x− 10x+ 10 =

6− 3x =⇒ −10x = −13 =⇒ x =13

10g) 5x− (1− 2x) = 6 =⇒ 5x− 1 + 2x = 6 =⇒ 7x = 7 =⇒ x = 1

h)1

8(x − 2) +

2

3(x + 2) + x = −4 =⇒ 3(x− 2)

24+

16(x+ 2)

24+

24x

24=−4 · 2424

=⇒ 3x − 6 +

16x+ 32 + 24x = −96 =⇒ 43x = −122 =⇒ x = −122

43

i)2(x− 1)

3+

1− 3x

2= 1 − x

4=⇒ 8(x− 1)

12+

6(1− 3x)

12=

12

12− 3x

12=⇒ 8x − 8 + 6 − 18x =

12− 3x =⇒ −7x = 14 =⇒ x = −2


Tema 6

Problemas de Algebra

6.1. Resolucion de Problemas

1. Halla tres numeros consecutivos que sumen 663. ¿Existiran tres numeros pares que sumen 663?

Solucion: Si el primer numero es x, los siguientes serıan x+ 1 y x+ 2, entonces:x+ x+ 1 + x+ 2 = 663 =⇒ 3x = 660 =⇒ x = 220, los numeros son 220, 221 y 222.

La suma de tres numeros pares es par, ası que en imposible.

2. A un vinatero le encargaron 60 l de vino al precio de 1, 1 e /l. El comerciante solo dispone de vino de1, 2 e /l, ası que decide echarle agua hasta obtener una mezcla del precio pedido. ¿Como debe hacer lamezcla si suponemos que el agua es gratis?

Solucion: De los 60 litros de la mezcla x serıan de agua y 60− x de vino, de donde:60 · 1, 1 = (60− x) · 1, 2 =⇒ 66 = 72− 1, 2x =⇒ 1, 2x = 6 =⇒ x = 5 litros de agua.

3. Un chico le pregunta a su amiga la edad que tiene y ella le contesta: Si multiplicas por tres los anos quetendre dentro de tres anos y le restas el triple de los que tenıa hace tres anos, obtendras precisamente losanos que tengo ahora .

Solucion: Sea x la edad de la amiga entonces:3(x+ 3)− 3(x− 3) = x =⇒ 3x+ 9− 3x+ 9 = x =⇒ x = 18 anos.

4. Una caja contiene 12 docenas de gomas de borrar y cuesta 11, 7 e . Se revenden a razon de 10 gomas eleuro. ¿Cuantas gomas hay que vender para obtener una ganancia de 7, 5 e ?

Solucion: El precio de compra de las gomas es 11, 7/144 euros cada goma y el de venta es 1/10 euroscada goma de donde:(

1

10− 117

1440

)x = 7, 5 =⇒ 0,01875x = 7, 5 =⇒ x = 400 gomas. Luego no hay gomas suficientes ya

que hay 144 gomas.

5. En una ocasion le preguntaron a Pitagoras cuantos alumnos tenıa y respondio: La mitad estudia aritmeti-ca, la cuarta parte oratoria, la septima parte medita en silencio y quedan tres alumnos mas. ¿Cuantosalumnos tenıa Pitagoras?

Solucion: Sean x los alumnos de donde:x− 1

2x− 1

4x− 1

7x = 3 =⇒ 56− 28− 14− 8

56x = 3 =⇒ 6

56x = 3 =⇒ x = 28 alumnos.

6. Halla dos numeros impares consecutivos sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es 24.

Solucion: Un numero impar es el 2x+ 1, entonces:(2x + 3)2 − (2x + 1)2 = 24 =⇒ 4x2 + 9 + 12x − 4x2 − 1 − 4x = 24 =⇒ 8x = 16 =⇒ x = 2, losnumeros seran el 5 y el 7

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6.1. RESOLUCION DE PROBLEMAS Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

7. Las longitudes de los lados de un rectangulo estan en proporcion de 5 a 7. El perımetro del rectangulo es48 cm. Calcula las medidas de los lados.

Solucion: Sean x e y las longitudes de los lados, entonces:{x/y = 5/7

2x+ 2y = 48=⇒ x =

5

7y;

5

7y + y = 24; 5y + 7y = 168, 12y = 168 =⇒ y = 14 cm y

x = 10 cm.

8. Una persona tiene un sueldo neto mensual de 1640 e . Si las retenciones que le corresponden suman un18%, ¿cual es su sueldo bruto?

Solucion: Si x es el el sueldo bruto:1640 = 0,82x =⇒ 2000 e

9. Dos personas colocan el mismo capital en distintos bancos. La primera a un 5% de interes anual y lasegunda a un 6%. ¿Que capital tiene cada una si al final del primer ano a la segunda le dan 30 e mas quea la primera de intereses?

Solucion: Si x es el capital que tienen entonces:0,06x− 0,05x = 30 =⇒ 0,01x = 30 =⇒ x = 3000 e

10. En un primer viaje, un automovil consumio 1/6 del total de gasolina, que habıa en el deposito. En unsegundo viaje, consumio 1/5 de la gasolina que le quedaba y acabo con 24 l en el deposito. ¿Cuantoslitros tenıa el deposito al inicio del primer viaje?

Solucion: Si x es la capacidad del deposito entonces:4

5

(1− 1

6

)x = 24 =⇒ 2

3x = 24 =⇒ x = 36 litros

11. El perımetro de un triangulo isosceles es 32 cm. Calcula sus medidas si el lado desigual mide los dostercios del otro.

Solucion: Sea x la longitud del lado desigual e y la de los otros, entonces:{x+ 2y = 32

x =2

3y

=⇒ 2

3y + 2y = 32; 2y + 6y = 96; 8y = 96 =⇒ y = 18 cm y x = 12 cm

12. Dos naufragos llegan a una isla desierta. Durante la tarde cogen cocos y deciden que a la manana siguientese los repartiran. Durante la noche un naufrago se despierta y decide coger su parte. Divide el monton decocos en dos partes iguales y como le sobra un coco lo tira al mar, esconde su parte y se vuelve a dormir.Poco despues se despierta el segundo naufrago y realiza la misma operacion con los pocos que le dejo sucompanero. A la manana siguiente, cada uno guarda silencio de su reparto nocturno y deciden repartirserepartirse los cocos. Al hacer el reparto les corresponden 7 cocos a cada uno y sobra uno que tiran al mar.¿Cuantos cocos habıan recogido y cuantos les corresponde a cada uno?

Solucion: No hace el algebra, sino un poco de imaginacion:Empezamos por el final, como se reparten 7 cocos y tiran uno quiere decir que el segundo dejo 15 cocospor lo que se encontro 15 + 15 + 1 = 31 cocos, que son los que dejo el primero, por lo que se encontro31 + 31 + 1 = 63 cocos que fueron los que cogieron los dos naufragos.

13. Un comerciante con el fin de atraerse la clientela, anuncio conceder en sus ventas un 20% de descuento;pero, poco escrupuloso, modifica previamente los precios marcados en las etiquetas, subiendolos un20%. ¿Que descuento hace, en realidad, sobre los precios primitivos?

Solucion: Sea x el precio inicial, entonces el precio final es 0, 8 · 1, 2x = 0, 96x =⇒ los rebajo un 4%

14. Problema del siglo XII, Bagdad. La quinta parte de un enjambre de abejas se posa sobre una flor dekabamda, la tercera parte sobre una flor de silinda. El triple de la diferencia de estos numeros vuela sobre



una flor de krutja, y una vuela indecisa de un jazmın a una flor de pandanus. Dime nina, cuantas abejashabıa en el jardın.

Solucion: Sea x la cantidad de abejas del panal:

x =1

5x+

1

3x+ 3

(1

3− 1

5

)x+ 1 =⇒ x =

1

5x+

1

3x+ 3 · 2

15x+ 1 =⇒ x =

1

5x+

1

3x+

2

5x+ 1 =⇒

x =14

15x+ 1 =⇒ 1

15x = 1 =⇒ x = 15 abejas

15. Un profesor tiene 42 anos y su hijo 12. ¿Cuantos anos faltan para que la edad del profesor sea el tripleque la del alumno?

Solucion: Sean x los anos que deben de pasar:42 + x = 3(x+ 12) =⇒ 42 + x = 3x+ 36; 2x = 6 =⇒ x = 3 anos.

16. Un padre tiene 48 anos y su hijo 25. Averigua cuantos anos hace que la edad del padre era el doble quela del hijo.

Solucion: Sean x los anos que deben de hacer:48− x = 2(25− x) =⇒ 48− x = 50− 2x; x = 2 =⇒ x = 3 anos.

17. Juan le pregunto a Marıa cuantos anos tenıa y esta le respondio: El doble de los anos que tenıa hacequince anos mas los que tengo ahora son el triple de los que tenıa hace diez anos. ¿Cuantos anos tenıaMarıa?

Solucion: Sean x los anos que actualmente tiene Marıa:2(x− 15) + x = 3(x− 10) =⇒ 2x− 30 + x = 3x− 30 =⇒ la edad puede ser cualquiera.

18. Un deposito se llena con un grifo en dos horas y otro en tres horas. Averigua el tiempo que tarda en llenarel deposito si se abren los dos grifos al mismo tiempo.

Solucion: Calculamos primero la parte de deposito que llena cada deposito en una hora, que serıan:1

2y

1

3; los dos juntos, en una hora llenaran:

1

2+

1

3=

5

6partes de deposito, luego tardaran

6

5= 1 +

1

5= 1

hora y 20 minutos.

19. Una persona va de una poblacion a otra en un tranvıa que lleva una velocidad de 14 km/h y regresaandando a una velocidad de 4 km/h. ¿Que distancia hay entre las dos poblaciones si tarda seis horas en iry volver?

Solucion: Si llamamos x a la distancia entre ambas ciudades:x

14+

x

4= 6 =⇒ 2x+ 7x

28= 6 =⇒ 9x = 168 =⇒ x =

168

9= 18 +

2

3km.

20. El agua del mar tiene un 3% de sal. ¿Cuantos kilos de agua pura tendremos que agregar a 25 kg de aguade mar para que la mezcla tenga solamente el 2%?

Solucion: Es un ejercicio clasico de mezclas. Sea x los litros de agua que se le anade:0,03 · 25 = 0,02(25 + x) =⇒ 0,01x = 2, 5 =⇒ x = 250 litros.

21. Un deposito se llena con un grifo en 4 h, con otro tarda en llenarse 6 h, y se vacıa con un desague en 3 h.Halla el tiempo que tarda en llenarse estando abiertos los tres.

Solucion: Si abrimos los tres a la vez, en una hora la parte de deposito que se llena serıa:1

4+

1

6− 1

3=

3 + 2− 4

12=

1

6=⇒ tardarıa 6 horas en llenarse.

22. Tengo una habitacion cuadrada. Para ampliarla corro el tabique un metro, con lo que obtengo una habita-cion rectangular cuya superficie ha aumentado de tamano 4 m2. Calcula los lados de la nueva habitacion.

Solucion: Si llamamos x al lado de la habitacion:(x+ 1)x− x2 = 4 =⇒ x2 + x− x2 = 4 =⇒ x = 4 metros.



23. Tres socios se reparten unas ganancias. El primero se queda con la cuarta parte, el segundo con las dosterceras partes de las ganancias y el tercero con mil euros. Determina las ganancias totales y lo que lecorresponde a cada uno.

Solucion: Sea x las ganancias:

x− x

4− 2

3x = 1000 =⇒ 12x− 3x− 8x

12= 1000 =⇒ x = 12000 e

24. La edades de tres hermanas suman 10 anos. Halla la edad de cada una sabiendo que la mediana tiene unanos mas que la pequena y que la mayor tiene tantos anos como las otras dos juntas.

Solucion: Sea x la edad de la mediana:(2x− 1) + x+ (x− 1) = 10 =⇒ 4x = 12 =⇒ x = 3, luego tienen 2,3 y 5 anos.

25. A las 10 h 45 min sale un avion Boeing 747 de Madrid hacia Nueva York, siendo su velocidad de crucerode 1000 km/h. A la misma hora sale de Nueva York un reactor hacia Madrid con una velocidad de 800km/h. ¿A que distancia de Madrid y a que hora se encontraran ambos aviones? (Distancia entre Madridy Nueva York es aproximadamente de 7800 km)

Solucion: Los espacios que recorren cada uno son x y 7800 − x, de donde igualando los tiempos:x

1000=

7800− x

800=⇒ 800x = 7800000 − 1000x =⇒ 1800x = 7800000 =⇒ x =

78000

18=

13000

3= 4333 +

1

3km de Madrid. El tiempo serıa:

x

1000=

13000

3000=

13

3= 4 +

1

3=4 horas y 20

minutos.

26. Con una sabana de hilo antigua he conseguido hacer dos manteles cuadrados, cuyos lados estan en pro-porcion de 5 a 3, y un cubrebandejas rectangular que tiene 30 cm menos de ancho que de largo. Si no hasobrado tela, ¿que dimensiones tenıa la sabana?

Solucion: Si un lado es x el otro sera5

3x. Haciendo el dibujo el ancho de la sabana debe ser

5

3x−x =

2

3x

de donde x− 2

3x = 30 =⇒ x

3= 30 =⇒ x = 90 cm y el otro lado

5

330 = 50 cm

27. Si fueran dos horas mas tarde, faltarıa para la media noche la mitad de lo que faltarıa si fuera una horamas tarde. ¿Que hora es?

Solucion: Son las x horas, entonces:2 [12− (x+ 2)] = 12− (x+ 1) =⇒ 20− 2x = 11− x =⇒ x = 9 horas


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