@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

FUNCIONES

Tema 6

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2

FUNCIÓN: DOMINIO Y RECORRIDO

Tema 6.1 * 1º BCS

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3

Definición de función

• Una función es toda correspondencia entre dos magnitudes de modo que a cada valor de la primera (x) le corresponde un único valor de la segunda (y).

• A las magnitudes que intervienen en dicha correspondencia se las llama variables.

• Variable independiente (x): Su valor se fija previamente.• Variable dependiente (y): Su valor depende del que se fije para la variable

independiente.

• Al conjunto de valores de la variable independiente (x) se le llama DOMINIO de la función.

• Al conjunto de valores de la variable dependiente (y) se le llama IMAGEN o RECORRIDO de la función.

• Una función se suele denotar de la siguiente manera:

• y=f(x)

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4

Ejemplo de Función

2

- 2

3

4- 4

1

4

9

16

1

DOMINIO RECORRIDO

X f (x)=x2 Y

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5

• EJEMPLOS DE FUNCIONES

• EJEMPLO_1

• Sea la función f(x) = x2

Si una línea VERTICAL corta a la gráfica en un solo punto es una función

• EJEMPLO_2

• Sea la función f(x) = x3 +x2 - 5x +3

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6

• EJEMPLO_4

• Sea la ecuación x = y2

• No es una función. Cada valor de x no corresponde un único valor de y.

• EJEMPLO_3

• Sea la ecuación de la elipse:• x2 y2

• --- + --- = 1• 9 4• No es una función.• Si una línea VERTICAL corta a la gráfica

en dos o más puntos, NO es una función.

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7

• Para poder trabajar con ecuaciones que no son funciones, se trabajará por separado obteniéndose dos funciones distintas:

• EJEMPLO 1• Ecuación x = y2

• y = +/- √x • f (x) = √x Función 1• f (x) = - √x Función 2

f(x)=√x

f(x)= - √x

• EJEMPLO_2• Ecuación de la circunferencia• x2 + y2 = 25

• y = +/- √ (25 - x2) • f (x) = √ (25 - x2) Función 1• f (x) = - √ (25 - x2) Función 2

f(x)=√(25 – x2)

f(x)= - √(25 – x2)

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8

Ejemplos prácticos de funciones

• El coste de producción de un número, x, de artículos:

• El capital obtenido al cabo de un cierto tiempo, t, a interés compuesto:

• La devaluación que sufre un bien al cabo de un tiempo, t:

• El número de bacterias tras un tiempo, t, en un cultivo:

• El número de osos pardos de una reserva (especies protegidas):

( ) 5000.(1 0,15)tP t

8000.45.25,0)( 2 xxxC

( ) 700.(1 0,05)tC t

12 3 2.( ) /(2 10 . )tN t e e

( ) 250.log[(900. 130) /(13 )]N t t t

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9

• 2• 1 x – μ • – --- --------• 1 2 σ • f(x) = ---------------- e• σ. √2.π

• Es la más utilizada en estadística.

La campana de Gauss

μ – σ μ μ + σ

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10

• Ejemplo 1:

• Sea la función y = √ x

• Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x debe ser mayor o igual que 0.

• El dominio de esta función es pues x ≥ 0• Dom f(x) = [0, +oo )• • Ejemplo 2:

• Sea la función y = √ (4 – x)

• Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que:• 4 – x ≥ 0 4 ≥ x • Dom f(x) = (-oo , 4]

Dominio de una función

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11

• Ejemplo 3:

• Sea la función y = √ (4 - x2)

• Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x2

debe ser menor o igual que 4, o sea |x| ≤ 2.• El dominio de esta función es pues |x| ≤ 2 • Dom f(x) = [-2, 2]

• • Ejemplo 4:

• Sea la función y = 1 / (4 + x)

• Cuando x = - 4 el denominador se hace cero, con lo cual y no toma ningún valor real

• Dom f(x) = R – { – 4 }

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 12

• Ejemplo 5

• Sea la función y = - 1 / √ (4.x – x2 )

• Está claro que 4.x – x2 no puede tomar valores negativos, y tampoco puede ser 0.

• El dominio de esta función es pues Dom f(x) = {x / (4.x – x2 ) > 0}• • Resolveremos la inecuación: 4.x – x2 > 0

• x.(4 – x) > 0 x.(x – 4) < 0

• -oo 0 4 +oo

• x - + + • (x – 4) - - +

• + - +

• Solución: Dom f(x) = (0, 4)

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13

• Ejemplo 1

• Sea la función y = √ – x

• Está claro que y no puede tomar valores negativos, y el valor más pequeño será el 0 cuando x = 0.

• El recorrido de esta función es pues Img f(x) = [0, +oo) = R+

• • Ejemplo 2

• Sea la función y = 4 / (x – 2)

• Aparentemente para cualquier valor que tome x habrá un valor de y real.• El valor de y no puede ser nunca 0.• El recorrido de esta función es pues Img f(x) = R – { 0 }

Recorrido o Imagen

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 14

• Ejemplo 3

• 3 • Sea la función y = – √ – x

• Valga lo que valga x, habrá siempre algún valor de y.• Si x es positivo, la raíz dará un valor negativo, e y tomará un valor positivo.• Si x es negativo, la raíz dará un valor positivo, e y tomará un valor negativo.• El recorrido de esta función es pues: Img f(x) = R

• • Ejemplo 4

• Sea la función y = 5(x – 2)

• Si x vale 2, el resultado o valor de y será: 5 0 = 1.• Si x es mayor que 2, el resultado será un número positivo.• Si x es menor que 2, el resultado será una potencia de exponente negativo, cuyo

resultado sabemos que será siempre positivo, aunque muy pequeño.• El valor de y no puede ser nunca 0.• El recorrido de esta función es pues Img f(x) = R+ – { 0 }