@ angel prieto benitoapuntes 2º bachillerato cs1 aplicaciones de las derivadas tema 8 * 2º b cs

@ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS 1

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Tema 8 * 2º B CS


CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Tema 8.4 * 2º B CS


• Sea la curva y = f (x).• Sea x=a un punto cualquiera de la curva.• Sea y = t(x) la ecuación de la recta tangente a la curva por dicho punto.

• DEFINICIONES

• Si en las cercanías de a tenemos f(x) > t(x) la curva es CÓNCAVA o CÓNCAVA HACIA ARRIBA en a. La curva está por encima de la tangente.

• Si en las cercanías de a tenemos f(x) < t(x) la curva es CONVEXA o CÓNCAVA HACIA ABAJO en a. La curva está por debajo de la tangente.

• Si a la izquierda de a tenemos f(x) < t(x) y• a la derecha de a tenemos f(x) > t(x) o viceversa• Entonces x = a es un PUNTO DE INFLEXIÓN.• En P(a, f(a)) la curva cambia de cóncava a convexa o viciversa.

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD


CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

y = f (x)

y = t (x)

x=xo

f (x) > t (x) CÓNCAVA

y = f (x)

y = t (x)

x=xof (x) < t (x) CONVEXA


- 3 -2 -1 0 1 2

Puntos de INFLEXIÓN

y = f (x)

y = t (x)

x=xoCóncava

Convexa

Convexa

CóncavaPUNTO DE INFLEXIÓN


SEGUNDA DERIVADA

• DERIVADAS SUCESIVAS

• Como la derivada de una función f es otra función f’, podemos hallar la TVI de la nueva función.

• Esta función se designa por • f ’’(x) o D f ‘ (x)

• f ‘ (x + h) – f ‘ (x)• f “(x) = lím ----------------------• h 0 h

• La derivada de la función derivada es otra función y por tanto una expresión algebraica.

• Se emplea para estudiar la curvatura de una función, así como los puntos de inflexión.


EJEMPLOS

• Sea f(x) = x3

• Calculemos la función derivada.• f ‘ (x) = 3. x2 , que es otra función.

• La segunda derivada será:• f “ (x) = 6.x

• La derivada tercera será:• f “’ (x) = 6

• La derivada cuarta será:• f IV (x) = 0

• Sea f(x) = – sen x

• Calculemos la función derivada.• f ‘ (x) = – cos x, que es otra

función.

• La segunda derivada será:• f “ (x) = sen x

• La derivada tercera será:• f “’ (x) = cos x

• La derivada cuarta será:• f IV (x) = – sen x


EJEMPLOS

• Sea f(x) = ln x

• Calculemos la función derivada.• f ‘ (x) = 1 / x , que es otra función.

• La segunda derivada será:• f “ (x) = – 1 / x2

• La derivada tercera será:• f “’ (x) = 2.x / x4 = 2 / x3

• La derivada cuarta será:• f IV (x) = – 6 .x2 / x6 = – 6 / x4

• Sea f(x) = sen 5x

• Calculemos la función derivada.• f ‘ (x) = 5.cos 5x, que es otra

función.

• La segunda derivada será:• f “ (x) = – 25.sen 5x

• La derivada tercera será:• f “’ (x) = – 125.cos 5x

• La derivada cuarta será:• f IV (x) = 625.sen 5x


SEGUNDA DERIVADA

• Si f(x) tiene segunda derivada en xo, se cumple que:

• Si f(x) es cóncava en a f ‘ (x) es creciente en a f ’’ (a) ≥ 0• Si f(x) es convexa en a f ‘ (x) es decreciente en a f ’’ (a) ≤ 0• Si f(x) tiene un punto de inflexión en a f ’’ (a) = 0

• Conclusiones

• Si f ‘’(a) > 0 f (x) es cóncava en a.• Si f ‘’(a) < 0 f (x) es convexa en a.• Si f ‘’(a) = 0 y f ‘’’ (a) <>0 f (x) tiene un P.I. en x=a.


IDENTIFICACIÓN DEMÁXIMOS Y MÍNIMOS

• Si f ‘ (x) = 0 y existe segunda derivada en a, entonces:

• Si f ‘’(a) > 0 f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en x=a.• Si f ‘’(a) < 0 f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en x=a.

• EJEMPLO_1

• Sea y = (1 / 3) x3 – (3 / 2) x2 + 2 x – 5 • Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión.• Sea y ’ = x2 – 3x + 2 y ‘ = 0 (x – 1).(x – 2) = 0• Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x – 3 • En x=1 y ‘’ (1) = 2 – 3 = - 1 < 0 Máximo relativo en x=1• En x=2 y ‘’ (2) = 4 – 3 = 1 > 0 Mínimo relativo en x=1• Igualamos a cero la segunda derivada: y ‘’ = 0 2.x – 3 = 0 x = 1,5 y ‘’’ = 2 <>0 P. Inflexión.


• EJEMPLO_2

• Sea y = (1 / 3) x3 + x2 – 5 • Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión.

• Sea y ’ = x2 + 2x y ‘ = 0 x .(x + 2) = 0• x=0 y x= - 2 son los posibles máximos y mínimos relativos.

• Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x + 2

• En x = 0 y ‘’ (0) = 2.0 + 2 = 2 > 0 Mínimo relativo en x=0• En x = – 2 y ‘’ (– 2 ) = – 4 + 2 = – 2 < 0 Máximo relativo en x= – 2

• y ‘’ = 0 2.x + 2 = 0 x = – 1 es el posible P. de Inflexión. y ‘’’ = 2 <>0 P. Inflexión.


• EJEMPLO_3

• Sea y = – (x – 2)3 – 1 • y= – x3 + 6.x2 – 12.x + 7• Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión.

• Sea y ’ = – 3.x2 + 12.x – 12• y ‘ = 0 x2 – 4.x + 4 = 0• (x – 2)2 = 0 x = 2 Posible max/min• Hallamos la segunda derivada:• y ‘’ = – 6.x + 12 • En x = 2 y ‘’ (2) = 0 • Aunque la primera derivada sea 0 el punto no es ni

un Max ni un Min. relativo.• Para que en un punto haya un máx. o un mín.

es necesario que y ’ = 0, pero no suficiente.• Veamos si es un P.I.• y’’(2) = 0 y’’’ = – 6• y’’’ (2) = – 6 <> 0 P(2, -1) es un PI


• EJEMPLO_4• Sea y = |x2 – 1| • Hallar los puntos singulares y los puntos de

inflexión.

• Eliminamos el valor absoluto:• x2 – 1 si x =< – 1 • y = – x2 + 1 si – 1 < x < 1 • x2 – 1 si x >=1 • Calculamos la derivada primera:• 2.x si x =< – 1 • y ‘ = – 2.x si – 1 < x < 1 • 2.x si x >=1 • Igualamos a cero para calcular los puntos

singulares:• 2.x = 0 x = 0 si x =< – 1 NO • y ‘ = – 2.x = 0 x = 0 si – 1 < x < 1

SI • 2.x = 0 x = 0 si x >=1 NO • En x = 0 y” = – 2 < 0 Máximo relativo.• x = 0 y (0) = |0 – 1| = 1 Máx(0 , 1)

Max(0,1)

No son puntos singulares ni de inflexión


• … EJEMPLO_4• Sea y = |x2 – 1| • Calculamos la derivada segunda:• 2 si x =< – 1 • y “ = – 2 si – 1 < x < 1 • 2 si x >=1 • Igualamos a cero para calcular los puntos de

inflexión:• y ‘’ <> 0 en todos los casos.• No existen puntos de inflexión.

• Sin embargo vemos que en x = – 1 la curva cambia de cóncava a convexa, y en x 0 1 cambia de convexa a cóncava.

• Para que en un punto haya un punto de inflexión es necesario que y ” = 0, pero no suficiente, pues y’’’ debe ser <> 0.

• En x = – 1 y x = 1 hay puntos angulosos, donde la derivada no existe al ser distintas sus derivadas laterales.

Max(0,1)

No son puntos singulares ni de inflexión

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