-analisis-combinatorio

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TEMA : ANÁLISIS COMBINATORIO Factorial de un Número .- (!) o (L) Es definido como el producto, de todos los enteros consecutivos y positivos comprendidos entre la unidad y el número dado, incluyendo a ambos. Así: Siempre tengo en cuenta que: Además podemos escribir: Esta última expresión nos dice que: El factorial de un número cualquiera puede escribirse como el producto del factorial de su consecutivo anterior por el número dado. Ejemplos: * ¿Entiende UD.?; si desea puede seguir descomponiendo. EJERCICIOS PARA LA CLASE

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Page 1: -ANALISIS-COMBINATORIO

TEMA : ANÁLISIS COMBINATORIO

Factorial de un Número .- (!) o (L)

Es definido como el producto, de todos

los enteros consecutivos y positivos

comprendidos entre la unidad y el número

dado, incluyendo a ambos. Así:

Siempre tengo en cuenta que:

Además podemos escribir:

Esta última expresión nos dice que:

El factorial de un número cualquiera

puede escribirse como el producto del

factorial de su consecutivo anterior por el

número dado.

Ejemplos:

* ¿Entiende UD.?; si desea puede

seguir descomponiendo.

EJERCICIOS PARA LA CLASE

Page 2: -ANALISIS-COMBINATORIO

TEMA: ANÁLISIS COMBINATORIO

01. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C?. en la siguiente red de caminos.

Rpta: .............................

02. ¿Por cuántos caminos diferentes se puede ir de A a C? en la siguiente red de caminos:

Rpta: .............................

03. De la red de caminos mostrado:

¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a D?.

Rpta: .............................

04. En la siguiente red de caminos.

¿De cuántas maneras, se puede ir de A a B y regresar de B a A sin utilizar el mismo camino que se acaba de usar para llegar a B?.

Rpta: .............................

05. En la siguiente red de caminos:

¿De cuántas maneras se puede ir de A a C y volver a A sin pasar por el mismo camino dos veces, pudiendo utilizar, parcialmente en regresar, el camino que se utilizó al ir de A a C?.

Rpta: .............................

06. ¿De cuántas maneras pueden ser ordenados, en una fila 5 cubos iguales, pero de diferentes colorees?.

Rpta: .............................

07. ¿De cuántas formas, pueden 8 personas estar sentadas en un banco, con capacidad para 4 personas?.

Rpta: .............................

08. Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares (de izquierda a derecha). ¿De cuántas formas pueden sentarse las 7 personas?.

Rpta: .............................

09. se quieren sentar 4 hombres y 2 mujeres en una fila, de modo que las mujeres estén siempre juntas. ¿De cuántas formas pueden sentarse?.

Rpta: .............................

10. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 7 personas alrededor de una mes, si de las 7 personas una está ya sentada y no se mueve para nada, para que las 6 restantes se acomoden en referencia a ella consecutivamente?.

Rpta: .............................

11. Tres viajeros llegan a una ciudad donde hay 4 hoteles. ¿De cuántas formas a la vez podrían instalarse, debiendo estar cada uno en un hotel diferente?.

Rpta: .............................

12. Magda tiene 8 blusas y 5 pantalones ¿de cuántas formas diferentes se puede vestir, sabiendo que su blusa celeste se lo debe poner solamente con su pantalón azul?.

Rpta: .............................

13. La Junta Directiva de un club consta de un presidente, un Vicepresidente, un Tesorero y un Secretario.

Hay 8 candidatos que puedan ocupar, la Presidencia o Vice presidencia y 6 candidatos que pueden ocupar la Tesorería o Secretaria. . ¿De cuántas maneras diferentes se podría formar la Junta Directiva?.

Rpta: .............................

14. ¿Cuántos saludos de despedidas (combinaciones) habrán al término de una reunión, donde asistieron 25 personas (elementos)?.

Rpta: .............................

15. Luchito, por equivocación contó el total de saludos de despedidas que hubieron al final de una reunión, en vez de contar el número de personas que se reunieron. ¿Cuántas personas se reunieron, si Luchito contó 630 saludos de despedidas?.

Rpta: .............................

16. En una reunión, donde asistieron 48 personas, 8 de ellas mal educadas, se retiran sin despedirse. ¿Cuántos saludos de despedidas menos, hubieron al final de la reunión, si 8 personas mal educadas, no se despidieron?.

Rpta: .............................

17. Al final de una reunión, donde asistieron 28 personas, 5 personas se retiran sin despedirse, pero si se despiden entre ellas; las personas restantes cada una de despidió de cada una de las demás. ¿Cuántos saludos y despedidas hubieron entre las personas que asistieron a la reunión?.

Rpta: .............................

18. Al final de una reunión, 5 personas se retiran sin despedirse, pero si de despiden entre ellas; de las restantes cada una se despidieron de todas las demás.

El total de despedidas fue 200¿Cuántas personas asistieron a la reunión?.

Rpta: .............................

19. ¿Cuántos números de 3 cifras existen en el sistema decimal?.

Rpta: .............................

Page 3: -ANALISIS-COMBINATORIO

20. ¿Cuántos números de 3 cifras significativos, existen en el sistema decimal?.

Rpta: .............................

1. Una Comisión que trabaja puede estar

formada por 3 hombres ó 4 mujeres ó 1

hombre y 1 una mujer. ¿De cuantas

formas se lograra una comisión si se

disponen de 7 mujeres y 6 hombres?

Rpta:

2. ¿Cuántos diccionarios bilin-gües se

deben editar si tomamos en consideración

los siguientes idiomas: español, ingles,

francés, alemán y japonés?

Rpta:

3. ¿De cuántas maneras diferentes se

pueden ubicar 6 niños en fila, a condición

de que 3 de ellos en particular, estén

siempre juntos?

Rpta:

4. ¿Cuántos numerales de 3 cifras

diferentes o de 4 cifras diferentes, se

pueden escribir con los dígitos del

siguiente conjunto: A {1; 3; 5; 7; 9;}?

Rpta:

5. Un equipo de investigación consta de 10

integrantes; de ellos, 4 son biólogos.

¿Cuántos grupos de 3 miembros se

pueden formar de manera que se

considere a por lo menos un biólogo?

Rpta:

6. Carlos tiene una biblioteca con 7 textos

con pasta azul, 5 con pasta roja y 3 con

pasta color crema. ¿de cuantas maneras

pueden colocarse los libros según los

colores de sus pastas?

Rpta:

7. ¿De cuántas formas distintas se pueden

ordenar las letras de la palabra ARMO?

Rpta:

8. En un campeonato de fútbol

cuadrangular, ¿De cuantas maneras

podrá quedar la posición de 4 equipos?

Rpta:

9. Con 10 marineros, ¿Cuántas tripulaciones

de 4 marineros se pueden formar?

Rpta:

10. ¿Cuántos números de cuatro cifras

impares diferentes, pero que no llevan el

digito 7 en su escritura, existen?

Rpta:

11. Un alumno tiene 3 libros de Física y una

alumna tiene 5 libros de Química. ¿De

cuántas maneras podría prestarse un

libro?

Page 4: -ANALISIS-COMBINATORIO

Rpta:

12. ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras

pueden tomarse con los nueve dígitos 1;

2; 3;…….; 9?

Rpta:

13. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6

personas alrededor de una esa redonda?

Rpta:

14. Tenemos una urna con 7 bola numeradas

y se quiere saber de cuántas maneras

podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y

finalmente 2.

Rpta:

15. Un estudiante tiene que resolver 10

preguntas de 13 en un examen. ¿Cuántas

maneras de escoger las preguntas tiene?

Rpta:

16. ¿De cuántas maneras distintas pueden

sentarse en una banca 6 asientos, 4 personas.

Rpta:

17. Hallar “x”, sabiendo que:

Rpta:

18. Calcular el número de cuadriláteros que

se pueden trazar por 10 puntos no

colinéales.

Rpta:

19. Si: Halla: “y” en términos “x”

Rpta:

20. ¿De cuántas maneras 2 peruanos, 4

colombianos y 3 paraguayos pueden

sentarse en la fila de modo que los de la

misma nacionalidad se sienten juntos?

Rpta:

EJERCICIOS PARA LA CASA

1. ¿De cuántas maneras diferentes podrán

ubicarse en una fila, Renato, Adrián,

Shirley?

a) 3 b) 6

c) 9 d) 5

e) 8

2. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden

formarse con los 5 dígitos: 1; 2; 3; 4; y 5,

sin que se repita uno de ellos en el

número formado?

a) 120 b) 15

c) 20 d) 60

e) N.A

3. En una carrera de caballos participan 6

de estos ejemplares. ¿De cuántas

maneras podrán ocupar los 6 primeros

puestos?

a) 120 b) 180

c) 60 d) 240

e) 20

4. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en

el campeonato descentralizado de fútbol

en una rueda, en la que participan 16

equipos?

Page 5: -ANALISIS-COMBINATORIO

a) 160 b) 120

c) 80 d) 320

e) N.A

5. Con las letras de la palabra “EDITOR”,

¿Cuántas palabras de 6 letras que

terminen en “E” se pueden formar.

a) 60 b) 720

c) 360 d) 120

e) 24

6. Hallar el valor de “E” sabiendo que:

a) 1 b) 3/4

c) 1/4 d) 2

e) N.A

7. Un vendedor de cerveza visita 2 veces a

la semana a un distribuidor.¿De cuántas

manera podrá el vendedor escoger dichos

días de visita?

a) 42 b) 12

c) 24 d) 21

e) 45

8. Una señora tiene 11 amigos de confianza.

¿De cuantas maneras puede invitar a 5

de ellos a cenar?

a) 462 b) 426

c) 642 d) 246

e) N.A

9. Un barco lleva 5 banderas de color

diferentes.¿Cuantas señales diferentes se

podrán hacer, izando en un mástil, por lo

menos 3 banderas?

a) 520 b) 430

c) 864000 d) 246

e) 150

10. ¿Cuántos sonidos distintos pueden

producir con ocho teclas de un piano si se

tocan cuatro simul-táneamente?

a) 1680 b) 1860

c) 70 d) 120

e) 720

11. Juanito tiene 4 camisas, 3 pantalones y 2

pares de zapatos.¿De cuantas formas

pueden vestirse alternando estas

prendas?

a) 12 b) 24

c) 36 d) 18

e) 495

12. Una clase consta de 9 niños y 3 niñas.

¿De cuantas maneras el profesor puede

escoger un comité de 4?

a) 720 b) 945

c) 5040 d) 594

e) 495

13. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes,

que no sean múltiplos de 5, existen?

a) 486 b) 648

c) 729 d) 567

e) 684

Page 6: -ANALISIS-COMBINATORIO

14. De A a B hay 6 caminos diferentes y de B

a C hay 4 caminos diferentes.¿De

cuantas maneras se puede hacer el viaje

redondo de A a C pasando por B?

a) 120 b) 576

c) 24 d) 50

e) N.A

15. Jesús, José y Marco van un día al cine y

encuentran cuatro asientos consecutivos

vacíos. ¿De cuántas maneras pueden

distribuirse?

a) 24 b) 48

c) 12 d) 7

e) 9

TEMA: PROBALIDADES

Al lanzar una moneda existe la posibilidad de obtener una cara o un sello. So yo quisiera que la moneda muestre cara, habría una posibilidad entre dos que ocurra. Decimos entonces que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½.

Si lanzamos un dado hay seis resultados posibles, cualesquiera de los seis número podría verse. Si quisiéramos que salga un número para habría 3 posibilidades (2; 4 y 6) de un total de seis (2; 2; 3; 4; 5 y 6) que se pueden obtener. La probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado será:

Si tenemos una baraja de cartas y extraigo una, la probabilidad de que esta sea de diamante será:

Si en un salón de clases hay 20 alumnos varones y 30 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad que al salid un alumno del aula, este sea mujer?

Recordemos:

Probabilidad: Definición clásicaLa probabilidad de ocurrencias es la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Donde: 0 P 1La probabilidad de un evento cualquiera esta comprendido entre 0 y 1; en el caso que sea 0: (cero), es un evento imposible; en el caso de que sea 1, el evento es seguro.

Es importante aclarar que esta manera de definir la probabilidad se basa en el supuesto que todos los resultados posibles son igualmente probables, es decir que tienen la misma posibilidad de salir. No ocurre así si es que la moneda esta acuñada de tal forma que es más pesada hacia un lado, o si el lado esta cargado o las cartas están marcadas.

Debemos recordar que:

El espacio muestral es el conjunto de todos los casos posibles asociados a un experimento.

Por ejemplo al lanzar una moneda el espacio muestral () seria conjunto de dos elementos:

= {cara; sello}

Si se lanza un dado, el espacio muestral asociado a este experimento seria:

= {1; 2; 3; 4; 5; 6}

EVENTOS INDEPENDIENTES

Como su nombre lo indica son eventos que no dependen entre si para su ocurrencia; por ejemplo al lanzar una moneda por segunda vez el resultado del lanzamiento de la primera no afecta en el resultado de ésta.

¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de una moneda dos veces?En el primer lanzamiento la probabilidad de obtener un sello es ½, lo representamos así:

P (s1) =

En el segundo lanzamiento la probabilidad de obtener un sello, dado que en el lanzamiento anterior se obtuvo sello es:

Page 7: -ANALISIS-COMBINATORIO

P (s2) =

Luego la probabilidad que ocurran ambos será:

P (s1 s2) = P (s1) x P (s2) (sucesos independientes)

= 1/4

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Son aquellos cuya ocurrencia no es simultánea.

Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras o 2 sellos en el lanzamiento de dos monedas?

Definimos:C1 : Obtener cara en el primer lanzamientoC2 : Obtener cara en el segundo lanzamientoS1 : Obtener sello en el primer lanzamientoS2 : Obtener sello en el segundo lanzamiento

A = C1 C2; B = S1 S2

P (C1 C2) = P (C1) x P (C2) =

P (S1 S2) = P (S1) x P (S2) =

Luego:P (A B) = P (A) + P (B) =

Por que A y B son excluyentes dado que no pueden salir dos caras y dos sellos al mismo tiempo lanzando una monedad dos veces.

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. Si en una rifa hay 16 números con premio y

24 sin premio, las posibilidades de ganar son:

Rpta:

2. Se lanza un par de dados. Si los números

que resultan son diferentes. Hallar la

probabilidad que su suma sea par.

Rpta:

3. Una caja contiene 12 cartas roja, 6

blancas y 8 negras, se saca una sin mirar.

¿Cual es la probabilidad de que la carta

sea roja?

Rpta:

4. Sin mirar se oprime una de las 27 letras

de una maquina; hallar la probabilidad de

que sea una vocal.

Rpta:

5. Se lanza tres monedas corrientes. Si

aparecen dos caras y un sello, determinar

la probabilidad de que aparezca una cara

exactamente.

Rpta:

6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al

sumar los puntos de las caras superiores

al lanzar 2 dados?

Rpta:

7. En una urna hay 8 bolas, 3 de color rojo y

5 de color blanco. Se extraen 2 al mismo

tiempo,¿Cuál es la probabilidad de que

haya una de cada color?

Rpta:

Page 8: -ANALISIS-COMBINATORIO

8. En un salón de clases de 40, 30 de ellos

postulan a la Universidad de San Marcos y 26 a

la Universidad de Lima, se elige al azar un

alumno de este salón, ¿Cuál es la probabilidad

de que sea un alumno que postule a ambas

Universidades.

Rpta:

9. Se lanza un dado y una moneda,¿Cuál es

la probabilidad de obtener cara en la

moneda y 6 en la cara superior del dado?

Rpta:

10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener

un”AS” al extraer una carta de una baraja

de 52?

Rpta:

11. ¿Cuál es la probabilidad de que al ver el

reloj sea más de los 12 meridianos?

Rpta:

12. Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la

probabilidad de obtener por lo menos 10

en la suma de los puntos de las caras?

Rpta:

13. Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la

probabilidad de obtener a lo mas 10 al

multiplicar los puntos de las caras

superiores?

Rpta:

14. Las probabilidades que tienen: Manuel,

Franklin y Henry de resolver un mismo

problema matemático son: 4/5, 2/3 y 3/7;

respectivamente. Si intentan hacerlo los

3. Determinar la probabilidad de que se

resuelva el problema.

Rpta:

15. Se lanza un dado. Si el número es impar.

Cuál es la probabilidad de que sea primo.

Rpta:

16. Una clase tiene 10 niños y 4 niñas. Si se

escogen tres estudiantes de la clase al

azar. ¿Cuál es la probabilidad de que

sean todos niños?

Rpta:

17. Se tiene 2 dados tetraédricos; ¿Cuál es la

probabilidad que al lanzarlos al aire

resulte una suma 6?

Rpta:

18. Se lanza un dado en forma de

dodecaedro (12 caras), de modo que sus

caras están numeradas del 1 al 12; ¿Cuál

es la probabilidad de obtener en la cara

inferior (base) un número primo?

Rpta:

19. Un dado es lanzado dos veces. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener en el primer

lanzamiento un 6 y en el segundo

lanzamiento otro 6?

Rpta:

20. Se lanza 3 monedas al aire. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener solo caras ó solo

sellos?

Rpta:

Page 9: -ANALISIS-COMBINATORIO

EJERCICIOS PARA LA CASA

1. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar una

moneda al aire, se obtenga cara?

a) 0,2 b) 0,3

c) 0,4 d) 0,5

e) 0,6

2. ¿Cuál es la probabilidad de que, de una

baraja de cartas, al extraer una de ellas

se obtenga un AS?

a) 1/6 b) 1/4

c) 1/9 d) 1/12

e) 1/13

3. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un

dado al aire, resulte un número par?

a) 0,4 b) 0,25

c) 0,5 d) 0,45

e) 0,35

4. Se lanza una moneda y un dado; calcular la

probabilidad que resulte cara y el número 6.

a) 1/9 b) 2/11

c) 1/12 d) 1/3

e) 1/6

5. Se lanza al aire un dado común y uno

tetraédrico; ¿Cuál es la probabilidad de

obtener un número para en el dado

común y un número impar en el dado

tetraédrico?

a) 1/4 b) 1/24

c) 7/24 d) 5/24

e) 9/24

6. Se lanzan dos dados al aire; ¿Cuál es la

probabilidad que resulten dos números

iguales?

a) 1/36 b) 1/18

c) 1/9 d) 1/6

e) 1/4

7. En una urna colocamos 15 bolas, de las

cuales 7 son rojas. ¿Cual es la

probabilidad de obtener una bola que no

sea roja, al extraer al azar una bola de la

urna?

a) 7/15 b) 7/8

c) 8/15 d) 1/8

e) 1/7

8. Se extraen 2 cartas aleatoriamente de

una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la

probabilidad que estas cartas sean de

figuras (11; 12 y 13)?

a) 71/221 b) 11/221

c) 22/221 d) 32/221

e) 72/221

9. Se lanzan un par de dados. Si los números que

resultan son diferentes. Hallar la probabilidad

de que se suma sea impar.

a) 2/5 b) 3/5

c) 7/10 d) 1/3

e) 2/8

10. Un lote de 12 focos de luz tiene 4

defectuosos. Se toman al azar 3 focos del

lote uno tres otro. Hallar la probabilidad

de que los 3 estén buenos?

a) 8/12 b) 14/33

c) 14/55 d) 14/77

e) N.A

Page 10: -ANALISIS-COMBINATORIO

11. En una caja hay 18 tarjetas blancas, 8

negras, 6 azules, 9 verdes y 3 amarrillas.

Sin mirar se saca una tarjeta. ¿Cuál es la

probabilidad de que sea blanca o negra?

a) 13/22 b) 6/11

c) 27/44 d) 11/22

e) N.A

12. Se lanzan dos monedas y unos dados

¿Cuál es la probabilidad de obtener dos

caras y un múltiplo de 3?

a) 1/8 b) 1/9

c) 1/10 d) 1/11

e) 1/12

13. Se tiene 3 dados tetraédricos cuyas caras

numeradas del 1 al 4; ¿Cuál es la

probabilidad que resulten tres unos?

a) 1/64 b) 1/12

c) 1/4 d) 1/9

e) 1/20

14. Hay 60 compradores, de los cuales 37

adquirieron artículos de tocador y 38

adquirieron artículos de lencería. Se elige

al azar un comprador. ¿Cuál es la

probabilidad que haya comprado solo

artículos de tocador o solo artículos de

lencería?

a) 1/4 b) 1/2

c) 3/4 d) 2/3

e) 5/13

15. Se lanzan dos dados al aire. ¿Cuál es la

probabilidad que el número de puntos de

uno sea divisor del número de puntos del

otro?

a) 19/36 b) 11/36

c) 21/36 d) 11/18

e) 23/36

Page 11: -ANALISIS-COMBINATORIO

MISCELÁNEA

01. Dos dados perfectos dan “x”

posibilidades de que salga el número 7 e

“y” posibilidades de que salga el número

9. Hallar .

a) 7/9 b) 9/7

c) 3/2 d) 2/3

e) 1

02. Se tiene un cuadrado de lado igual a 4m.

Si unen los puntos medios, se genera

otro cuadrado en el cual al unirse sus

puntos medios genera otro y así

sucesivamente, infinitas veces. La suma

de las áreas de todos los cuadrados

será:

a) 16 m2 b) 64 m2

c) 48 m2 d) 32 m2

e) 8 m2

03. Si en un triángulo uno de los ángulos es

igual a la suma de los otros dos, de éstos

uno de ellos está comprendido entre 20º

y 50º; el otro estará entre:

a) 40º y 70º

b) 20º y 50º

c) 50º y 110º

d) 130 y 160

e) 30º y 150º

04. Jany tiene 6125 en monedas de 5 soles

con los cuales hace tantos grupos

iguales de estas monedas como

monedas tiene cada grupo. ¿Cuál es el

valor de cada grupo?.

a) 125 b) 150

c) 175 d) 750

e) 625

05. Carol y Coco parten al mismo tiempo en

un velódromo de 90m. de circunferencia

y en el mismo sentido, si Carol corre con

la velocidad de 2,90 m/s y Coco con 2,54

m/s. Calcular la suma de las distancias

recorridas hasta su encuentro.

a) 1200 b) 1088

c) 1000 d) 1500

e) 1360

06. En una caja hay 18 bolas blancas, 15

bolas amarillas, 7 bolas blancas; cuántas

bolas como mínimo debe de sacar para

obtener 2 bolas de cada color.

a) 32 b) 40

c) 35 d) 98

e) 33

07. Leoncio vende un mueble en 1200 soles,

ganando en la venta el 20% sobre el

precio de venta. ¿Cuánto había

costado?.

a) 210 b) 315

c) 960 d) 800

e) 1000

08. Una bicicleta tiene las siguientes

características: El diámetro de la llanta

delantera es el triple con respecto a la

llanta trasera, si ésta da 90 vueltas,

¿cuántas vueltas dará la llanta

delantera?.

a) 15 b) 90

c) 180 d) 250

e) 30

09. Un automóvil rojo y verde parten del

mismo lugar en direcciones opuestas, el

verde viaja a 5 Km/h más rápido que el

rojo. Después de 4 horas ambos se

encuentran separados por 780 Km.

¿Cuál es la velocidad del automóvil

verde?.

a) 60 b)80

c) 100 d) 120

e) 95

Page 12: -ANALISIS-COMBINATORIO

10. Ricky compagina 10 000 copias en 3½ días

y Alex lo hace en días; si compaginan

simultáneamente Ricky y Alex. ¿En 7 días

cuántas copias habrán compaginado?.

a) 15000 b) 10000

c) 5000 d) 50000

e) 500000

11. Un caño llena un pozo en 4 horas y otro

lo vacía en 6 horas; ¿En qué tiempo se

llenará el pozo, si se abre el desagüe

una hora después de abrir el canal de

entrada.

a) 11 horas b) 10 horas

c) 12 horas d) 13 horas

e) 9 horas

12. Un piloto ha trabajado en 2 compañías

distintas, durante 50 horas. En la primera

compañía le han pagado S/.120 soles la

hora de vuelo y en la segunda S/.150

soles por hora de vuelo. Ha recibido en

total S/.6810. ¿Cuántas horas trabajó en

la primera compañía.

a) 27 b) 23

c) 28 d) 25

e) 26

13. En un examen Antonio obtuvo menos

puntos que Ángel; Dante menos puntos

que Antonio y Alberto más puntos que

Ernesto. Si Ernesto obtuvo más puntos

que Ángel. ¿Quién obtuvo el puntaje más

alto?

a) Ernesto b) Antonio

c) Ángel d) Alberto

e) Ángel o Alberto

14. Un comerciante por cada 100 huevos que

compra se le rompe 10 y por cada 100 huevos

que vende regala diez; si vendió 1800 huevos.

¿Cuántos huevos compró inicialmente?

a) 2000 b) 2200

c) 2150 d) 1890

e) 2180

15. Un alambre de 51 metros de largo se le

dió 3 cortes de manera que la longitud de

cada trozo resultante es igual al del

inmediato anterior aumentado en 1/2 .

¿Cuál es la longitud del primer trozo?.

a) 24,40 b) 17,20

c) 14,40 d) 16,50

e) 24,20

16. Se tiene 3 números enteros y diferentes

cuyo producto es 21952. Si la suma, del

primero y segundo es a la suma del

segundo con el tercero, como el segundo

es al tercero. Hallar la suma de los tres

números sabiendo que es la máxima

posible.

a) 98 b) 93

c) 812 d) 813

e) 814

17. Tres obreros A, B y C pueden hacer una

obra en 3a, 4a y 5a días

respectivamente; trabajan los 3 juntos y

cobran N soles por la obra. SI hacen un

reparto equitativo en vez del reparto

justo, uno de ellos recibe 750 soles más.

Hallar N.

a) 6000 b) 9000

c) 7000 d) 8000

e) 5000

18. Una obra debe hacerse en 10 días, 7

obreros hacen los 7/15 y con la ayuda de

5 obreros más la concluyen a tiempo.

¿Cuántos días trabajaron los últimos

obreros?

Page 13: -ANALISIS-COMBINATORIO

a) 4 días b) 5 días

c) 6 días d) 7 días

e) 3 días

19. El kilo de naranjas tiene de 5 a 7

naranjas y el kilo de manzanas de 4 a 6

manzanas. Una señora que no puede

cargar más de 15 kilogramos decide

comprar 3 docenas de manzanas de las

más pequeñas y el resto del peso

completarlo con naranjas de las más

grandes. ¿Cuántas naranjas tendría que

comprar?.

a) 30 b) 45

c) 38 d) 43

e) 41

20. ¿Qué distancia tiene un foco luminoso a un

espejo cóncavo de 120 cm. de radio de

curvatura. Si su imagen está 160 cm. más

próxima al espejo.

a) 220 cm. b) 240 cm.

c) 230 cm. d) 245 cm.

e) 225 cm.

21. Si a un número de tres cifras que

empieza por 9, se le suprime esta cifra,

queda 1/21 del número. ¿Cuál es la

suma de las cifras del número?.

a) 15 b) 16

c) 17 d) 18

e) 19

22. Una persona que sabe un secreto lo cuenta

a 8 personas; cada una de éstas 9 personas

lo cuentan a otras 9 y cada una de éstas

última a otras 9 personas. ¿Cuántas

personas conocen el secreto?.

a) 648 b) 27

c) 819 d) 729

e) 237

23. Sobre una pista horizontal y a la

velocidad constante de 72 km/h se

desplazó un auto y el diámetro de sus

llantas es 0,5 m. Calcular el tiempo en

que una llanta da una vuelta completa.

a) b) 1 s

c) d)

e) Se puede depreciar por ser pequeño

24. Por intervenir en un juego de tiro al

blanco un jugador pagó S/.10; si acierta

recibe S/.20 y si no, pierde sus S/.10.

Después de tres juegos aumentó su

capital en S/.30; entonces:

a) Perdió en el tercer juego.

b) Ganó los tres juegos.

c) Ganó solo el primer juego.

d) Ganó el primer y tercer juego.

e) Perdió el primer juego.

25. Cada año se planta 25 bulbos de

gladiolos, de ellos de 20 a 22 producen

flores cada año. ¿Cuál es el porcentaje

máximo de flores producidas en un año

cualquiera?.

a) 12% b) 20%

c) 22% d) 80%

e) 88%

26. Las áreas de dos cuadrados suman 2696

y el producto de sus diagonales es 1400.

¿En cuánto excede el lado del cuadrado

más grande al lado del cuadrado más

pequeño?.

a) 18 b) 36

c) 54 d) 60

e) 72

27. Un carpintero construye un mínimo de “t”

mesas. En “d” días ha construido “m” mesas

más que el mínimo. ¿Cuál es el número

promedio de mesas que construyó cada día?

Page 14: -ANALISIS-COMBINATORIO

a) b)

c) d)

e)

28. Un barbero puede cortar el cabello a “x”

personas en una hora, y puede afeitar a

“y” personas en una hora si todos sus

clientes desean ambos servicios. ¿A

cuántos clientes puede atender en una

hora?

a) b)

c) d)

e)

29. Pedro y Pablo con sus hijos Tom y Dick

compran libros y cuando han terminado se

comprueba que cada uno ha pagado por cada

uno de sus libros un número de soles igual al

número de libros que ha comprado. Cada

familia ha gastado S/.65,00. Pedro compró un

libro más que Tom, y Dick ha comprado un

solo libro. ¿Quién es el padre de Dick y

cuántos libros compró Tom?

a) Pedro, 6 b) Pablo, 7

c) Pedro, 7 d) Pablo, 6

e) Pedro, 5

30. La vida de una máquina se estima en 7 años y

8 meses. ¿A qué tanto por ciento anual se

considera la amortización?.

a) 11,05% b) 13,04%

c) 12,10% d) 15,20%

e) 5%

31. Un comerciante compra un artículo en

S/.2000. ¿Qué precio deberá fijar para la

venta, de tal manera que al hacer un

descuento del 20% aún así tiene una

utilidad del 25% del precio de costo?

a) S/.3125 b) S/. 3625

c) S/.2549 d) S/.3025

e) S/.3250

32. 40 litros de agua de mar contienen 3,5

Kg. de sal. ¿Qué cantidad de agua se

debe evaporar para que 20 litros de la

nueva solución contenga 3 Kg. De sal?

a) 15 1/2 litros

b) 12 1/3 litros

c) 16 2/3 litros

d) 70/3 litros

e) 23 1/3 litros

33. Para tres números pares se cumple que:- Su P.A. es 14- Su P.G. es igual a uno de los tres

números.- Su P.H. es 72/7

Calcular el mayor de dichos números.a) 18 b) 20 c) 24d) 30 e) 32

34. En una caja hay 80 lapiceros entre rojos, azules y negro el número de lapiceros de cada color es respectivamente proporcional a los números 1; 2; 5. ¿Cuántos lapiceros negros hay?.a) 10 b) 20 c) 50d) 15 e) 25

35. Un Club tiene 17 miembros, de los cuales 8 son mujeres, ¿cuántas Juntas Directivas, de tres miembros: Presidente, vicepresidente y Vocal, pueden formarse? Sabemos que el Presidente debe ser un hombre y la Vicepresidenta una mujer.a) 540 b) 1080 c) 720d) 1054 e) 504

Page 15: -ANALISIS-COMBINATORIO

36. En la figura ABCD es un paralelogramo

de área “S”, siendo “M” y “N” puntos

medios, hallar el área del triángulo

sombreado.

a) S/. 8 b) S/.16

c) S/.12 c) S/.32 e) S/.10

37. Dados las siguientes fracciones:

I. 5/6 : Impropia

II. 5/18 : Periódica Mixta

III. 2/3 : Propia

IV. 2/6 : Periódica pura.

Son verdaderas:

a) Solo II b) II, III y IV

c) II y III d) II y IV

e) Todas

38. Se tiene dos cajas, en una hay 8 dados

negros y 8 dados blancos y en la otra

hay 8 bolas blancas y 8 bolas negras.

¿Cuál es el menor número de objetivos

que se deben sacar de ambas cajas para

que se deben sacar de ambas cajas para

tener necesariamente entre ellos un par

de dados y un par de bolas, todos del

mismo color?.

a) 6 b) 8 c) 13

d) 9 e) 15

39. Si de un depósito, que está lleno 1/3 de

lo que no está lleno, se vacía una

cantidad igual a 1/8 de lo que no se

vacía; ¿Qué parte del volumen del

depósito quedará con líquido?.

a) 5/32 b) 1/4 c) 2/9

d)5/14 e) 4/9

40. En un grupo de 125 chinitos; el doble de

los que comen arroz con sal solamente,

comen arroz sin sal solamente y hay

tantos chinos que comen arroz con sal y

sin sal a la vez como los que comen

arroz sin sal solamente. ¿Cuántos comen

arroz con sal?.

a) 5 b) 75 c) 100

d) 25 e) 50

1. Cuántos números de 6 cifras no repetidas pueden formarse con las cifras: 1; 2; 3; 4; 5; 6?

Rpta.:

2. Tenemos 5 objetos de diferente color cada uno. ¿Cuántas permutaciones puedo lograr con ellos?

Rpta.:

3. 4 personas entran en un vagón de ferrocarril en el que hay 7 asientos. De cuantas maneras diferentes pueden sentarse.

Rpta.:

4. Simplificar:

Rpta.:

5. Hallar “P” en:

Rpta.:

6. Hallar “x” si:

Rpta.:7. ¿De cuantas formas podemos distribuir 4

caramelos idénticos entre 3 niños?

Rpta.:

8. Un vendedor tiene que visitar las ciudades A, B y C. ¿De cuantas maneras podrá programar su itinerario de viaje?

Rpta.:

9. ¿De cuantas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra ARMO?

Page 16: -ANALISIS-COMBINATORIO

Rpta.:

10. Con las cifras: 2; 4; 5; 7; 9 ¿Cuántos número de 3 cifras se pueden formar?

Rpta.:

11. Hallar el valor de: si:

Rpta.:

12. Simplificar:

Rpta.:

13. Simplificar:

Rpta.:

14. ¿De cuantas maneras diferentes podrá

ubicarse en la fila, Renato, Adriana y

Sheyla?

Rpta.:

15. ¿De cuantas maneras pueden formar 5

soldados en una fila?

Rpta.:

16. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se

pueden determinar con las cifras: 8; 5;

1; 3?

Rpta.:

17. en una reunión hay 30 personas. ¿Cuántos

apretones de mano se producirán al darse

todos ellos entre si?

Rpta.:

18. ¿De cuantas maneras distintas, se pueden

sentar 5 personas alrededor de una mesa

circular?

Rpta.:

19. ¿De cuantas maneras diferentes podemos

ordenar en un estante dos libros e

matemática y 3 de Ciencias Sociales de tal

manera que los de Matemática estén

siempre juntos?

Rpta.:

20. Rita tiene 7 blusas de diferente color; si va a

realizar un viaje y solo puede llevar en su

equipaje 4 blusas, ¿De cuantas maneras

podrá escoger dichas blusas?

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Tenemos 5 objetos de diferente color cada uno. ¿Cuántas combinaciones, hay, si lo tomamos de 3 en 3?

a) 12 b) 9c) 10 d) 15e) 16

2. De cuantas maneras pueden seleccionarse una consonante y una vocal de las letras de palabra: cautivo

a) 4 b) 7c) 15 d) 18e) N.A.

3. hallar “u” en:

a) 32 b) 64c) 1/2 d) 1e) N.A.

4. ¿Cuántos numerales de tres cifras diferentes o de 4 cifras diferentes, se pueden escribir con los dígitos del siguiente conjunto: A = {1; 3; 5; 7; 9}?

Page 17: -ANALISIS-COMBINATORIO

a) 180 b) 120c) 60 d) 140e) 800

5. ¿De cuantas maneras diferentes pueden llegar a la meta 3 caballos en una competencia hípica?

a) 7 b) 9c) 15 d) 28e) 13

6. Un club tiene 20 socios. ¿De cuantas maneras se podrá formar una comisión de 3 miembros?a) 120 b) 1140c) 600 d) 1800e) N.A.

7. Simplificar:

a) b)

c) d)

e)

8. Calcular el número de combinaciones que pueden obtener si se tiene 6 elementos, al tomárselas de 3 en 3.

a) 10 b) 15c) 20 d) 25e) 18

9. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente dos oficinas, cualesquiera de las 7 que hay en un edificio?

a) 7 b) 9c) 21 d) 35e) N.A.

10. Tenemos la palabra SARGENTO. ¿Cuántas palabras podrán formarse, de tal manera que las consonantes ocupen sus mismos lugares?

a) 144 b) 720

c) 620 d) 185e) Ninguna

11. Hallar: “x + m” si: ; además:

a) 19 b) 10c) 9 d) 1e) N.A.

12. Hallar: , si:

a) 14 b) 24c) 42 d) 56e) N.A.

13. Con 6 pasos diferentes de 1, 2, 5, 10, 20 y 50 Kg. ¿Cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse, tomando aquellas de 3 en 3?

a) 5 b) 1c) 25 d) 15e) 20

14. Hallar “n” en: .

a) 4 b) 10c) 6 d) 8e) 5

15. Hallar “n” en:

a) 3 b) 7c) 9 d) 1e) 6

TEMA: PROBALIDADES

Al lanzar una moneda existe la posibilidad de obtener una cara o un sello. So yo quisiera que la moneda muestre cara, habría una posibilidad entre dos que ocurra. Decimos entonces que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½.

Si lanzamos un dado hay seis resultados posibles, cualesquiera de los seis número podría verse. Si quisiéramos que salga un

Page 18: -ANALISIS-COMBINATORIO

número para habría 3 posibilidades (2; 4 y 6) de un total de seis (2; 2; 3; 4; 5 y 6) que se pueden obtener. La probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado será:

Si tenemos una baraja de cartas y extraigo una, la probabilidad de que esta sea de diamante será:

Si en un salón de clases hay 20 alumnos varones y 30 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad que al salid un alumno del aula, este sea mujer?

Recordemos:

Probabilidad: Definición clásicaLa probabilidad de ocurrencias es la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Donde: 0 P 1

La probabilidad de un evento cualquiera está comprendido entre 0 y 1; en el caso que sea 0: (cero), es un evento imposible; en el caso de que sea 1, el evento es seguro.

Es importante aclarar que esta manera de definir la probabilidad se basa en el supuesto que todos los resultados posibles son igualmente probables, es decir que tienen la misma posibilidad de salir. No ocurre así si es que la moneda esta acuñada de tal forma que es mas pesada hacia un lado, o si el lado esta cargado o las cartas están marcadas.

Debemos recordar que:

El espacio muestral es el conjunto de todos los casos posibles asociados a un experimento.

Por ejemplo al lanzar una moneda el espacio muestral () seria conjunto de dos elementos:

= {cara; sello}

Si se lanza un dado, el espacio muestral asociado a este experimento seria:

= {1; 2; 3; 4; 5; 6}

EVENTOS INDEPENDIENTES

Como su nombre lo indica son eventos que no dependen entre sí para su ocurrencia; por ejemplo al lanzar una moneda por segunda vez el resultado del lanzamiento de la primera no afecta en el resultado de ésta.

¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de una moneda dos veces?En el primer lanzamiento la probabilidad de obtener un sello es ½, lo representamos así:

P (s1) =

En el segundo lanzamiento la probabilidad de obtener un sello, dado que en el lanzamiento anterior se obtuvo sello es:

P (s2) =

Luego la probabilidad que ocurran ambos será:

P (s1 s2) = P (s1) x P (s2) (sucesos independientes)

= 1/4

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Son aquellos cuya ocurrencia no es simultánea. Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras o 2 sellos en el lanzamiento de dos monedas?Definimos:C1 : Obtener cara en el primer lanzamientoC2 : Obtener cara en el segundo lanzamientoS1 : Obtener sello en el primer lanzamientoS2 : Obtener sello en el segundo lanzamiento

A = C1 C2; B = S1 S2

P (C1 C2) = P (C1) x P (C2) =

Page 19: -ANALISIS-COMBINATORIO

P (S1 S2) = P (S1) x P (S2) =

Luego:P (A B) = P (A) + P (B) =

Por que A y B son excluyentes dado que no pueden salir dos caras y dos sellos al mismo tiempo lanzando una moneda dos veces.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al ver el reloj sea más de las 12 meridiano?

Rpta.:

2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de 3 monedas?

Rpta.:

3. en un salón de clases hay 35 alumnos, de los cual, 20 son limeños; ¿Cuál es la probabilidad que al elegir uno al azar resulte no limeño?

Rpta.:

4. En una caja se tienen 12 bolas negras y 18 azules; ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una al azar, resulte azul?Rpta.:

5. ¿Cuál es la probabilidad de que, de una baraja de cartas, al extraer una de ellas se obtenga un As?Rpta.:

6. Las caras de un lápiz hexagonal se numeran del 1 al 6; ¿Cuál es la probabilidad que al hacerlo rodar se obtenga un número no menor que 3?Rpta.:

7. Considerando a una gestante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que nazca varón y mediante cesárea?Rpta.:

8. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado al aire, resulte un número par?Rpta.:

9. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta de espadas de una baraja?Rpta.:

10. En un bingo, un jugador está esperando se “cante” una bola, y de los 40 números ya se

anunciaron 30, ¿Cuál será la probabilidad que se cante dicha bola?

Rpta.:

11. si a través de la ventana se observa el paso de las personas (dama o varón); que probabilidad hay que pase una dama.

Rpta.:12. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al

sumar los puntos de las caras superiores de lanzar 2 dados?Rpta.:

13. En una urna hay 8 bolas, 3 de color rojo y 5 de color blanco. Se extraen dos al mismo tiempo; ¿Cuál es la probabilidad de que haya una de cada color? Rpta.:

14. En una determinada ciudad, de cada 69132 bebes nacidos normalmente, 49380 son de sexo masculino; ¿Cuál es la probabilidad que el próximo bebe a nacer normalmente, sea niña?Rpta.:

15. Una tienda vende únicamente 4 bebidas, ¿Cuál es la probabilidad que el próximo cobrador elija unan de estas 4 bebidas?Rpta.:

16. Cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda al aire, se obtenga cara.Rpta.:

17. En una reunión social se cuentan 250 caballeros y 300 damas; ¿Cuál es la probabilidad que la primera persona que se retire sea dama?Rpta.:

18. Se lanzan 2 dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más 10 al multiplicar los puntos de las caras superiores?Rpta.:

19. Indicar la probabilidad de extraer una carta menor que 7 de una baraja.Rpta.:

20. el Instituto Nacional de Estadística e Informática informo que de 4815 jóvenes de 21 años, fallecen a los 25 años 963 de ellos. Calcular la probabilidad que un joven de 21 años, siga vivo luego de los 25 años.Rpta.:

Page 20: -ANALISIS-COMBINATORIO

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Se lanzan dos dados. Indicar la probabilidad de obtener por lo menos 10 en la suma de los puntos de las caras superioresa) 1/6 b) 1/2c) 1/4 d) 1/9e) 1/12

2. Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en el lanzamiento de dos monedas.a) 1/2 b) 3/4c) 1/4 d) 1/8e) 1/3

3. Se lanza un dado y una moneda, calcular la probabilidad que resulte cara y el número 6.a) 1/9 b) 2/11c) 1/12 d) 1/3e) 1/6

4. En el clásico juego de “kachito” (5 dados); ¿Cuál es la probabilidad que resulten 5 ases?a) 1/9 b) 1/4c) 1/6 d) 1/7776e) 1/30

5. Se lanzan al aire un dado común y uno tetraédrico; ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 7?a) 1/4 b) 1/24 c) 7/2d) 5/24 e) 9/24

6. Se tiene un dado tetraédrico y otro en forma de octaedro (ambos con sus caras numeradas a partir del 1). ¿Cuál es la probabilidad que la suma de las caras inferiores sea un cuadrado perfecto?a) 1/32 b) 5/32 c) 9/32d) 7/32 e) 11/32

7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 al extraer una carta de una baraja completa?a) 1/10 b) 1/11c) 1/12 d) 1/13e) 1/14

8. Se lanzan al aire 2 dados, ¿Cuál es la probabilidad que la diferencia de los puntos sea menor que 3?a) 2/3 b) 1/3c) 3/10 d) 25/26

e) N.A.

9. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad que salga un cinco y luego un 3?a) 5/36 b) 1/36c) 5/6 d) 1/6e) 11/36

10. En una fiesta, por cada 3 varones, había 2 mujeres. A la media noche se retira una persona. ¿Cuál es la probabilidad que sea una mujer?a) 2/3 b) 1/2c) 1/3 d) 3/5e) 2/5

11. Se lanzan dos monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos?

a) 1/4 b) 1/6c) 1/3 d) 1/2e) 1/9

12. se lanzan 2 dados al aire. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea un múltiplo de 3?

a) 1/2 b) 1/3c) 1/4 d) 1/5e) 1/6

13. Se lanza una moneda al aire y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la moneda y un número par de puntos en el dado?a) 1/2 b) 1/3c) 1/4 d) 1/5e) 1/6

14. Se lanzan dos dados al aire ¿Cuál es la probabilidad que resulten dos números iguales?a) 1/36 b) 1/38c) 1/9 d) 1/6e) 1/4

15. Se tiene 3 dados tetraédricos cuyas caras están numeradas del 1 al 4; ¿Cuál es la probabilidad que resultan tres unos?a) 1/64 b) 1/12c) 1/4 d) 1/9e) 1/20