Expresiones racionales

Así como llamamos números racionales a los números de la forma % con a y b ente-ros (b :t= O),llamaremos expresiones racionales a las expresiones de la forma:

P(x) ....••••f---

Q(x) ....••••l--- Denominador (no nulo)

umerador

donde P(x) y Q(x) son polinomios de una sola indeterminada x, siendo Q(x) no nulo.

Ejemplo 1: -ª- es una expresión racional, porque el numerador P(x) = 3 es un polinomio y el denominadorxQ(x) = x también es un polínomio.

. -3x2+ 5x-1Ejemplo 2: x3 + 6X2 + \12 es una ,

porque P(x) = es un ..: y

Q(x) = .

Ejemplo 3: -0 + 2x2X3 + Vx no es una expresión racional, porque .

la función racionalLlamamos funciones racionales a las funciones cuya fórmula es una expresión ra-

cional:

f(x) = P(x)Q(x)

Salvo que se indique otra cosa, debe quedar entendido que el dominio de una fun-ción es el conjunto más amplio de números reales para el cual la fórmula tiene senti-do. Como la división por Ono está definida, el dominio de una función racional esel conjunto de todos los valores de la variable que no anulan al denom'inador.

Cuando trabajamos con funciones racionales, como su dominio puede no ser m, es muy importante que ten-qamos constantemente presente su dominio.

Ejemplo 1: El dominio de la función g(x) = ~ es: Dom g = m - { }x-2

Ejemplo 2: El dominio de la función p(x) = ~ es: Dom p = .x+7

x-3Ejemplo 3: El dominio de la función q(x) = es: Dom q = .x. ex + 3)

X2 + 1Ejemplo 4: El dominio de la función r(x) = es: Dom r = .ex -5)(x + 2)

Ejemplo 5: Consideremos la función h(x) = 3x + 4X2 - 9

Para indicar su dominio, necesitamos excluir las de su denominador, y como éste es un poli-

nomio, utilizaremos las técnicas que aprendimos para hallarlas.

Factorízamos el................................................... • x2 - 9 = .

Raíces del denominador: xl = x2 = => Dom h = IR - { }

Ejemplo 6: Consideremos la función j(x) = x2 - 1x3+ 3x2-x- 3

Para indicar su dorninio, factorizamos el denominador:

x3 + 3x2 - x - 3 = .Raíces del denominador: xl = x2 = x3 = => Dom j = .

Simplificación de expresiones racionales

Al trabajar con funciones racionales nos resultará conveniente simplificar sus fórmulas, es decir, sus expre-siones racionales. Es posible simplificarlas cuando existen factores comunes al numerador y al denomina-dor; de lo contrario, la expresión racional es irreducible.

Consideremos la función j(x) del ejemplo 6. Una vez factorizados su numerador y su denominador, podemosexpresar su fórmula así:

j(x) = _-"C-,-x_-_1)<.>C"",x,.....+_1,L)--:-(x + 3)(x - 1)(x + 1)

Simplificamos todos los factores comunes:

j(x) = ~~ 1(x+3)~C~ =~

Las dos expresiones racionales anteriores son equivalentes. Es más sencillo trabajar con la irreducible, perosin perder de vista que el dominio de la función es el que quedó determinado a partir de la expresiónoriginal. . "'>-

(x» 1; x,;-l)

Entonces, podemos escribir: j(x) = __ 1_ con Domj = IR - { }x+3

r-: racti uen

f(x)=~x2 + X

(x) = -x + 29 x3 - 4x

x4 + 6x3 + 5x2 - 24x - 36m (x) = ---'--'---'--':..:..:.......,::--=-:--'----'-----'--''-'---x2 + x - 6

~ 3. Simplicio afirma que el dominio de la función

f(x) = 3 4x + : Ir es IR. ¿ Es cierto? ¿Por qué?x +x+ v5

2. Indiquen el dominio de cada función y, si es posible, sim-plifiquen sus fórmulas para que sean irreducibles.

h(x) = x4 + 16x4 -1

'( ) x3 - 49xJ x =---:------,:----x3 -14x2 + 49x

Gráficos de funciones racionales

y , 1.f f{[\ ~:.¡=.I '\.;¡ 1 Ii I

I :-r-;. R o V x I"- 1 I i

" I.. 1\ II¡

Intersección con el eje y

La intersección del gráfico de una función f(x) con el eje y se produce cuando la va-riable x se anula. Esto es posible únicamente si x = Opertenece al dominio de f(x); encaso contrario, no hay intersección.

Ejemplo: Consideremos la función f(x) = ~ Dom f = .x2 + 1

Nos preguntamos: ¿x = Opertenece al dominio de f?: ; entonces,

calculamos feO) = - 2 = => La intersección del gráfico de (...... 2+ 1

con el eje y es el punto Py = ( ; )

Ceros

Las intersecciones del gráfico de una función racional f(x) con el eje x se producenpara los valores de x que anulan la función, es decir, para aquellos que anulan alnu-merador y que pertenecen al dominio de f. Esos valores de x, síexisten.ison los cerosde f(x).

Ejemplo 1: Hallemos los ceros de la función f(x) = ~x-l

Dom f' » .

Para hallar los ceros, resolvemos la ecuación: x + 1 = O => x = .::.... : ..

Como x = -1pertenece al dominio de f, el conjunto de ceros de f(x)~:

co = { }

Ejemplo 2: Consideremos la función g(x) =

Dom g = .

Factorizamos los polinomios y simplificamos: _(.>......_.._.. ·_·.._.._.. ·_·..t__= --

( )( )

Obtuvimos una expresión de g(x) que es igual a la de f(x) del ejemploI.Sin embargo, g(x) y f(x) no son la misma función, ya que sus domiriiosson distintos. Intentemos hallar los ceros de g(x):

Planteamos: = O => x = .Obtuvimos un valor de x que no pertenece al domiríío de g. Luego, Co = .

~~racti uen

y I'. 1'\ !

..••.!'-J.i

1-

r-,o , :i ~ x'. I\.Ix.1 ¡

'f~1 m :1I 1

yl Jr-, Ji

"" I

I Ir-.,O ,-.1'\

I~+ /1 +:1 I

1\ x ~IJ

4. Indiquen el punto de intersección del gráfico de cada unade las siguientes funciones con el eje y; si es que existe:

existen.Analicen la validez de las siguientes afirmaciones:a) Una función corta el eje ya lo sumo una vez.b) Una función corta el eje x a lo sumo una vez.e) Si Dom f = IR => f(x) corta el eje y.d) Si Dom f = IR => f(x) corta el eje x.

~ 6.

x4 -16g(x)=-- x-2

5xh(x)=--.x3 + x

5. Hallen los ceros de las funciones del ejercicio 4, si es que

Asíntotas verticales

Estudiaremos una característica que suelen presentar algunas funciones racionales.

Consideremos la función f(x) = !'cuyo dominio es: Dom f = Como no podemos calcular f(O),

analizaremos las imágenes de f(x) para valores de x muy próximos a O.

A) Si nos acercamos al °por la derecha (0+):

x

res cada vez más próximos

a Opor la derecha, los va-

lores de f(x) son cada vez

Lo indicamos así:Si x tiende a 0+=>=> f(x) tiende a +00

(+00 ~e lee: más infinito).

y 1+00

,f(x).-X

B) Si nos acercamos al °por la izquierda (0-):

0---'I----------------------~x

-, o

• f(-O,OOOl) = .• f(-O,OOOOl) = .• f(-O,OOOOOl) = .

A medida que x toma valo-

res cada vez más próximos

a Opor la izquierda, los

valores de f(x) son cada vez

Lo indicamos así:Si x tiende a 0- =>=> f(x) tiende a -00

(-00 se lee: menos infinito).

• f(O,OOOl) = .

• f(O,OOOOl) = .• f(O,OOOOOl) = .

A medida que x toma valo-

o t r-

y0-

-----ttt"it=->x1/1 o,

f{x) --X

El gráfico de f(x) = ~ tiene una rama derecha y una rama izquierdax

Six tiende a 0, cada una de las ramas se aproxima a la recta ver-

tical cuya ecuación es x = (es el eje y).

y

Valores de f(x) t ~cada vez mayores \ 1

f(x,.-X

Esa recta es una asíntota vertical de la función.

-" ~ x próximo a oAsíntota

Val?res de f(x) ¡ r- verticalcada vez mayores I x = O.- "

x

Si el denominador de la formulá de una función racional no tiene ceros, esa fun-ción no tiene asíntotas verticales. En cambio, si a es cero del denominador y no anu-la al numerador, la recta de ecuación x = a es una asíntota vertical.

Por ejemplo: g(x) = 1 tiene dos asíntotas verticales cuyas ecuaciones(x + l)(x - 2)

on x = -1 Y x = 2.

¡3racti uen7. ¿Es cierto que la función f(x) = =l tiene una asíntota ver- ~ 8.

xtical de ecuación x = O? ¿Por qué?

y , !I gb1

-. : a'I 1 1\

.••.. o 1 \ ¡...... '=-I :2 i x

I \\ ;

- 1 1\1--, - 1 Ix - 2I

Consideren la función f(x) = __5__ e indiquen qué suce-x-4de con las imágenes de los valores de x que tienden a 4+

A) Valores de x cada vez mayores (+00):

Analicemos las imágenes de f(x) para valores de x cada vez mayores y para valores de x cada vez menores.

B) Valores de x cada vez menores (-00):

, Asíntotas horizontales

Continuaremos analizando la función f(x) = ~ para estudiar otra característica que suelen presentar algunasx

funciones racionales.

+00

I I--00

, [ )ri-}-> x -Hf: I i xO 1000 ·1000 O

• f(10 000) = .

• f(100 000) = .

• f(l 000 000) = .A medida que x toma valores cada vez mayores, los

valores de f(x) están cada vez más próximos a .

Si x tiende a +00 => f(x) tiende a O

y

1f{x) =-;

+00

~O+------=========~~~x

• f(-10 000) = .• f(-100 000) = .

• f(-l 000000) = .

A medida que x toma valores cada vez menores, lo

valores de f(x) están cada vez más próximos a .

Si x tiende a -00 => f(x) tiende a O

y

--00

-ff[t,·-=========-----no-r--'x

1f(x) = -;

Si x tiende a +00 o a -00 , cada una de las ramas del gráfico de f(x) se

aproxima a la recta horizontal cuya ecuación es: y = (es el eje

y

Asíntota ~horizontal 1y = O f(x) =-;

__~ ~x

O

......... ).

Esa recta es una asíntota horizontal de la función.

Valores de x. cada vez menores

Valores de xcada vez mayores

Una función racional tiene asíntota horizontal si el qrado del numerador de su ex-presión es menor o igual que el grado del denominador.

~racti uen9. ¿Es cierto que la función f(x) = -xl tiene una asíntota hori-

zontal de ecuación y= O? ¿Por qué?10. a) Analicen cómo son las imágenes de la función f(x) = 2X: 1

para valores de x cada vez mayores y para valores de x cadavez menores.b) Indiquen si f(x) tiene asíntota horizontal. En caso afir-mativo, escriban su ecuación.

11. Escriban las ecuaciones de las asíntotas verticales y hori-zontales de cada una de las funciones graficadas:

Iv I ! If- )\ I i

¡¡.9 : \ lo i '.1<

~~- r--- >-=- p.==-t -1f-I--l-I\ ~~3 '--f-f-l-

If-HtX-

I I I I

ly I, /i l ,H

ILc¿. /,I i-- -i- )L \--1_.f- ;--...-¡-r lr O 'x

-- !--í- ----1.

i 11,11

h MnfO'»1ntirn

Construcción del gráfico

Para graficar una función racional f(x), podemos seguir estos pasos:

.0 Indicamos el dominio de f'(x), a partir de su fórmula original._0 os fijamos si la expresión de f(x) es reducible. En caso de serlo, la simplificamos

y obtenemos la expresión de una nueva función s(x). Indicamos su dominio. A par-tir del gráfico de s(x) obtendremos el gráfico de I(x). El gráfico de f(x) es como elde sex), excepto para los valores de x que pertenecen al dominio de s pero no aldominio def En esos valores de x, el gráfico de f(x) tiene "agujeros".

".0 Analizamos si la función tiene asíntotas verticales. En caso de que existan, escri-bimos sus ecuaciones y las trazamos en el gráfico con una línea punteada .

.0 Analizamos si la función tiene asíntotas horizontales.

Para ello, considerando que fex) = ~~~ ,podemos utilizar este esquema:

... f! • • •gr[P{x)] < gr[Q{x)] y=o

gr[P{x)] = gr[Q{x)] y= coeficiente principal de P(x)coeficiente principal de Q(x)

gr[P{x)] > gr[Q{x)] No tiene

En caso de que existan, escribimos las ecuaciones de las asíntotas horizontales ylas trazamos en el gráfico con una línea punteada.

5.° Hallamos el punto de intersección del gráfico de la función con el eje y, si esque existe, y lo marcamos':

6.° Hallamos los ceros de la función, si es que existen, y los marcamos en el gráfico.7.° Si es necesario, calculamos algunas imágenes de la función que nos ayuden a tra-

zar el gráfico. Por ejemplo, si hay asíntotas verticales, suele ser útil obtener las imá-genes de los valores de x próximos a ellas, a uno y otro lado de cada una .

•0 Trazamos el gráfico de fex) de modo que la curva pase por los puntos que marca-mos y se aproxime a las asíntotas, si es que existen.

Ejemplo 1: Grafiquemos la función f(x) = X2 -24 ,cuyo dominio es Dom f 7 , ••..••........••••••.•••.x-Simplificamos la expresión: f(x) = (. )(. ) => s(x) = Dom s: .

- -.,Observamos que x = 2 pertenece al dominio de pero no al de Entonces, hacemos así:

1°. Graficamos s(x), que es una función lineal.

,, ! !

I I

,I I

I I I I !

i ' I! Ii I

I b , , ; I xi +.I I i" I í

2°. Construimos el gráfico de fex) , que es como el des(x) pero con un "agujero" en el punto que corres-pondería a la imagen de x = 2.

! I

I

,, '

-+

Ejemplo 2: Grafiquemos la función f(x) = 3x + 62x + 2

• Indicamos su dominio: Dom f = .

• ¿Es reducible la expresión de la fórmula de f(x)? .

• Analizamos si tiene asíntota vertical:

El valor de x que anula al denominador de la fórmula de f(x) es: x = Nos preguntamos: ¿anula también

al numerador? => La ecuación de la asíntota vertical es: x = .Trazamos una línea punteada para marcar esa asíntota.

• Analizamos si tiene asíntota horizontal:

Marcamos ese punto en el gráfico.

• Calculamos algunas imágenes más y marcamos esos puntos:

• Trazamos las dos ramas de la curva de f(x) haciéndola pasar por los puntos que marcamos antes y aproxi-,. .

mándola a las Debemos tener en cuenta que: sr .1-~ende a -1- => f(x) tiende a ,

si x tiende a -1+ => f(x) tiende a y si x tiende a +00 o a _00 => f(x) tiende a .

Como los grados de los polinomios numerador y de-

nominador son , calculamos el co-

ciente de los coeficientes .

Ecuación de la asíntota horizontal: y = ---

Trazamos una línea punteada para marcar esa asín-

tota.

• Hallamos la intersección del gráfico con el eje y:

f( ) = ---- - => Py = ( ; )

Marcamos ese punto.

• Hallamos los ceros:

Planteamos: = O

=> x = => cO = { }

f(l) = ..... f(2) = . f(-3) = ..... f(-4) = .....

~~racti uen

I J

r-v

i4

..,

I~

I,

~ -B .11 o : 4- -) -

I ~-

~ 13. Grafiquen las siguientes funciones:12. Grafiquen la función f(x) = 2x2 + 3xx2 + x

Para ello, después de indicar su dominio, simplifiquen laexpresión de la fórmula de f(x) y llamen s(x) a la funciónque obtuvieron, cuya expresión es irreducible, e indiquensu dominio. Analicen y grafiquen s(x) y después, sobre labase de ese gráfico, obtengan el de f(x), teniendo en cuen-

'. ta que si un valor de x pertenece al dominio de s(x) pero, .. no al de f(x), en esa abscisa habrá un "agujero" en el grá-

fico de f(x).

f(x) =3x + 122x-4

x3 + 2x2 + X + 2x+2

-x2 + x + 2x + 1

g(x)

h(x) =