Лекция 7: Векторные пространстваkadm.kmath.ru/files/linalg07.pdf ·...

Лекция 7: Векторные пространства

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,Институт математики и компьютерных наук,кафедра алгебры и дискретной математики

Б.М.Верников Лекция 7: Векторные пространства

Вступительные замечания

В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,т. е. теории конечномерных векторных пространств. Основная идея этойтеории, объясняющая ее унифицирующую роль, состоит в следующем.При рассмотрении математических объектов самой разной природы(векторов, матриц, многочленов, решений однородных систем линейныхуравнений и др.) оказывается, что на этих объектах можно естественнымобразом ввести операции, называемые обычно сложением и умножениемна число, которые обладают одними и теми же свойствами и во многомопределяют свойства рассматриваемых объектов. Это позволяет выделитьэти общие свойства операций, объявить их аксиомами, и исследоватьпроизвольное множество, на котором введены операции, удовлетворяющиеэтим аксиомам. Получающаяся теория оказывается очень содержательнойи, что важно, применимой в самых разных конкретных ситуациях.

В этой лекции будет введено понятие векторного пространства, приведеныпримеры векторных пространств, доказаны некоторые их простейшиесвойства, а также введены понятия линейно зависимого и линейнонезависимого наборов векторов и доказаны некоторые свойства такихнаборов.


Понятие операции

Определение

Пусть V — произвольное непустое множество, элементы которого мыбудем называть векторами (объяснение использования этого терминабудет дано ниже). В дальнейшем мы будем обозначать векторы (в новомсмысле этого слова) буквами, набранными жирным шрифтом, чтобыотличить их от обычных, «геометрических» векторов, рассматривавшихсяв курсе аналитической геометрии. Будем говорить, что:

на множестве V задана операция сложения, если любым двумвекторам x, y ∈ V поставлен в соответствие некоторый однозначноопределенный вектор z ∈ V , называемый суммой векторов x и y иобозначаемый через x + y;на множестве V задана операция умножения вектора на число, еслилюбому вектору x ∈ V и любому числу t поставлен в соответствиенекоторый однозначно определенный вектор y ∈ V , называемыйпроизведением вектора x на число t и обозначаемый через tx.

♣ Под словом «число» в этом определении и всюду далее в нашемкурсе понимается произвольное действительное число.

♣ Строго говоря, умножение вектора на число — это не одна операция,а бесконечное множество операций (по одной для каждого числа).


Определение векторного пространства

Определение

Векторным (или линейным) пространством называется произвольноенепустое множество V , на котором заданы операции сложения векторов иумножения вектора на число, удовлетворяющие следующим условиям,которые называются аксиомами векторного пространства:

1) если x, y ∈ V , то x + y = y + x (сложение векторов коммутативно);

2) если x, y, z ∈ V , то (x + y) + z = x + (y + z) (сложение векторовассоциативно);

3) для всякого x ∈ V существует вектор 0 ∈ V (называемый нулевымвектором) такой, что x + 0 = x;

4) для всякого x ∈ V существует вектор y ∈ V (называемыйпротивоположным к х и обозначаемый через −x) такой, что x+ y = 0;

5) если x, y ∈ V , а t ∈ R, то t(x + y) = tx + ty (умножение вектора начисло дистрибутивно относительно сложения векторов);

6) если x ∈ V , а t, s ∈ R, то (t + s)x = tx + sx (умножение вектора начисло дистрибутивно относительно сложения чисел);

7) если x ∈ V , а t, s ∈ R, то t(sx) = (ts)x;8) если x ∈ V , то 1 · x = x.


Примеры векторных пространств: физическое трехмерное пространство

Приведем примеры векторных пространств.

Пример 1. Пусть V — множество всех обычных («геометрических»)векторов трехмерного физического пространства с обычными операциямисложения векторов и умножения вектора на число. Как известно из курсааналитической геометрии, все аксиомы 1)–8) в этом случае выполнены(при этом роль нулевого вектора 0 играет вектор ~0), и потому V являетсявекторным пространством. Векторным пространством будет такжемножество всех векторов (в обычном смысле этого слова), коллинеарныхнекоторой плоскости или некоторой прямой.

Таким образом, свойства векторов в векторном пространстве являютсяобобщением свойств обычных, «геометрических» векторов. Именно этими объясняется использование термина «вектор» применительно кэлементам произвольного векторного пространства.


Примеры векторных пространств: пространство строк

Пример 2. Пусть n — произвольное натуральное число. Обозначим черезRn множество всевозможных упорядоченных последовательностей видаx = (x1, x2, . . . , xn), состоящих из действительных чисел. Этипоследовательности будем называть векторами (как мы увидим чутьниже, это название оправдано, так как множество всех такихпоследовательностей является векторным пространством). Числаx1, x2, . . . , xn назовем компонентами вектора x. На множестве Rn введемоперации сложения и умножения на число. Пусть x = (x1, x2, . . . , xn),y = (y1, y2, . . . , yn), а t — произвольное число. Положим

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) и tx = (tx1, tx2, . . . , txn).

Легко проверяется, что при таких определениях выполняются все аксиомы1)–8). При этом роль нулевого вектора играет вектор 0 = (0, 0, . . . , 0).Следовательно, множество Rn с введенными операциями являетсявекторным пространством. Это пространство называют пространствомстрок длины n или просто пространством строк. Оно играет особую роль втеории векторных пространств. Объяснение этому будет дано в концеследующей лекции.


Примеры векторных пространств: пространства строк малой длины

При n = 2, 3 пространство Rn имеет естественную геометрическуюинтерпретацию. Предположим, что в обычном трехмерном пространствезафиксирован некоторый базис (~b1,~b2,~b3). Тогда произвольный вектор ~xиз этого пространства можно отождествить с упорядоченной тройкойчисел — координатами вектора ~x в базисе (~b1,~b2,~b3), т. е. с элементомпространства R3. При сложении векторов из обычного трехмерногопространства и их умножении на число координаты векторов меняются потем же правилам, по которым складываются и умножаются на числавекторы из R3. Таким образом,

!! пространство R3 можно отождествить с обычным («физическим»)трехмерным пространством. Аналогично, пространство R2 можноотождествить с плоскостью в обычном трехмерном пространстве.

Отметим еще, что

пространство R1 — это не что иное, как множество всехдействительных чисел R, которое, таким образом, также можнорассматривать как векторное пространство.


Примеры векторных пространств: пространство матриц

Пример 3. Пусть m и n — произвольные целые числа. Обозначим черезMatm,n совокупность всех матриц размера m × n. Определим намножестве Matm,n операции сложения матриц и умножения матрицы начисло следующим образом: если A и B — матрицы размера m × n, то ихсуммой называется матрица C = (cij ) размера m × n, обозначаемая черезA+ B и определяемая правилом cij = aij + bij для всех i = 1, 2, . . . ,m иj = 1, 2, . . . , n, а произведением матрицы A на число t называется матрицаD = (dij ) размера m× n, обозначаемая через tA и определяемая правиломdij = taij для всех i = 1, 2, . . . ,m и j = 1, 2, . . . , n. Легко проверяется, чтопри таких определениях выполняются все аксиомы векторногопространства. При этом роль нулевого вектора играет нулевая матрица Oразмера m × n. Пространство Matm,n называется пространством матрицразмера m × n. При m = n получаем пространство квадратных матрицпорядка n. Векторным пространством будет также множество всехверхнетреугольных [нижнетреугольных] квадратных матриц одного и тогоже порядка.


Примеры векторных пространств: пространство многочленов ипространство функций

Пример 4. На множестве Pol всех многочленов от одной переменнойопределим обычные операции сложения многочленов и умножениямногочлена на число. Выполнимость всех аксиом векторного пространствалегко проверяется (роль нулевого вектора при этом играет многочлен, вкотором все коэффициенты равны 0). Таким образом, множество Polявляется векторным пространством. Оно называется пространствоммногочленов. Векторным пространством будет и множество Poln всехмногочленов степени 6 n, где n — произвольное натуральное число.

Пример 5. Рассмотрим множество всех функций от одной переменной,область определения которых совпадает с множеством R (или с каким-тоинтервалом в R). Введем операции сложения функций и умноженияфункции на число стандартным образом: если f и g — две функции, а t —действительное число, то функции f + g и tf определяютсясоответственно правилами (f + g)(x) = f (x) + g(x) и (tf )(x) = t · f (x) длявсякого x из области определения. Ясно, что все аксиомы векторногопространства выполнены (в качестве нулевого вектора выступает функция,значение которой при любом x равно 0). Это векторное пространствоназывается пространством функций. Векторным пространством будеттакже множество всех дифференцируемых (или интегрируемых) функцийс фиксированной областью определения.


Примеры векторных пространств: пространство решений однороднойсистемы линейных уравнений и нулевое пространство

Пример 6. Рассмотрим произвольную однородную систему линейныхуравнений с n неизвестными и обозначим через V множество всех еечастных решений. Ясно, что V ⊆ Rn. Из теоремы 1 в лекции 3 вытекает,что операции сложения векторов и умножения вектора на число,определенные в пространстве Rn, являются и операциями в V . Ясно, чтовсе аксиомы векторного пространства для множества V с этимиоперациями выполнены (в качестве нулевого вектора выступает нулевоерешение системы). Таким образом, множество V является векторнымпространством, которое называется пространством решений однороднойсистемы. Его рассмотрению будет целиком посвящена лекция 13.

Пример 7. Пусть V — произвольное множество, состоящее из одногоэлемента a. Операции сложения векторов и умножения вектора на число втаком множестве вводятся просто: a+ a = a и t · a = a для любого t. Ясно,что все аксиомы векторного пространства выполняются. Таким образом,V можно рассматривать как векторное пространство. При этом егоединственный элемент a будет нулевым вектором. Такое пространствоназывается нулевым.


Простейшие свойства векторных пространств: единственность нулевоговектора

Укажем ряд простых следствий из аксиом векторного пространства.

Аксиома 3) утверждает существование нулевого вектора, но не говорит отом, сколько нулевых векторов может быть в пространстве.

Лемма 1

Векторное пространство содержит только один нулевой вектор.

Доказательство. Пусть 0 и 0′ — два нулевых вектора векторногопространства V . Тогда из аксиомы 3) вытекает, что 0′ + 0 = 0′, а изаксиом 1) и 3) — что 0′ + 0 = 0 + 0′ = 0. Следовательно, 0′ = 0.


Простейшие свойства векторных пространств: единственностьпротивоположного вектора

Далее, аксиома 4) утверждает существование вектора, противоположногок вектору x, но не говорит о том, сколько таких векторов может быть.

Лемма 2

Для всякого вектора x из векторного пространства существует ровно одинпротивоположный к нему вектор.

Доказательство. Предположим, что векторы y1 и y2 противоположны к x,т. е. x + y1 = x + y2 = 0. Тогда, с одной стороны, используя аксиомы 1) и2), имеем

y2 + (x + y1) = (y2 + x) + y1 = (x + y2) + y1 = 0 + y1 = y1 + 0 = y1.

С другой стороны y2 + (x + y1) = y2 + 0 = y2. Следовательно, y1 = y2.


Простейшие свойства векторных пространств: когда произведениечисла на вектор равно нулевому вектору?

Укажем еще одно свойство операций в векторном пространстве.

Лемма 3

Пусть x — произвольный вектор из векторного пространства, а t —произвольное число. Равенство tx = 0 выполнено тогда и только тогда,когда либо t = 0, либо x = 0.

Доказательство. Достаточность. Проверим, что 0 · x = 0. В силу аксиом 6)и 8), x = (1+ 0) · x = 1 · x+ 0 · x = x+ 0 · x для любого вектора x. Учитываялемму 1, имеем 0 · x = 0. Аналогичным образом равенство t · 0 = 0следует из того, что tx = t(x + 0) = tx + t · 0.

Необходимость. Пусть tx = 0 и t 6= 0. Тогда, используя аксиомы 7) и 8),имеем x = 1 · x =

( 1t · t

)x = 1

t · (tx) =1t · 0. Из сказанного в предыдущем

абзаце вытекает, что 1t · 0 = 0. Итак, если tx = 0 и t 6= 0, то x = 0.


Разность векторов

Определим разность векторов x и y, полагая x− y = x + (−y). Из аксиомвекторного пространства и леммы 3 легко выводятся следующие равенства(где x и y — произвольные векторы, а t и s — произвольные числа):

t(−x) = −tx, t(x− y) = tx− ty и (t − s)x = tx− sx. (1)

В самом деле:t(−x) + tx = t(−x + x) = t · 0 = 0

(использованы аксиома 5) и лемма 3), откуда t(−x) = −tx;

t(x− y) = t(x + (−y)

)= tx + t(−y) = tx− ty

(использованы аксиома 5) и первое из равенств (1)), и

(t − s)x = tx + (−s)x = tx + s(−x) = tx− sx

(использованы аксиомы 6) и 7) и первое из равенств (1)).


Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и независимыесистемы векторов

Перейдем к понятиям, которые будут играть весьма важную роль вдальнейшем.

Определения

Пусть a1, a2, . . . , ak — система векторов из векторного пространства V , аt1, t2, . . . , tk — числа. Вектор вида

t1a1 + t2a2 + · · ·+ tkak (2)

называется линейной комбинацией векторов a1, a2, . . . , ak . Линейнаякомбинация (2) называется тривиальной, если t1 = t2 = · · · = tk = 0, инетривиальной, если хотя бы одно из чисел t1, t2, . . . , tk отлично от нуля.Если вектор b является линейной комбинацией векторов a1, a2, . . . , ak , тоговорят, что b линейно выражается через векторы a1, a2, . . . , ak . Векторыa1, a2, . . . , ak называются линейно зависимыми, если существуетнетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевомувектору, и линейно независимыми в противном случае, т. е. если любаянетривиальная комбинация этих векторов не равна нулевому вектору.


Линейная зависимость и независимость в обычном пространстве (1)

Как отмечалось выше, плоскость можно отождествить с пространствомR2, а трехмерное физическое пространство — с пространством R3.Оказывается, что введеные только что понятия линейной зависимости инезависимости векторов в этих двух частных случаях равносильнынекоторым хорошо знакомым нам из курса аналитической геометриипонятиям.

Замечание 1

а) Два вектора на плоскости или в трехмерном пространстве линейнозависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

б) Три вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы тогда итолько тогда, когда они компланарны.

Доказательство замечания 1 приведено на следующем слайде.


Линейная зависимость и независимость в обычном пространстве (2)

Доказательство. а) Если векторы ~a и ~b линейно зависимы, то p~a+ q~b = ~0для некоторых чисел p и q, хотя бы одно из которых отлично от 0. Пусть,без ограничения общности, p 6= 0. Тогда ~a = − q

p · ~b, и векторы ~a и ~bколлинеарны по критерию коллинеарности векторов. Предположимтеперь, что векторы ~a и ~b коллинеарны. Если ~b = ~0, то 0 ·~a+ 1 · ~b = ~0.Если же ~b 6= ~0, то по критерию коллинеарности ~a = t~b для некоторого t,т. е. 1 ·~a− t~b = ~0. В обоих случаях получаем, что векторы ~a и ~b линейнозависимы.

б) Если векторы ~a, ~b и ~c линейно зависимы, то p~a+ q~b + r~c = ~0 длянекоторых чисел p, q и r , хотя бы одно из которых отлично от 0. Пусть,без ограничения общности, p 6= 0. Тогда ~a = − q

p ·~b−rp ·~c. Это значит, что

вектор ~a лежит в той плоскости, которой принадлежат векторы ~b и ~c, ипотому векторы ~a, ~b и ~c компланарны. Предположим теперь, что векторы~a, ~b и ~c компланарны. Если ~c = ~0, то 0 ·~a+ 0 · ~b + 1 · ~c = ~0. Если ~c 6= ~0 и~b ‖ ~c, то по критерию коллинеарности векторов ~b = t~c для некоторого t, ипотому 0 ·~a+ 1 · ~b − t~c = ~0. Наконец, если ~b ∦ ~c, то векторы ~b и ~cобразуют базис той плоскости, в которой лежат векторы ~a, ~b и ~c. Потеореме о разложении вектора по базису на плоскости ~c = t~a+ s~b длянекоторых чисел t и s, откуда t~a+ s~b − 1 · ~c = ~0. Во всех трех случаяхполучаем, что векторы ~a, ~b и ~c линейно зависимы.


Пример линейно независимой системы векторов

Приведем пример линейно независимой системы векторов в пространствеRn, которая будет многократно возникать и играть особую роль вдальнейшем.

Положим e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1).


Система векторов e1, e2, . . . , en линейно независима.

Доказательство. Предположим, что x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen = 0 длянекоторых чисел x1, x2, . . . , xn. Очевидно, что

x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen = (x1, x2, . . . , xn).

Таким образом, (x1, x2, . . . , xn) = 0, т. е. x1 = x2 = · · · = xn = 0. Мыдоказали, что если какая-то линейная комбинация векторов e1, e2, . . . , en

равна нулевому вектору, то эта комбинация тривиальна.

В процессе доказательства замечания 2 фактически доказано следующееполезное для дальнейшего утверждение.


Если x = (x1, x2, . . . , xn) — произвольный вектор из Rn, тоx = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen.


Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов(1)

Отметим несколько простых свойств линейно зависимых и линейнонезависимых систем векторов.

Лемма 4

Если среди векторов a1, a2, . . . , ak имеется нулевой вектор, то эти векторылинейно зависимы.

Доказательство. Пусть ai = 0. Тогда

0 · a1 + · · ·+ 0 · ai−1 + 1 · ai + 0 · ai+1 + · · ·+ 0 · ak = 0.

Лемма доказана.

Лемма 5

Подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.Если к линейно зависимой системе векторов добавить произвольнуюконечную систему векторов, то расширенная система векторов такжебудет линейно зависимой.

Доказательство леммы 5 дано на следующем слайде.



Доказательство. Пусть векторы a1, a2, . . . , ak линейно независимы.Выберем произвольное подмножество этой системы векторов. Дляпростоты обозначений будем считать, что мы взяли сколько-то первыхвекторов a1, a2, . . . , am, где m 6 k (в противном случае мы всегда можемперенумеровать исходные векторы). Предположим, что векторыa1, a2, . . . , am линейно зависимы, т. е. что существуют числа t1, t2, . . . , tm,по крайней мере одно из которых отлично от нуля, такие, чтоt1a1 + t2a2 + · · ·+ tmam = 0. Тогда

t1a1 + t2a2 + · · ·+ tmam + 0 · am+1 + · · ·+ 0 · ak = 0.

Поскольку среди чисел t1, t2, . . . , tm хотя бы одно отлично от нуля,последнее равенство противоречит линейной независимости векторовa1, a2, . . . , ak . Первое утверждение леммы доказано.

Пусть теперь система векторов a1, a2, . . . , am линейно зависима, т. е.существует нетривиальная линейная комбинация t1a1 + t2a2 + · · ·+ tmam

этих векторов, равная нулевому вектору. Добавим к исходной системевекторы am+1, . . . , ak . Тогда

t1a1 + t2a2 + · · ·+ tmam + 0 · am+1 + · · ·+ 0 · ak = 0.

Следовательно, векторы a1, a2, . . . , ak линейно зависимы.Б.М.Верников Лекция 7: Векторные пространства


Лемма 6

Если векторы a1, a2, . . . , ak линейно независимы, а векторы a1, a2, . . . , ak , bлинейно зависимы, то вектор b линейно выражается через векторыa1, a2, . . . , ak .

Доказательство. По условию существуют такие числа t1, t2, . . . , tk , s, покрайней мере одно из которых не равно нулю, что

t1a1 + t2a2 + · · ·+ tkak + sb = 0.

Если s = 0, то t1a1 + t2a2 + · · ·+ tkak = 0 и по крайней мере одно из чиселt1, t2, . . . , tk отлично от нуля. Это, однако, противоречит линейнойнезависимости векторов a1, a2, . . . , ak . Следовательно, s 6= 0, и потому

b = − t1s· a1 −

t2s· a2 − · · · −

tks· ak .

Лемма доказана.



Лемма 7

Векторы a1, a2, . . . , ak линейно зависимы тогда и только тогда, когда одиниз них линейно выражается через остальные.

Доказательство. Предположим сначала, что векторы a1, a2, . . . , ak линейнозависимы, т. е. что t1a1 + t2a2 + · · ·+ tkak = 0 для некоторых чиселt1, t2, . . . , tk , не все из которых равны нулю. Пусть ti 6= 0. Тогда

ai = −t1ti· a1 −

t2ti· a2 − · · · −

ti−1

ti· ai−1 −

ti+1

ti· ai+1 − · · · −

tkti· ak ,

т. е. вектор ai линейно выражается через остальные.

Обратно, если вектор ai линейно выражается через остальные, т. е. если

ai = r1a1 + r2a2 + · · ·+ ri−1ai−1 + ri+1ai+1 + · · ·+ rkak

для некоторых чисел r1, r2, . . . , ri−1, ri+1, . . . , rk , то

r1a1 + r2a2 + · · ·+ ri−1ai−1 − 1 · ai + ri+1ai+1 + · · ·+ rkak = 0,

и потому векторы a1, a2, . . . , ak линейно зависимы.


Алгоритм определения линейной зависимости или независимости

В заключение лекции укажем способ выяснения того, является ли даннаясистема векторов из пространства Rn линейно зависимой или линейнонезависимой.

Алгоритм определения линейной зависимости или независимости системывекторов из пространства Rn

Чтобы выяснить, является ли данная система векторов из пространстваRn линейно зависимой или линейно независимой, надо записать этивекторы в матрицу по строкам и начать приводить эту матрицу кступенчатому виду. Если в процессе элементарных преобразованийвозникнет хотя бы одна нулевая строка, система линейно зависима. Еслимы доведем матрицу до ступенчатого вида и нулевые строки в процессепреобразований не возникнут, система линейно независима.

Обоснование этого алгоритма будет дано в лекции 12.


Лекция 7: Векторные пространстваkadm.kmath.ru/files/linalg07.pdf ·...

Documents