СУММЫ СТЕПЕНЕЙ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОМБИНАТОРНЫХ...
DESCRIPTION
СУММЫ СТЕПЕНЕЙ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОМБИНАТОРНЫХ ТОЖДЕСТВ В ТРИГОНОМЕТРИИ И АЛГЕБРЕ. Выполнила: Назарова Софья 9кл, Гимназия №2. Руководитель: E. Г Секацкая ., учитель математики и информатики. Красноярск 2012. ………(1). k =1, ,. k =2,. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
СУММЫ СТЕПЕНЕЙ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОМБИНАТОРНЫХ ТОЖДЕСТВ В ТРИГОНОМЕТРИИ И АЛГЕБРЕ
Выполнила: Назарова Софья 9кл, Гимназия №2
Руководитель: E.Г Секацкая., учитель математики и информатики
Красноярск 2012
n
m
kkkkk nm1
...321
k=1,,
k=2,
n
m
nnnnm
1
22222
6
)12)(1(...321 ……….….(2)
k=3,
n
m
nnnm
1
2233333
4
)1(...321 …………(3)
k=4,
n
m
nnnnnnm
1
2344444
30
)196)(1(...321 …….(4)
n
m
nnnm
1 2
)1(...321 ………(1)
x
xx n
1
1
t
tt
t
tt nn
1)1()1()1( 11
…(*)
nxxx ...2
nttt )1(...)1(1 2
Разложим выражение 1)1( nt по биному Ньютона:
tnt n )1(1)1( 1
....24
)2)(1()1(
6
)1()1(
2
)1( 1432
nttnnnn
tnnn
tnn
Значит равенство *(после вычитаний в числителе и сокращения на t) может быть представлено в виде:
nttt )1(...)1(1 2
nnnnnnn ttCtCtCtCtCtCn ...67
156
145
134
123
12
1
Продифференцируем обе части этого равенства по параметру t, получим:
t)n(1t)2(11 1-n 157
146
135
124
13
12
1 ...65432 n
nnnnnn nttCtCtCtCtCC ..(**)
Чтобы получить формулу (1) осталось подставить t=0:
n21 )1....(....................2
)1(
)!1(!2
)!1(21
nn
n
nCn
n
m
nnnm
1 2
)1(...321
Чтобы получить следующие формулы умножим выражение (**)
на (1+t) и сгруппируем в правой части подобные по t : n2 t)n(1t)2(1t)(1
nnn
nnnnnnnnn
nttCC
tCCtCCtCCtCCC
...)65(
)54()43()32()2(57
16
1
461
51
351
41
241
31
31
21
21
Продифференцируем обе части полученного выражение по параметру t:
t)(1nt)(121 1-n222
*)*.(*.............)65(5
)54(4)43(3)32(221247
16
1
361
51
251
41
41
31
31
21
n
nn
nnnnnnnn
tntCC
tCCtCCtCCCC
t)n(1t)2(11 1-n
1571
461
351
241
31
21 ...65432
nnnnnnn nttCtCtCtCtCC
Подставляем t=0 чтобы получить формулу (2):
222 n21 3
12
1 2 nn CC
)2.........(6
)12)(1(
6
)223)(1(
)!2(!3
)!1(2
2
)1(
nnn
nnn
n
nnn
n21 21nC
31
21 2 nn CC
51
41
31
21 243614 nnnn CCCC
222 n21
333 n21 41
31
21 66 nnn CCC
444 n21Отсюда ,обозначив коэффициенты комбинаций через К получаем формулу суммы произвольных степеней:
n
k
i
j
jnji
i CKk1 1
11,
21nC
При
31nC
При
41nC
При
51nC
При
61nC
При
71nC
При
81nC
При
91nC
k=1 1
k=2 1 2
k=3 1 6 6
k=4 1 14 36 24
k=5 1 30 150 240 120
k=6 1 62 540 1560 1800 720
k=7 1 126 1806 8400 16800 15120 5040
k=8 1 254 5796 40824 126000 191520
141120 40320
При При
«Интересный» треугольник
СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА
Коэффициент при всегда равен единице. Числа стоящие по главной диагонали равны n!
(где n=k– показателю степени суммируемых слагаемых). Коэффициенты при можно найти по формуле Коэффициент стоящий в i-той строке, j-том столбце можно
найти по следующей рекуррентной формуле:
21nC
31nC 1)-2(2 1-k
jKKK jijiji )( ,11,1,
sinxsiny-cosxcosy=y)+cos(x)8
cosxsiny+sinxcosy=y)+sin(x)72
cos2x)+(1= xcos)6
2
cos2x)-(1=xsin)5
1=xcos+xsin)4
xsin-xcos=cos2x)3
2sinxcosx=sin2x)2
e=e e)1
2
2
22
22
y)+(xyx
ПРИМЕР 1:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
+
+
…
...5!5!
12+
3!7!
12+
1!9!
1 2 : x …
4!6!
1 2-
2!8!
1 2-
1!10!
1 2- :x
3!5!
1 2-
1!7!
1 2- : x
4!4!
1+
2!6!
12+
1!8!
1 2 : x
3!3!
1+
1!5!
12 : x
2!4!
1 2-
1!6!
1 2- :x
1!3!
1 -2: x
2!2!
1+
1!4!
12 :x
1 :x 1!2!
1 2- :x
: xsin У2) :xcos У1)
1010
88
66
44
22
2 2
( 1
ИТАК:
Пример 2:
Доказательство:
РАБОТА
НЬЮТОН
БЕРНУЛЛИ
ТЕЙЛОР
ПАСКАЛЬ
ЭЙЛЕР
ИТОГИ Получена и доказана рекуррентная
формула для вычисления сумм степеней членов арифметических прогрессий.
Получен «интересный» числовой треугольник, рекуррентное соотношение его элементов.
Доказаны формула умножения показательной функции и основные тригонометрические тождества с помощью разложения cosx и sinx.
Получены формулы сумм различных биноминальных коэффицентов.
…
Сравнительное применение полученного нами треугольника и треугольника Паскаля с числами Бернулли
Возведение любого натурального числа в любую натуральную степень
Альтернативное доказательство тригонометрических формул с помощью нашего метода