indice · 2015-08-31 · universidad pública de navarra nafarroako unibertsitate publikoa ... por...

Jokin Aginaga García

Proyecto Ingeniería Industrial

Universidad Pública de Navarra

Nafarroako Unibertsitate Publikoa

Memoria Manipulador Paralelo de motores asíncronos Pag 1

INDICE

1. INTRODUCCION____________________________________________________ 4

1.1. Introducción ____________________________________________________________ 41.1.1. Antecedentes históricos ______________________________________________________ 5

1.1.2. Origen y desarrollo de la robótica ______________________________________________ 6

1.1.3. Manipuladores tipo Serie y Manipuladores tipo Paralelo ____________________________ 7

1.1.4. Manipuladores paralelos _____________________________________________________ 8

1.1.5. Manipuladores paralelos 6-RUS _______________________________________________ 9

1.2. Objetivos del proyecto ___________________________________________________ 10

1.3. Fases del proyecto ______________________________________________________ 101.3.1. Estudio del método empleado ________________________________________________ 10

1.3.2. Estudio completo de mecanismos sencillos ______________________________________ 11

1.3.3. Estudio cinemático del manipulador paralelo ____________________________________ 11

1.3.4. Estudio dinámico y estático del manipulador paralelo______________________________ 12

1.3.5. Estudio de las configuraciones singulares estacionarias ____________________________ 12

1.3.6. Diseño del manipulador paralelo ______________________________________________ 13

2. ESTUDIO CINEMATICO ____________________________________________ 14

2.1. Introducción ___________________________________________________________ 14

2.2. Sistemas de coordenadas _________________________________________________ 142.2.1. Coordenadas relativas ______________________________________________________ 15

2.2.2. Coordenadas naturales ______________________________________________________ 15

2.2.3. Elección del sistema de coordenadas ___________________________________________ 15

2.3. El problema de posición _________________________________________________ 152.3.1. Método de Newton-Raphson _________________________________________________ 16

2.3.2. Aplicación al manipulador paralelo ____________________________________________ 17

2.4. El problema de velocidad ________________________________________________ 22

2.5. El problema de aceleración _______________________________________________ 24

2.6. Resultados_____________________________________________________________ 27

3. ESTUDIO DINAMICO ______________________________________________ 29

3.1. Introducción ___________________________________________________________ 29






3.2. Matriz de masas ________________________________________________________ 293.2.1. Matriz de masa referida a 4 puntos ____________________________________________ 31

3.3. El problema dinámico ___________________________________________________ 333.3.1. Introducción ______________________________________________________________ 33

3.3.2. El problema dinámico directo ________________________________________________ 33

3.3.3. El problema dinámico inverso ________________________________________________ 36

3.3.4. El problema estático________________________________________________________ 37

3.4. Resultados_____________________________________________________________ 393.4.1. Problema dinámico directo __________________________________________________ 39

3.4.2. Problema dinámico inverso __________________________________________________ 41

3.4.3. Problema estático __________________________________________________________ 42

4. ESTUDIO DE LAS CONFIGURACIONES ESTACIONARIAS _____________ 45

4.1. Introducción ___________________________________________________________ 45

4.2. Configuraciones singulares estacionarias del manipulador paralelo _____________ 464.2.1. Cálculo de las configuraciones singulares estacionarias del manipulador paralelo ________ 47

4.2.2. Resultados _______________________________________________________________ 49

4.2.3. Utilidad de las configuraciones singulares estacionarias ____________________________ 52

4.2.4. Angulos máximos y mínimos en las cadenas biela-manivela ________________________ 53

4.2.4.1. Introducción ___________________________________________________________ 53

4.2.4.2. Resultados _____________________________________________________________ 53

4.3. Otros cálculos necesarios para el diseño ____________________________________ 54

5. ANALISIS DE SENSIBILIDAD _______________________________________ 56

5.1. Introducción ___________________________________________________________ 56

5.2. Sensibilidad de posición__________________________________________________ 56

5.3. Sensibilidad de velocidad_________________________________________________ 58

5.4. Sensibilidad de aceleración _______________________________________________ 60

6. DISEÑO DEL MANIPULADOR PARALELO____________________________ 63

6.1. Introducción ___________________________________________________________ 63

6.2. Motores _______________________________________________________________ 63

6.3. Reductores ____________________________________________________________ 64






6.4. Manivelas _____________________________________________________________ 65

6.5. Junta biela-manivela ____________________________________________________ 676.5.1. Rodamientos _____________________________________________________________ 68

6.5.2. Casquillo ________________________________________________________________ 71

6.6. Bielas _________________________________________________________________ 726.6.1. Barra ___________________________________________________________________ 73

6.6.2. Herradura ________________________________________________________________ 76

6.6.3. Acoplamiento barra-herradura ________________________________________________ 77

6.7. Junta esférica __________________________________________________________ 77

6.8. Plataforma móvil _______________________________________________________ 79

6.9. Plataforma fija _________________________________________________________ 80

6.10. Manipulador paralelo ___________________________________________________ 81

6.11. Tolerancias dimensionales de las piezas. ____________________________________ 82

6.12. Materiales a emplear ____________________________________________________ 836.12.1. Acero ___________________________________________________________________ 83

6.12.2. Clasificación de los aceros___________________________________________________ 84

6.12.2.1. F-11XX: Aceros al carbono _____________________________________________ 84

6.12.2.2. F-12XX y F-13XX: Aceros aleados de gran resistencia________________________ 85

6.12.2.3. F-15XX y F-16XX: Aceros para cementar__________________________________ 85

6.12.2.4. F-17XX: Aceros para nitrurar____________________________________________ 86

6.12.3. Aceros elegidos ___________________________________________________________ 86

6.12.3.1. Plataforma inferior ____________________________________________________ 86

6.12.3.2. Resto de piezas _______________________________________________________ 87

6.12.4. Material para la plataforma superior ___________________________________________ 87

7. BIBLIOGRAFIA ___________________________________________________ 88

Libros_____________________________________________________________________ 88Catálogos y guías_______________________________________________________________ 89

ANEXO I Configuraciones Estacionarias_________________________________________ 90

ANEXO II Programas____________________________________________________ 103

ANEXO III Artículo para el C.N.I.M.__________________________________________ 144

ANEXO IV Catálogos ____________________________________________________ 150






1. INTRODUCCION

1.1. Introducción

En este proyecto se realiza un estudio mecánico de un manipulador paralelo de tipo

6-RUS, así como su diseño. Un manipulador paralelo de tipo 6-RUS es un mecanismo de

cadena cerrada con 6 grados de libertad. Consiguientemente, el estudio será elaborado en

el campo de la síntesis de mecanismos.

En primer lugar habrá que saber de qué se habla cuando se habla de mecanismos.

Según Reuleaux un mecanismo se puede considerar como "una combinación de cuerpos

resistentes conectados por medio de articulaciones para formar una cadena

cinemática cerrada con un eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el

movimiento".

En el diseño de una máquina pueden intervenir muchos campos de la ciencia como

por ejemplo la mecánica, la termodinámica, la mecánica de fluidos o la ciencia de

materiales, y se deben tener en cuenta aspectos como el económico, el estético, etc. No

obstante, de todos los estudios que se deben de realizar en el diseño de una máquina, el

estudio mecánico es de primordial importancia, ya que la mecánica es la ciencia que

relaciona la geometría, las fuerzas y los desplazamientos, factores que determinan el

funcionamiento de la máquina. En el diseño de los mecanismos, el estudio mecánico será

uno de los más importantes ya que, según la definición de mecanismo, el objetivo de éstos

es transformar el movimiento y el análisis del movimiento lo realiza la mecánica.

El diseño global de una máquina comienza por el diseño particular de los

mecanismos que la componen; ya que los movimientos necesarios en la máquina se

consiguen por medio de diferentes mecanismos y, por lo tanto, desde el punto de vista

mecánico, las máquinas se pueden considerar formadas por la combinación de varios

mecanismos.

En muchas máquinas, la energía se introduce por medio del movimiento giratorio

de un motor eléctrico o térmico y su objetivo es generar unos movimientos que no son

giratorios, o si lo son, son más rápidos o más lentos que el movimiento de entrada. Estos






cambios entre el movimiento de entrada y el de salida se consiguen por medio de

mecanismos.

En el diseño de un mecanismo o máquina, el proceso habitual es el siguiente: En

primer lugar, se sintetiza el mecanismo o máquina, normalmente de forma aproximada.

Posteriormente, se realiza el análisis. Por regla general, el mecanismo o máquina

sintetizada no suele realizar perfectamente el movimiento prescrito, o está mal

dimensionado en cuanto a resistencia. Por ello, se hace necesario variar el diseño, y volver

a realizar el análisis, en un proceso iterativo hasta comprobar que el mecanismo o máquina

realiza el movimiento deseado, y sus piezas están dimensionadas de forma que serán

capaces de soportar los esfuerzos a que vayan a estar sometidas.

1.1.1. Antecedentes históricos

A lo largo de la historia el hombre se ha sentido fascinado por máquinas y

dispositivos capaces de imitar las funciones y los movimientos de los seres vivos. Los

griegos tenían una palabra específica para denominar a estas máquinas: automatos. De esta

palabra deriva la actual, autómata: máquina que imita la figura y movimientos de un ser

animado.

Aunque el primer autómata data del 85 d.c. el autómata más antiguo que se

conserva en la actualidad es el gallo de Estrasburgo (1352). Éste formaba parte del reloj de

la torre de la catedral de Estrasburgo y al dar las horas mueve las alas y el pico.

Otro autómata relevante fabricado a lo largo de la historia es el León mecánico

(1499) construido por Leonardo Da Vinci y como mecanismo cabe mencionar el Elevador

de agua (1534) construido por Juanelo Turriano, el cual se muestra a continuación:






Figura 1.1.1.1: Elevador de agua de Turriano

Durante los siglos XVIII y XIX se crearon ingenios mecánicos que tenían alguna de

las características de los robots actuales. Uno de los más destacados fue el telar mecánico

de Jacquard(1801), el cual utilizaba una cinta de papel perforada como un programa para

las acciones de la máquina. Es a partir de ese momento cuando se empiezan a utilizar

dispositivos automáticos en la producción, dando paso a la automatización industrial.

1.1.2. Origen y desarrollo de la robótica

Tras los primeros autómatas descritos en el apartado anterior, los progenitores más

directos de los robots fueron los telemanipuladores. Éstos fueron creados con el objetivo de

manipular elementos radioactivos sin riesgo para el operador. El telemanipulador realizaba

los movimientos que ordenaba el operador desde su panel de mando.

Por su propia concepción, un telemanipulador precisa del mando continuo de un

operador. La sustitución del operador por un programa de ordenador que controlase los

movimientos del manipulador dio paso al concepto de robot.

Hacia 1960 empiezan a aparecer los primeros robots industriales, que poseían

generalmente 6 grados de libertad. En 1982, el profesor Makino desarrolla el concepto de

robot SCARA(Selective Compliance Assembly Robot Arm) que busca un robot con un

numero reducido de grados de libertad (3 ó 4) y una configuración orientada al ensamblado

de piezas.






Lejos de estos robots antropomórficos (imitan a la forma de brazo humano),

aparece un nuevo concepto de manipulador: el manipulador paralelo.

1.1.3. Manipuladores tipo Serie y Manipuladores tipo Paralelo

Básicamente existen dos tipos de robots manipuladores: el tipo serie y el tipo

paralelo.

Un Robot Manipulador tipo Serie (RMS) es una cadena cinemática abierta cuyos

eslabones mecánicos están conectados en forma de serie. Un Robot Manipulador tipo

Paralelo (RMP) es una cadena cinemática cerrada cuyos eslabones mecánicos forman

estructuras geométricas cerradas.

Los manipuladores paralelos presentan una serie de ventajas con respecto a los

robots de brazo. Una de las ventajas consiste en el aumento de la relación carga útil-masa

que proporciona este tipo de estructura.

En efecto, cuando la estructura ocupa su posición central los accionadores soportan

aproximadamente la tercera parte de la carga útil además de importantes solicitaciones a

flexión. Estas solicitaciones a flexión son menores en los manipuladores paralelos gracias a

la adición de dos efectos: las articulaciones imponen únicamente las restricciones tracción

compresión y el reducido brazo de palanca.

Otra característica a destacar es la buena precisión de posicionamiento que poseen.

Esto es debido, a que como ya se ha mencionado, las deformaciones a flexión (no

medibles) son de pequeña magnitud.

Además las restricciones geométricas que presenta la realización de este tipo de

mecanismos no son muy severas.

Sin embargo, presentan una notoria desventaja, ya que su volumen de trabajo es

mucho más reducido. Se define volumen de trabajo como el espacio generado por el

extremo del manipulador (robots antropomórficos) o por la plataforma móvil(paralelos), al

moverse en todo su rango articular. El volumen articular depende de las dimensiones de los

eslabones y del rango articular.

Otra desventaja que poseen es que es necesario colocar el objeto a situar sobre su

plataforma, ya que no presenta la posibilidad de manipular él mismo el objeto. En la






manipulación el órgano terminal debe poder agarrar el objeto y sustentarlo durante su

movimiento. Por tanto, obviamente su alcance es muy reducido.

1.1.4. Manipuladores paralelos

Los manipuladores paralelos están caracterizados por el hecho de ser mecanismos

de cadena cinemática cerrada y constituidos por un elemento móvil con varios grados de

libertad que está unido a la base fija del mecanismo por varias cadenas cinemáticas en

paralelo.

Uno de los primeros manipuladores fue patentado por Pollard (1942), el fin al que

estaba destinado este manipulador era el pintado de coches. Posteriormente, en 1965

Stewart propuso una estructura, conocida hoy en día como plataforma Stewart, que

constituyó el primer paso hacia las estructuras de los robots paralelos. En esta estructura el

elemento móvil es una plataforma triangular donde cada uno de sus vértices está conectada

por una rótula a un submecanismo constituido por dos tornillos, dispuestos también de

forma triangular, un extremo de cada uno de estos tornillos está unido por una articulación

giratoria a un segmento de eje vertical que puede girar alrededor de este eje. El otro

extremo de uno de los dos tornillos es solidario a la rótula del plato móvil, mientras que el

otro tornillo está unido por una articulación giratoria al cuerpo homólogo. El mecanismo es

por tanto una cadena cinemática cerrada de seis grados de libertad.

Figura 1.1.4.1: Esquema de la Plataforma de Stewart






1.1.5. Manipuladores paralelos 6-RUS

Aparte de la Plataforma de Stewart, en la familia de manipuladores paralelos

existen infinidad de tipos diferentes. Por ejemplo, manipuladores paralelos planos,

espaciales y entre los espaciales de tres, cuatro, cinco y seis grados de libertad, con sus

características cinemáticas y dinámicas propias. Un tipo de estos mecanismos es el

"Manipulador Paralelo 6-RKS" propuesto por Hunt (1983), sobre el que se centrarán los

estudios realizados en este proyecto.

Estos mecanismos se caracterizan por estar constituidos por una plataforma móvil,

con seis grados de libertad, unida a una plataforma fija por medio de seis cadenas

cinemáticas formadas por actuador giratorio, manivela y biela.

Figura 1.1.5.1: Manipulador paralelo 6-RUS de Hunt

Los actuadores giratorios "R" están montados sobre la plataforma fija, las

manivelas están montadas sobre los ejes de los actuadores y las bielas están conectadas por

un extremo al extremo de la manivela por medio de una junta cardan o universal "U" y por

el otro extremo a la plataforma móvil por medio de una junta esférica "S".

Una característica cinemática de los manipuladores paralelos 6-RUS es poseer

configuraciones singulares estacionarias (CSE). En estas configuraciones, las velocidades

de los puntos de la plataforma móvil son nulas independientemente de las velocidades






articulares de los actuadores, poseyendo además una serie de ventajas que se pondrán de

manifiesto más adelante.

El manipulador paralelo 6-RUS ideado por Hunt será el modelo utilizado para los

estudios que se realizan en este proyecto.

1.2. Objetivos del proyecto

El objetivo final del presente proyecto es la construcción de un manipulador

paralelo. Para ello, a través de la síntesis de mecanismos, se estudiará la cinemática y la

dinámica del mecanismo.

Entre las características cinemáticas del manipulador paralelo, se encuentran las

configuraciones estacionarias de la plataforma móvil. Estas posiciones serán de gran

utilidad, puesto que se definirán las características deseadas para el diseño en función de

las reacciones generadas en la trayectoria de una de ellas a otra, y de los pares necesarios

para realizar dicha trayectoria en un determinado tiempo. Con estas reacciones, se tendrán

datos necesarios para realizar el diseño.

1.3. Fases del proyecto

Desde antes de la propuesta hasta la presentación del proyecto, el trabajo se ha

estructurado en diferentes fases:

1.3.1. Estudio del método empleado

Por un lado están los planteamientos teóricos de posición, velocidad, aceleración,

fuerzas y momentos. El método que permite dar solución a todos estos cálculos aparece

explicado en el libro “Kinematic and Dynamic simulation of Multibody Sytems”, de Javier

García de Jalón y Eduardo Bayo.

Por otro lado está la resolución de los cálculos anteriormente citados. Para resolver

estos cálculos se utiliza el programa Matlab. Matlab (Mathematics Laboratory) es un

sistema general de software para matemáticas y otras aplicaciones. Su uso está extendido

entre investigadores, ingenieros y analistas. Las aplicaciones de Matlab, comprenden la

mayoría de las áreas donde se aplican métodos cuantitativos. Por lo tanto Matlab es un

potente entorno integrado de cálculo numérico y simbólico, con extensiones para la






programación y otros campos específicos de la ingeniería, que ofrece gran cantidad de

funciones, gráficos en color de dos y tres dimensiones, y notación matemática estándar.

1.3.2. Estudio completo de mecanismos sencillos

Con el fin de familiarizarse y comprender los métodos analíticos a utilizar en el

proyecto, así como el programa informático de cálculo, se ha comenzado por el estudio de

mecanismos sencillos, como un péndulo simple o un cuadrilátero articulado.

Dada la sencillez de estos mecanismos, los cálculos y su resolución son

relativamente simples. También permite la comprobación de los resultados obtenidos

utilizando las ecuaciones de la mecánica clásica

Es necesario señalar, que estos resultados no tienen ninguna utilidad a la hora de

estudiar el manipulador. Su utilidad es simplemente de aprendizaje.

1.3.3. Estudio cinemático del manipulador paralelo

El cálculo cinemático es aquél que se centra en la resolución de posiciones,

velocidades y aceleraciones de los distintos puntos del mecanismo.

Para solucionar estas incógnitas, es necesario conocer las ecuaciones de limitación

o de restricción. Estas, son ecuaciones de distancia entre puntos, perpendicularidad,

paralelismo, etc. que definen la geometría del mecanismo. La solución de las ecuaciones de

limitación resuelve el problema de posición, sus primeras derivadas el de velocidad y sus

segundas derivadas el de la aceleración.

Dado que en las ecuaciones de limitación aparecen ecuaciones de segundo grado, se

debe utilizar algún método numérico para resolverlas. Así, se opta por la utilización del

método Newton-Raphson para la resolución de las ecuaciones de limitación.

También son necesarios ciertos datos que conviertan los problemas cinemáticos

planteados en resolubles. Para obtener la solución al problema de posición es necesario

conocer la posición de cada manivela. En este problema viene dada la posición de cada una

de las manivelas por medio del ángulo que forman con la plataforma fija. En el cálculo de

velocidad, es necesario un dato adicional, que es la velocidad angular de cada manivela.

Estas velocidades se calculan tomando como datos la velocidad angular de cada manivela.






Para obtener las aceleraciones es preciso tener los datos de las aceleraciones angulares de

cada manivela, además de su velocidad angular y su ángulo.

1.3.4. Estudio dinámico y estático del manipulador paralelo

El cálculo dinámico da solución a las fuerzas y reacciones que se producen en el

mecanismo. Para este problema hay tres situaciones posibles: estática, dinámica directa y

dinámica inversa.

En el problema estático se determina la carga que contrarresta a unas acciones

dadas para que el mecanismo permanezca en equilibrio. Un ejemplo práctico de este caso

se da cuando el manipulador ha situado la pieza en una posición deseada, con el fin de que

un operario o una máquina realicen operaciones sobre ella (taladrar, soldar, perforar,...)

El problema dinámico directo calcula qué cinemática se le produce al mecanismo

bajo la acción de unas cargas dadas, y puede realizar una simulación del movimiento del

mecanismo.

El problema dinámico inverso determina la carga que es necesaria aplicar al

mecanismo para que se produzca en él una cinemática deseada. Un caso real de cálculo

dinámico inverso se produce al querer pasar de una posición a otra de la plataforma móvil

en un tiempo y con una aceleración determinadas. El tiempo, las aceleraciones y las

posiciones inicial y final proporcionan los datos cinemáticos. Con estos datos cinemáticos

se calculan los pares que deben ejercer los motores para que se dé el estado cinemático

planteado.

1.3.5. Estudio de las configuraciones singulares estacionarias

Las configuraciones estacionarias tienen la particularidad de que cuando se llega a

ellas el mecanismo sufre un cambio en el número de grados de libertad que posee.

Por tanto las configuraciones estacionarias constituyen las posiciones que limitan el

movimiento del manipulador. Como se puede deducir, es de vital importancia conocer cada

una de las configuraciones estacionarias o de volquete con el fin de trazar una ruta que

permita pasar de una posición a otra determinada del manipulador para permitir que el

manipulador se sitúe en cualquier posición que cumpla sus ecuaciones de restricción

cinemáticas. Es conveniente que cada uno de los seis motores que están acoplados a sus






respectivas bielas tengan dos sentidos de giro, para poder pasar de una posición a otra por

el recorrido más corto, ya que en ocasiones el movimiento deseado será de unos pocos

grados.

Por otro lado, estas posiciones poseen la ventaja de tener un alto grado de precisión

en reposo, por lo que son usadas con relativa frecuencia en multitud de mecanismos.

Para el cálculo de las configuraciones estacionarias, es necesario establecer las

ecuaciones que cumplen. Estas ecuaciones son, además de las ecuaciones de limitación, las

ecuaciones que cumplen la condición de que el eje del actuador, la manivela y la biela

están contenidos en un mismo plano.

1.3.6. Diseño del manipulador paralelo

Tras realizar los distintos estudios de la mecánica del manipulador paralelo, se han

obtenido ciertos parámetros de diseño.

En esta fase, a través de la resistencia de materiales, se utilizarán dichos parámetros

para calcular secciones, desplazamientos, etc. Una vez obtenidos estos datos, se realizará el

diseño de un manipulador paralelo, cuya construcción se pretende realizar en los talleres de

la UPNA.






2. ESTUDIO CINEMATICO

2.1. Introducción

En primer lugar, se deben determinar las características del mecanismo a estudiar

(número de eslabones, tipos de enlaces, puntos que lo configuran, etc.). Seguidamente, se

plantean las ecuaciones que lo definen (ecuaciones de distancia entre puntos,

perpendicularidad, paralelismo, etc.), a las que llamaremos ecuaciones de restricción o

limitación. En estas ecuaciones, algunas de las variables serán las incógnitas del problema.

Evidentemente, son necesarias tantas ecuaciones como incógnitas tiene el mecanismo. Una

vez planteadas estas ecuaciones, se puede realizar el estudio cinemático.

El cálculo cinemático da solución a los problemas de posición, velocidad, y

aceleración. El problema de posición se resuelve con las ecuaciones de limitación, el de

velocidad con la solución de las primeras derivadas de las mismas, y el de aceleración con

las segundas derivadas.

Antes de comenzar, se hará referencia a la manera en la que se plantean las

ecuaciones para la determinación de la posición del mecanismo.

2.2. Sistemas de coordenadas

Los diferentes sólidos que constituyen un mecanismo, pueden ser modelizados de

muchas y muy variadas maneras. Para determinar la posición de un sólido rígido en un

espacio tridimensional, deberemos de utilizar, al menos, 6 parámetros: uno por cada grado

de libertad del sólido. Además, los parámetros pueden referirse a una referencia absoluta,

(inercial), o a una referencia relativa como puede ser, por ejemplo, otro sólido del

mecanismo.

Las distintas maneras de resolver este problema se han clasificado para su análisis y

comparación, y aquí se van a presentar dos tipos de coordenadas que frecuentemente se

utilizan para determinar la posición de un sólido en el espacio, y para posteriormente

simular el movimiento de varios sólidos unidos entre sí mediante pares cinemáticos.






2.2.1. Coordenadas relativas

Las coordenadas relativas, definen la posición de cada elemento de un mecanismo

con relación al elemento anterior de la cadena cinemática, utilizando parámetros o

coordenadas correspondientes a los grados de libertad de la unión entre los dos sólidos. Por

ejemplo, en un par de revolución de un mecanismo en 2D, se define la posición de un

sólido respecto del otro con el valor del ángulo del par de revolución. En el caso de

mecanismos de cadena abierta, si se utilizan coordenadas relativas, se tiene tantas

coordenadas como grados de libertad, y de esta manera no existen ecuaciones de

restricción.

2.2.2. Coordenadas naturales

Las coordenadas naturales, pueden definir la posición de todos los puntos de un

sólido rígido mediante la posición, en coordenadas cartesianas, de alguno de sus puntos, y

la orientación de algún vector que consideraremos solidario al cuerpo. Existen varias

formas en las que con puntos y vectores podemos determinar la posición de un sólido

rígido sin que nos sobren puntos o vectores. Las ecuaciones de restricción de los pares

cinemáticos también se expresan en función de puntos y vectores.

2.2.3. Elección del sistema de coordenadas

El sistema de coordenadas elegido es el de coordenadas naturales, ya que pese a

necesitar más coordenadas para un definir un mismo sistema, son más sencillas de definir y

llevan a sistemas de ecuaciones más sencillos que las coordenadas relativas.

2.3. El problema de posición

El problema de posición consiste en determinar la posición de todos los elementos

del mecanismo. Matemáticamente, se trata de determinar, a partir de un dato de entrada, la

solución del sistema de ecuaciones de limitación. El dato o datos de entrada, pueden ser

cualquiera de las distintas coordenadas utilizadas. Para el caso del manipulador paralelo,

harán falta seis datos de entrada, que serán los ángulos de cada una de las manivelas.






En general, las ecuaciones de limitación no son lineales, por lo que hay que recurrir

a métodos numéricos para resolverlas. El método que se utilizará, será el de Newton-

Raphson.

2.3.1. Método de Newton-Raphson

Este método es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de otros métodos, el

método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un

proceso iterativo.

El método Newton-Raphson sustituye las ecuaciones por los dos primeros términos

de Taylor. De este modo, del sistema de ecuaciones de restricción se pasa a un sistema de

ecuaciones lineales. Para resolverlo, se parte de una aproximación inicial y se itera hasta

llegar a la solución definitiva.

Sea la aproximación xi a la raíz xr de f(x),

Figura 2.3.1.1: Intersección de la tangente de f con el eje x

Se traza la recta tangente a la curva en el punto (xi, f(xi)); ésta cruza al eje x en un

punto xi+1 que será la siguiente aproximación a la raíz xr.

Para calcular el punto xi+1, se calcula primero la ecuación de la recta tangente. Se

sabe que tiene pendiente

m = f ‘(xi)

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

y – f(xi) = f ‘(xi)·(x - xi)

Haciendo y = 0:

– f(xi) = f ‘(xi)·(x - xi)






Y despejando x:

x = xi - )x('f)x(f

que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente

aproximación:

xi+1 = xi - )x('f)x(f si f ‘(xi) � 0.

Nótese que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde

asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no se tiene ninguna garantía de

aproximación a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge

a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde sí

converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos

preferidos por excelencia.

También se puede observar que en el caso de que f ‘(xi) = 0, el método no se puede

aplicar. De hecho, se aprecia geométricamente que esto significa que la recta tangente es

horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con

éste, en cuyo caso xi mismo es una raíz de f(x).

Para dar solución a éste nuevo sistema, hay que partir de una solución aproximada,

y a partir de ella, el ordenador realiza iteraciones hasta que el resultado se aproxima a la

solución en menos de un valor prefijado.

El método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática, y converge

rápidamente hacia la solución (4 o 5 iteraciones) si la solución inicial aproximada es

suficientemente buena. De cualquier forma, la solución aproximada puede estimarse a ojo

en la mayoría de los casos.

2.3.2. Aplicación al manipulador paralelo

Inicialmente, es necesario determinar las características del manipulador (número

de eslabones, tipos de enlaces, puntos que lo configuran, etc). El manipulador está

constituido por dos plataformas: una móvil y otra fija. La plataforma fija es el elemento

más pesado y consistente con el fin de aportar rigidez al manipulador.






Los seis motores que posee el manipulador se encuentran fijados sobre la

plataforma fija, de tal forma que los ejes de los motores y su prolongación forman un

triángulo equilátero de un metro de lado y centrado sobre la plataforma fija. Se considera

que el centro de giro de la manivela coincide con el extremo del eje del motor. En cada uno

de los lados del triángulo de la plataforma fija se encuentran dos motores. En cada lado los

motores se encuentran enfrentados y situados de tal forma que distan cada uno 0.05 metros

del punto medio del lado del triángulo en el que se encuentran. Tanto para el estudio

cinemático como para el dinámico, se consideran las manivelas como barras de 0.1 metros

de longitud, perpendiculares al eje del motor.

La manivela está unida a la biela mediante una junta cardan. Dicha junta permite

dos giros relativos entre biela y manivela. La longitud de la biela es de 0.6 metros. El otro

extremo de la biela está unido a la plataforma móvil, mediante una junta esférica, la cual

permite el giro relativo entre biela y plataforma en los tres ejes. La plataforma móvil

consiste en una placa con forma de triángulo regular de 0.5 m de lado. Idealmente se

considera que en cada uno de los vértices del triángulo se hallan los extremos de dos

bielas. De este modo se simplifican las ecuaciones de restricción, ya que de no coincidir

los puntos se consideraría la plataforma como un hexágono, perdiendo así la condición de

indeformabilidad y complicando las ecuaciones de limitación

A continuación se muestra una figura del manipulador paralelo, en la que se

presenta la nomenclatura que se utilizará en adelante.






Figura 2.3.2.1: Puntos característicos del Manipulador Paralelo 6-RUS

Una vez definidas las características geométricas del mecanismo se plantean las

ecuaciones de limitación, que serán las de longitud constante de las bielas y las de la

longitud constante de los lados de la plataforma móvil. Por lo que se tienen nueve

ecuaciones cuadráticas, seis de las cuales corresponden a la condición de longitud

constante de las bielas y tres a las de longitud constante de los lados de la plataforma

móvil.

Las ecuaciones de limitación se pueden representar en forma matricial del siguiente

modo:

�(q(t),t) = 0

donde q(t) es el vector de las coordenadas dependientes del mecanismo. Aplicando

el método de Newton-Raphson, se reemplazará cada ecuación por los dos primeros

términos de su expresión de Taylor en el punto qi considerado como aproximación a la

solución. Una vez hecha la sustitución, el sistema queda:

�(q(t),t) � �(qi) + �q(qi)·(q-qi) = 0

donde la variable tiempo no ha sido tenida en cuenta, porque las condiciones de

restricción no dependen del tiempo. La matriz �q es la matriz jacobiana de las ecuaciones

de limitación, es decir, la matriz de las derivadas parciales de estas ecuaciones con respecto

a las coordenadas dependientes.






En la ecuación anterior se representa un sistema lineal que constituye una

aproximación al sistema no lineal. El vector q obtenido como solución, será una

aproximación de la solución real del sistema. Llamando a esta solución aproximada qi+1, se

obtiene la siguiente fórmula recursiva:

�(qi) + �q(qi)·(qi+1-qi) = 0

que será utilizada repetidamente hasta que la diferencia entre dos iteraciones

sucesivas sea menor que la tolerancia establecida.

Llevado esto al caso del manipulador paralelo, las ecuaciones de restricción que

componen el vector � son las siguientes:

Ecuaciones de longitud constante de la biela:

(x123-x12)2 + (y123-y12)2 + (z123-z12)2 – l22 =0 (2.3.1)

(x123-x13)2 + (y123-y13)2 + (z123-z13)2 – l32 =0 (2.3.2)

(x145-x14)2 + (y145-y14)2 + (z145-z14)2 – l42 =0 (2.3.3)

(x145-x15)2 + (y145-y15)2 + (z145-z15)2 – l52 =0 (2.3.4)

(x161-x16)2 + (y161-y16)2 + (z161-z16)2 – l62 =0 (2.3.5)

(x161-x11)2 + (y161-y11)2 + (z161-z11)2 – l12 =0 (2.3.6)

Ecuaciones de longitud constante de cada lado de la plataforma móvil:

(x161-x123)2 + (y161-y123)2 + (z161-z123)2 – a122 =0 (2.3.7)

(x145-x123)2 + (y145-y123)2 + (z145-z123)2 – a342 =0 (2.3.8)

(x145-x161)2 + (y145-y161)2 + (z145-z161)2 – a562 =0 (2.3.9)

Se define también el vector de incógnitas:

q = {x123, y123, z123, x145, y145, z145, x161, y161, z161}T

A la hora de utilizar el método de Newton-Raphson, se tomarán los ángulos que

forman las manivelas con el plano horizontal como datos de entrada, y las coordenadas de

los tres vértices de la plataforma superior como incógnitas (vector q). Antes de proceder a

la resolución del sistema, se deben calcular las posiciones del extremo libre de la manivela,

para lo que se recurre a las siguientes ecuaciones:

20102

20102

0102110111

)yy()xx(

yy)··cos(zrxx��

�

�� (2.3.10)






2

01022

0102

0102110111

)yy()xx(

xx)··sin(zr-yy��

�

� (2.3.11)

)z·cos(rzz 110111 �� (2.3.12)

2

01022

0102

0102220212

)yy()xx(

yy)··cos(zrxx��

�

�� (2.3.13)

20102

20102

0102220212

)yy()xx(

xx)··cos(zr-yy��

�

� (2.3.14)

)·sin(zrzz 220212 �� (2.3.15)

20304

20304

0403330313

)yy()xx(

yy)··cos(zr-xx��

�

� (2.3.16)

20304

20304

0304330313

)yy()xx(

xx)··cos(zr-yy��

�

� (2.3.17)

)·sin(zrzz 330313 �� (2.3.18)

20304

20304

0403440414

)yy()xx(

yy)··sin(zr-xx

��

�

� (2.3.19)

20304

20304

0304440414

)yy()xx(

xx)··cos(zr-yy

��

�

� (2.3.20)

)·sin(zrzz 440414 �� (2.3.21)

20506

20506

0605550515

)yy()xx(

yy)··cos(zr-xx

��

�

� (2.3.22)

20506

20506

0605550515

)yy()xx(

xx)··cos(zryy

��

�

�� (2.3.23)

)·sin(zrzz 550515 �� (2.3.24)

20506

20506

0605660616

)yy()xx(

yy)··cos(zr-xx

��

�

� (2.3.25)

20506

20506

0605660616

)yy()xx(

xx)··cos(zryy

��

�

�� (2.3.26)






)·sin(zrzz 660616 �� (2.3.27)

Una vez obtenidas las coordenadas de los extremos libres de las manivelas, ya se

puede aplicar el método de Newton-Raphson. Para ello, se realizará un algoritmo en

Matlab, el cual para distintos ángulos de entrada soluciona el problema de posición inicial.

Por último, se presenta la matriz Jacobiana necesaria para la aplicación del método:

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

)zz()yy()xx()zz()yy()xx(000000)zz()yy()xx()zz()yy()xx(

)zz()yy()xx(000)zz()yy()xx()zz()yy()xx(000000)zz()yy()xx(000000

000)zz()yy()xx(000000)zz()yy()xx(000000000)zz()yy()xx(000000)zz()yy()xx(

145161145161145161161145161145161145

123145123145123145145123145123145123

123161123161123161161123161123161123

111611116111161

161611616116161

151451514515145

141451414514145

131231312313123

121231212312123

q

2.4. El problema de velocidad

El problema de velocidad consiste en encontrar la solución del sistema de

ecuaciones formado por las primeras derivadas de las ecuaciones de limitación con

respecto del tiempo. Al hacer estas derivadas, todas las ecuaciones se linearizan y por tanto

no es necesario ningún proceso iterativo.

Como en el caso anterior, hace falta incluir una condición de velocidad para que el

sistema sea compatible y determinado. Para ello, se tomará como dato la velocidad angular

de las manivelas, y a partir de ahí se procederá a calcular las velocidades en los vértices de

la plataforma superior. Antes de resolver el sistema, se debe calcular la velocidad en el

extremo libre de las manivelas, para lo cual se deben derivar las ecuaciones (2.3.10) a

(2.3.27):

20102

20102

010211111

)yy()xx(

yy)··sin(z·r-wvx��

�

� (2.4.1)

20102

20102

010211111

)yy()xx(

xx)··sin(z·rwvy��

�

� (2.4.2)

)z·cos(r·wvz 11111 � (2.4.3)






20102

20102

010222212

)yy()xx(

yy)··sin(z·rw-vx

��

�

� (2.4.4)

20102

20102

010222212

)yy()xx(

xx)··sin(z·rwvy

��

�

� (2.4.5)

)·cos(z·rwvz 22212 � (2.4.6)

20304

20304

040333313

)yy()xx(

yy)··sin(z·rwvx

��

�

� (2.4.7)

20304

20304

030433313

)yy()xx(

xx)··sin(z·rwvy

��

�

� (2.4.8)

)·cos(z·rwvz 33313 � (2.4.9)

20304

20304

040344414

)yy()xx(

yy)··sin(z·rwvx

��

�

� (2.4.10)

20304

20304

030444414

)yy()xx(

xx)··sin(z·rwvy

��

�

� (2.4.11)

)·cos(z·rwvz 44414 � (2.4.12)

2

05062

0506

060555515

)yy()xx(

yy)··sin(z·rwvx

��

�

� (2.4.13)

20506

20506

060555515

)yy()xx(

xx)··sin(z·rwvy

��

�

�� (2.4.14)

)·cos(z·rwvz 55515 � (2.4.15)

2

05062

0506

060566616

)yy()xx(

yy)··sin(z·rwvx

��

�

� (2.4.16)

2

05062

0506

060566616

)yy()xx(

xx)··sin(z·rwvy

��

�

�� (2.4.17)

)·cos(z·rwvz 66616 � (2.4.18)






Una vez realizados estos cálculos, se procederá a la resolución del problema de

velocidad, para lo cual se derivarán las ecuaciones de limitación, obteniéndose el siguiente

sistema:

�q·q� + �t = 0

donde �q es el jacobiano de las ecuaciones de restricción, .q son las tres

componentes de las velocidades de los vértices de la plataforma superior (la derivada con

respecto del tiempo del vector de coordenadas), y �t es la derivada parcial de las

ecuaciones de limitación respecto del tiempo, mostrada a continuación:

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

000

vz)·zz(vy)·yy(vx)·xx(vz)·zz(vy)·yy(vx)·xx(vz)·zz(vy)·yy(vx)·xx(vz)·zz(vy)·yy(vx)·xx(vz)·zz(vy)·yy(vx)·xx(vz)·zz(vy)·yy(vx)·xx(

111116111111611112161

161616116161611616161

151514515151451515145

141414514141451414145

131312313131231313123

121212312121231212123

t

2.5. El problema de aceleración

Para encontrar el vector de aceleración dependiente q�� , simplemente se debe

diferenciar con respecto del tiempo la ecuación de velocidad, lo que conduce al siguiente

resultado:

�q(q(t),t)·q�� = - t�� - q�� · q�

Si el vector de posición q y el vector de velocidad q� son conocidos, entonces

resolviendo el sistema lineal se puede encontrar el vector de aceleración dependiente q�� .

Nótese que la matriz que encabeza los sistemas lineales de ecuaciones anteriores (posición

y velocidad) es exactamente la misma; esto significa que si ha sido formada y

triangularizada par resolver el problema de velocidad, el análisis de aceleración puede

hacerse simplemente formando el miembro derecho de la ecuación y realizando una

reducción hacia delante y una sustitución hacia atrás. Cuando no hay ecuaciones de






limitación dependientes del tiempo, el problema de velocidad es homogéneo, mientras que

el problema de aceleración es siempre no homogéneo siempre y cuando las velocidades no

sean iguales a cero.

Tal y como se ha procedido en los anteriores casos, lo primero que se debe obtener

es la aceleración en el extremo libre de la manivela. Para ello, se dispone de las siguientes

ecuaciones, derivadas respecto del tiempo de las ecuaciones (2.4.1) a (2.4.18):

20102

20102

010211

212

01022

0102

010211111

)yy()xx(

yy)·z·cos(r·w)yy()xx(

yy)··sin(z·r-ax��

�

�

��

�

��

20102

20102

010211

212

01022

0102

010211111

)yy()xx(

xx)·z·cos(r·w)yy()xx(

xx)··sin(z·ray��

�

�

��

�

��

)·z·cos(r·w)·sin(z·raz 112

111111 ��

20102

20102

010222

222

01022

0102

010222212

)yy()xx(


yy)··sin(z·r-ax��

�

�

��

�

��

20102

20102

010222

222

01022

0102

010222212

)yy()xx(



�

�

��

�

��

)z(sin·r·w)·cos(z·raz 222

222212 ��

20304

20304

040333

232

03042

0304

040333313

)yy()xx(


yy)··sin(z·rax��

�

�

��

�

��

20304

20304

030433

232

03042

0304

030433313

)yy()xx(



�

�

��

�

��


333313 ��

20304

20304

040344

242

03042

0304

040344414

)yy()xx(



�

�

��

�

��

20304

20304

030444

242

03042

0304

030444414

)yy()xx(



�

�

��

�

��


444414 ��

20506

20506

060555

252

05062

0506

060555515

)yy()xx(



�

�

��

�

��






20506

20506

060555

252

05062

0506

060555515

)yy()xx(



�

�

��

�

��


555515 ��

20506

20506

060566

262

05062

0506

060566616

)yy()xx(



�

�

��

�

��

20506

20506

060566

262

05062

0506

060566616

)yy()xx(



�

�

��

�

��


666616 ��

Calculado esto, los términos de la ecuación �q(q(t),t)· q�� = - t�� - q�� · q� toman la

siguiente forma:

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

161

161

161

145

145

145

123

123

123

145161145161145161161145161145161145

123145123145123145145123145123145123

123161123161123161161123161123161123

111611116111161

161611616116161

151451514515145

141451414514145

131231312313123

121231212312123

azayaxazayaxazayax

·

)zz()yy()xx()zz()yy()xx(000000)zz()yy()xx()zz()yy()xx(

)zz()yy()xx(000)zz()yy()xx()zz()yy()xx(000000)zz()yy()xx(000000

000)zz()yy()xx(000000)zz()yy()xx(000000000)zz()yy()xx(000000)zz()yy()xx(

�

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

000

az)·zz(ay)·yy(ax)·xx(az)·zz(ay)·yy(ax)·xx(az)·zz(ay)·yy(ax)·xx(az)·zz(ay)·yy(ax)·xx(az)·zz(ay)·yy(ax)·xx(az)·zz(ay)·yy(ax)·xx(

111116111111611111161

161616116161611616161

151514515151451515145

141414514141451414145

131312313131231313123

121212312121231212123

·

)vzvz()vyvy()vxvx()vzvz()vyvy()vxvx(000000)vzvz()vyvy()vxvx()vzvz()vyvy()vxvx(

)vzvz()vyvy()vxvx(000)vzvz()vyvy()vxvx()vzvz()vyvy()vxvx(000000)vzvz()vyvy()vxvx(000000

000)vzvz()vyvy()vxvx(000000)vzvz()vyvy()vxvx(000000000)vzvz()vyvy()vxvx(000000)vzvz()vyvy()vxvx(

145161145161145161161145161145161145

123145123145123145145123145123145123

123161123161123161161123161123161123

111611116111161

161611616116161

151451514515145

141451414514145

131231312313123

121231212312123

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

�

�

161

161

161

145

145

145

123

123

123

vzvyvxvzvyvxvzvyvx






��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

�

000

vz)·vzvz(vy)·vyvy(vx)·vxvx(vz)·vzvz(vy)·vyvy(vx)·vxvx(vz)·vzvz(vy)·vyvy(vx)·vxvx(vz)·vzvz(vy)·vyvy(vx)·vxvx(vz)·vzvz(vy)·vyvy(vx)·vxvx(vz)·vzvz(vy)·vyvy(vx)·vxvx(

111116111111611111161

161616116161611616161

151514515151451515145

141414514141451414145

131312313131231313123

121212312121231212123

Ecuación de sencilla resolución puesto que sólo tiene incógnitas en su parte

izquierda.

2.6. Resultados

Una vez planteadas todas las ecuaciones, se programan en Matlab los algoritmos

necesarios para su resolución. Así, se obtiene un programa que para distintos valores de

entrada (posición, velocidad angular y aceleración angular de la manivela), calcula la

posición, velocidad y aceleración de los tres vértices de la plataforma superior.

Los datos del manipulador paralelo son los siguientes:

Longitud de las bielas = 0.6 m

Longitud de las manivelas = 0.1 m

Longitud de los lados de la plataforma superior = 0.5 m

Se introducen los datos en la siguiente ventana:






Figura 2.6.1: Ventana de datos de entrada del problema cinemático

Para los datos de entrada de la figura anterior, los resultados son los siguientes: Posiciones (m) Velocidades (m/s) Aceleraciones (m/s2)

x123 -0,1542 vx123 0,0163 ax123 0,1875y123 0,2671 vy123 -0,0282 ay123 -0,0468z123 0,568 vz123 0,0537 az123 0,033x145 0,2671 vx145 0,0388 ax145 0,0536y145 0 vy145 0 ay145 0z145 0,6022 vz145 -0,0026 az145 -0,0604x161 -0,1753 vx161 0,0534 ax161 0,0808y161 -0,2323 vy161 -0,0305 ay161 -0,0464z161 0,833 vz161 0,0298 az161 -0,01






3. ESTUDIO DINAMICO

3.1. Introducción

Las ecuaciones de la dinámica de un sistema multicuerpo las podemos obtener a

través de varios procedimientos matemáticos como: el principio de los desplazamientos

virtuales, el principio de Hamilton, las ecuaciones de Lagrange, o el método de las

potencias virtuales. De esta manera, podremos llegar a distintas expresiones con las que

podremos modelar y simular sistemas dinámicos multicuerpo.

En el problema dinámico, entran en juego las fuerzas y reacciones que se producen

en el mecanismo. La ecuación que se utiliza es básicamente la de la 2º Ley de Newton:

F = m · a

Esta ecuación necesariamente debe modificarse para realizar los cálculos que aquí

competen, ya que no se supone que la masa de los eslabones está concentrada en su centro

de gravedad, sino que la masa se distribuye entre varios puntos del mismo, que serán

llamados puntos característicos del eslabón. Para ello, y para poder utilizar la ecuación

para sistemas multicuerpo, se utiliza la matriz de masas, la cual se describe en el siguiente

apartado.

3.2. Matriz de masas

En esta sección se va a explicar la forma en la que se construye la matriz de masas

de un sólido, para que multiplicándola por las aceleraciones, se obtenga el vector de las

fuerzas de inercia. La forma que tomará la matriz de masas, dependerá de las coordenadas

que se utilicen para representar el mecanismo.

Las fuerzas de inercia serán representadas por medio de fuerzas equivalentes que

sean congruentes con las coordenadas naturales del elemento. La matriz de masas se puede

escribir basándose en diversos factores, como por ejemplo:

- dos puntos y dos vectores no coplanares

- tres puntos y un vector no coplanar

- cuatro puntos






- dos puntos y un vector no colineal

Para el presente caso, se calculará la matriz de masa para cuatro puntos, a partir de

la expresión de la energía cinética. Para ello, se dispone la siguiente figura,

Figura 3.2.1: Referencias fija y móvil en un sólido rígido

En la figura, se observa que hay un sistema de referencia fijo [x,y,z], y un sistema

de referencia móvil [u,v,w]. De la figura se deduce:

rp = r0 + xp·u + yp·v + zp·w

o lo que es lo mismo:

rp = [ I3 xp·I3 yp·I3 zp·I3 ]·

��

�

�

��

�

�

wvur0

= A·V

siendo I3 la matriz identidad de orden 3, A una matriz 3x12 y V un vector 12x1.

Derivando una vez con respecto del tiempo, y puesto que la matriz A no varía con el

tiempo, se tiene:

V·Arp ��

Entonces, se puede ir a la expresión de la energía cinética:

W = � dm·r·r21

pT

p �� = � dm·V·A·A·V21 TT �� = � �V·dm·A·A·V·

21 TT ��

�

Si se calcula AT·A, se tiene:

x

y

z

u

w

v

prp






AT·A=

��

�

�

��

�

�

32

p3pp3pp3p

3pp32

p3pp3p

3pp3pp32

p3p

3p3p3p3

I·zI·z·yI·z·xI·zI·z·yI·yI·y·xI·yI·z·xI·y·xI·xI·x

I·zI·yI·xI

Integrando para toda la masa se llega a:

��

�

�

��

�

�

��

3z3yz3xz3G

3yz3y3xy3G

3xz3xy3x3G

3G3G3G3

T

I·II·II·II·z·mI·II·II·II·y·mI·II·II·II·x·m

I·z·mI·y·mI·x·mI·m

dm·A·A

donde Iij son los productos de inercia, e Ii son las siguientes combinaciones de los

momentos de inercia:

2III

I xxzzyyx

��

� 2

IIII yyzzxxy

��

� 2

IIII zzyyxxz

��

�

A continuación se particularizará el cálculo de la matriz de masa al caso objeto del

estudio.

3.2.1. Matriz de masa referida a 4 puntos

Para el estudio que se está desarrollando, se debe calcular la matriz de masa

referida a 4 puntos. Para ello, se considera que la referencia móvil está fijada a la

plataforma superior, y como cuarto punto además de los tres vértices, se toma el punto con

el que los tres anteriores formarían un tetraedro apoyado en la plataforma superior.

Se definen a continuación las coordenadas de estos cuatro puntos en la referencia

móvil:

r161 = r0 + x161·u + y161·v + z161·w

r123 = r0 + x123·u + y123·v + z123·w

r145 = r0 + x145·u + y145·v + z145·w

r200 = r0 + x200·u + y200·v + z200·w

Estas ecuaciones se pueden reescribir de la siguiente forma:






rijk =

��

�

�

��

�

�

200

161

145

123

rrrr

=

��

�

�

��

�

�

3200320032003

3161316131613

3145314531453

3123312331233

I·zI·yI·xII·zI·yI·xII·zI·yI·xII·zI·yI·xI

·

��

�

�

��

�

�

wvur0

Derivando con respecto del tiempo, y operando, se llega a:

rijk = B·V � ijkr� = B· V� � V� = B-1· ijkr� � TV� = Tijkr� · T1B�

Anteriormente, se había llegado a:

W = � �V·dm·A·A·V·21 TT ��

�

Sustituyendo V� y TV� por las expresiones obtenidas, se tiene:

W = 21 · T

ijkr� · T1B� · � �� dm·A·AT ·B-1· ijkr�

Con lo que ya se ha obtenido una expresión para la matriz de masa:

M = T1B� · � �� dm·A·AT ·B-1

Una vez calculada la expresión general de la matriz de masa referida a 4 puntos, ya

se puede obtener la matriz de masa del manipulador con el sólido a posicionar. El sólido

que se situará sobre la plataforma móvil es un cilindro recto y de densidad homogénea. La

altura del cilindro es de 1.2 metros. El diámetro de la base tiene un valor de

50 cm. La masa del cilindro es de 80 Kg y está situada de tal forma que el centro del

círculo que forma su base coincide con el baricentro de la plataforma móvil del

manipulador. Para el cálculo de la matriz de masa de la plataforma móvil y del cilindro se

desprecia la masa de la plataforma y se calcula dicha matriz respecto de 4 puntos que

forman un tetraedro (3 vértices de la plataforma móvil y un punto auxiliar). Nótese que

puesto que la matriz de masa sólo depende de la geometría del sistema, la cual

permanecerá invariable, la matriz de masa será constante en todo momento.






3.3. El problema dinámico

3.3.1. Introducción

La dinámica estudia los efectos que las fuerzas producen sobre un mecanismo. El

efecto de estas fuerzas es producir aceleraciones, y generar fuerzas internas entre los

eslabones del sistema.

Debido a que el conjunto de coordenadas naturales no son independientes, se

introducen los multiplicadores de Lagrange en las ecuaciones que relacionan las masas con

las fuerzas y las aceleraciones. Las ecuaciones para el estudio dinámico son:

M· q� + �qT·� = Q

Donde M representa la matriz de masas, �qT la matriz jacobiana transpuesta, � el

vector de los multiplicadores de Lagrange y Q el vector de las fuerzas exteriores.

Al mismo tiempo se deben cumplir las ecuaciones de la cinemática representadas

por:

�q·q�� = - q�� · q� - t��

En el primer sistema de n ecuaciones, se tienen n+m incógnitas: los n elementos del

vector de aceleraciones más los m elementos del vector de los multiplicadores. Para poder

resolver este sistema, se toman en consideración también las m ecuaciones cinemáticas del

cálculo de las aceleraciones, formando así un sistema de n+m ecuaciones con n+m

incógnitas, que se puede expresar de forma matricial como:

��

�

��

�

�

�

0M

q

Tq · �

�

��

�

�

q��= �

�

��

�

�� tq q·Q

��

Sistema de ecuaciones que sirve tanto para resolver los problemas dinámicos

directos como los problemas dinámicos inversos y los estáticos.

3.3.2. El problema dinámico directo

El objetivo del problema dinámico directo es encontrar las aceleraciones que unas

determinadas fuerzas producen sobre el mecanismo y, posteriormente resolver las fuerzas

de reacción que se introducen en cada uno de los puntos.






Para ello, en primer lugar se deben determinar las características del mecanismo, las

cuales son representadas por las ecuaciones de limitación vistas anteriormente. También es

preciso conocer la posición y velocidad del manipulador, cálculos realizados introduciendo

las condiciones de entrada para la posición y velocidad angular de la manivela y

resolviendo los problemas de posición y velocidad tal y como se ha realizado en el cálculo

cinemático.

Tras ello, se plantea el conjunto de cargas que actúan sobre el sistema, que pueden

ser de dos tipos: fuerzas o momentos. Se deben definir sus magnitudes, líneas de acción y

puntos de aplicación.

En este momento, se plantea el conjunto de cargas que actúan sobre el sistema, que

pueden ser de dos tipos: fuerzas y momentos. Se deben definir sus magnitudes, líneas de

acción y puntos de aplicación.

Con estos datos de entrada, se realiza un programa que calcula las aceleraciones

que se generan en el mecanismo. Para ello, se basa en el método de la potencia virtual

aplicado en cada uno de los puntos móviles del mecanismo, que se basa en la potencia

necesaria para producir un desplazamiento virtual muy pequeño en cada uno de los puntos.

Se genera así un conjunto de ecuaciones en el que las incógnitas son las aceleraciones de

estos puntos.

Sin embargo, estas ecuaciones están ligadas entre sí por medio de las ecuaciones de

limitación del mecanismo. Por esto, cada una de las ecuaciones de la potencia virtual se

debe corregir introduciendo un sumando que representa la potencia virtual correspondiente

a las limitaciones del sistema. Este sumando se toma como producto de cierto elemento de

la matriz jacobiana del mecanismo multiplicada por un factor conocido como multiplicador

de Lagrange, ya visto en la introducción de este apartado.

Así, se tiene un sistema en que todas las ecuaciones son lineales y cuya solución da

como resultado las deseadas aceleraciones de los puntos del mecanismo y el valor de los

multiplicadores de Lagrange.

Para el caso del manipulador paralelo, se trabajará con el sistema:

��

�

��

�

�

�

0M

q

Tq · �

�

��

�

�

q��= �

�

��

�

�� tq q·Q

��






donde q = [x123,y123,z123, x145,y145,z145, x161,y161,z161, x200,y200,z200,�1,�2,�3,�4,�5,�6]T,

vector en el que se han añadido las coordenadas de punto x200, vértice de la pirámide

formada por ese mismo punto y los tres vértices de la plataforma superior. Se ha debido

añadir este punto porque la matriz de masas está referida a 4 puntos. De no añadirse, la

matriz de masa referida a 3 puntos no sería constante.

Por otra parte, el vector � tendrá la siguiente forma:

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� 123

22161200

2161200

2161200

22145200

2145200

2145200

22123200

2123200

2123200

256

2161145

2161145

2161145

234

2123145

2123145

2123145

212

2123161

2123161

2123161

21

21101161

201161

21101161

26

26606161

22

05062

0506

06056606161

22

05062

0506

06056606161

25

25505145

22

05062

0506

06055505145

22

05062

0506

06055505145

24

24404145

22

03042

0304

03044404145

22

03042

0304

04034404145

23

23303123

22

03042

0304

03043303123

22

03042

0304

04033303123

22

22202123

202123

22202123

x

5.0)zz()yy()xx(5.0)zz()yy()xx(5.0)zz()yy()xx(

a)zz()yy()xx(a)zz()yy()xx(a)zz()yy()xx(

L))·sin(r-z-z()y-(y))·cos(rx-(x

L))·sin(r-z-(z))y(y)x(x

xx)··cos(ry-(y))y(y)x(x

yy)··cos(rx-(x



yy)··cos(rx-(x



yy)··cos(rx-(x



yy)··cos(rx-(x

L -))·sin(r-z-(z )y-(y ))·cos(r-x-(x

por lo que �q será un jacobiano de dimensiones 12x18. La matriz de masa M habrá

que completarla para introducir en ella las manivelas, ya que sus aceleraciones angulares

serán también variables del problema. Como su masa se puede considerar despreciable, la

matriz se completará con submatrices nulas hasta llegar a una matriz 18x18.

El vector Q será un vector cuyas primeras 12 componentes serán las tres

componentes de las fuerzas en los cuatro vértices del tetraedro, y las siguientes 6

componentes serán los momentos en las manivelas. En el programa realizado para la

resolución del problema, se pueden introducir fuerzas externas en los tres vértices de la

plataforma (en el vértice superior del tetraedro, puesto que es un punto ficticio no

perteneciente al sistema en sí, se considera que no se pueden introducir fuerzas externas), y

momentos en las manivelas.

El sistema se resuelve de manera sencilla, puesto que todas las incógnitas están en

el mismo vector.






3.3.3. El problema dinámico inverso

El objetivo del problema dinámico inverso es encontrar el valor de la carga que

produce en el mecanismo un efecto dado. En segundo lugar, calcula las reacciones internas

que se producen en cada uno de sus puntos. Es el problema inverso al dinámico directo,

puesto que los datos de ahora son las incógnitas de antes y las incógnitas de ahora son los

datos iniciales del problema anterior.

El método empleado para resolverlo es el mismo que en el caso directo, basado en

la potencia virtual. Para resolver el problema, en primer lugar se deben determinar las

características del sistema, descritas en las ecuaciones de limitación, y a partir de ahí

calcular la posición, velocidad y aceleración que se desea que la carga incógnita genere en

el mecanismo. Para ello se introducen las condiciones de entrada para la posición,

velocidad angular y aceleración angular de la manivela y se resuelven los problemas de

posición, velocidad y aceleración.

Llegados a este punto, se plantea el conjunto de cargas que actúan sobre el sistema,

que pueden ser fuerzas y/o momentos. Se deben definir sus magnitudes, líneas de acción y

puntos de aplicación. Además, se deben definir las características de la carga que, unida al

conjunto que actúa inicialmente, induce en el sistema las aceleraciones anteriormente

definidas. Las características de esta carga deberán ser su tipo (fuerza o momento),

dirección de su línea de acción y punto y elemento donde se aplica.

Posteriormente se programa un algoritmo que resuelve en primer lugar la

cinemática completa del mecanismo y en segundo lugar calcula la magnitud de la carga

desconocida. En este caso, se genera un conjunto de ecuaciones en el que las incógnitas

son los multiplicadores de Lagrange y la carga que induce la citada aceleración. Tras

resolver el sistema, se resuelven las fuerzas internas que se producen en el mecanismo

utilizando los multiplicadores y las aceleraciones del mecanismo.

Para el caso del manipulador paralelo, se trabajará con el mismo sistema que para

resolver la dinámica directa, es decir:

��

�

��

�

�

�

0M

q

Tq · �

�

��

�

�

q��= �

�

��

�

�� tq q·Q

��

donde q = [x123,y123,z123, x145,y145,z145, x161,y161,z161, x200,y200,z200,�1,�2,�3,�4,�5,�6]T.






Como en el caso precedente, el vector Q será un vector cuyas primeras 12

componentes serán las tres componentes de las fuerzas en los cuatro vértices del tetraedro,

y las siguientes 6 componentes serán los momentos en las manivelas (Mi). Puesto que se

tienen 6 grados de libertad, y en la construcción del manipulador paralelo éstos serán

controlados a través de los motores, se supondrán nulas las fuerzas en la plataforma

superior (12 primeras componentes de Q), y las incógnitas serán los 6 pares en las

manivelas. Así pues, se tendrá un sistema con 18 ecuaciones y 18 incógnitas (6 momentos

en las manivelas y 12 multiplicadores de Lagrange).

Para resolver el sistema, hay que tener en cuenta que en la ecuación de la

cinemática se conocen todos los términos, por lo que no será necesaria. Realizando las

pertinentes operaciones algebraicas, el sistema a resolver será:

� �M · � �q�� + � �Tq� · � �� = Q = �

�

��

�

iM0

� ��

��

�

��

6

Tq I

0· �

�

��

� �

iM= � �M� · � �q��

del cual se obtendrán los multiplicadores de Lagrange y los pares necesarios para

generar las aceleraciones deseadas.

3.3.4. El problema estático

La estática consiste en estudiar los sistemas sometidos a cargas externas tales que

su acción final sea nula, es decir, que se contrarresten entre ellas de manera que el sistema

permanezca inmóvil o con una cinemática igual a la que tendría si no actuase ninguna

carga sobre él. En estos casos se estudian todas las fuerzas que se crean en el sistema.

El problema estático, además, en el caso de que las cargas que actúan sobre el

sistema no se compensen entre sí, es capaz de encontrar el valor de la carga que las

contrarresta para equilibrar el mecanismo, y proceder después al estudio de las fuerzas que

se generan en el sistema.

En este problema, tal y como se hacía en los anteriores, en primer lugar se

determinan las características del mecanismo, representadas en las ecuaciones de

limitación, para después calcular la posición del mecanismo resolviendo el problema de

posición inicial.






De este modo se conocerá la posición de todos los puntos del sistema. Además,

como se está planteando el problema estático, también se conocerán las velocidades y

aceleraciones de todos los puntos, que serán nulas.

Más tarde, se plantea el conjunto de cargas (fuerzas y momentos) que actúan sobre

el mecanismo. Para el caso en que este conjunto de cargas no equilibre el sistema, se debe

definir el tipo de carga que se quiere que estabilice el mecanismo, y el punto y el eslabón

en que se aplicará.

Así, se preparará un programa que calcule el valor de la carga equilibrante (si la

hay) y las fuerzas que se generan en el mecanismo. Dicho algoritmo se basa en el método

de la potencia virtual aplicado en cada uno de los puntos móviles del mecanismo. Se

genera así un conjunto de ecuaciones en el que las incógnitas son los multiplicadores de

Lagrange y el valor de la carga que estabiliza al sistema. Una vez resuelto el sistema, se

calculan todas las reacciones internas utilizando los multiplicadores de Lagrange.

Para el caso del manipulador paralelo, las cargas que lo equilibren serán los

momentos a aplicar en las manivelas. Se supondrá que las fuerzas y momentos que actúan

sobre el sistema, se pueden sustituir por una fuerza y un momento resultantes que actúan

sobre el centro de gravedad de la plataforma superior. Se podrá hacer una sencilla

simplificación de la ecuación principal, puesto que las velocidades son nulas:

M· q�� + �qT·� = Q � �q

T·� = Q

En esta ocasión, � será un vector que contiene 27 ecuaciones de limitación ((2.3.1)

a (2.3.27)). Como variables se tomarán:

- las tres coordenadas de cada extremo libre de las seis manivelas (18 variables)

- la tres coordenadas de los tres vértices de la plataforma superior (9 variables)

- los seis ángulos que forman las manivelas con el plano horizontal, contado

desde dentro del triángulo que forman los ejes de los motores (6 variables)

Se tienen pues 33 variables, por lo que las dimensiones de �q serán 27x33 (33x27

para la traspuesta �qT). El vector de multiplicadores de Lagrange � será de dimensión

27x1, y Q será el vector de fuerzas externas de dimensión 33x1, que estará formado por:

- Las tres componentes de la fuerza exterior en el extremo libre de cada manivela

(18)






- Las tres componentes de la fuerza exterior en cada vértice de la plataforma

superior (9)

- Los momentos equilibrantes que debe proporcionar cada motor (6)

Como simplificación se supone que sólo puede haber fuerzas exteriores aplicadas

en la plataforma superior, por lo que las 18 primeras componentes del vector Q serán

nulas. Además, la fuerza exterior aplicada en la plataforma se conocerá como una

resultante de fuerzas y momentos aplicada en el centro de gravedad de la misma, por lo

que el programa deberá reconvertir esta resultante en fuerzas aplicadas en los vértices.

El sistema está formado por 33 ecuaciones con 33 incógnitas, que son las 27

componentes del vector de multiplicadores de Lagrange, y los seis momentos equilibrantes

que deben proporcionar los motores. Como no se tienen todas las incógnitas en el mismo

vector se deben realizar ciertas manipulaciones algebraicas antes de proceder a la

resolución del sistema:

� �Tq� · � �� = Q =

��

�

�

��

�

�

iMF0

� ��

��

�

��

6

Tq I

0· �

�

��

� �

iM=

��

�

�

��

�

�

0F0

donde F (9x1) es el vector de las fuerzas exteriores aplicadas en los vértices de la

plataforma superior, y Mi (6x1) el vector de los momentos equilibrantes a realizar por los

motores.

3.4. Resultados

Una vez planteados los sistemas a resolver, se programan en Matlab los algoritmos

necesarios para su resolución.

3.4.1. Problema dinámico directo

Se ha programado un algoritmo que resuelve el problema para distintas posiciones,

velocidades y fuerzas y momentos externos aplicados al manipulador. Las posiciones y

velocidades se introducirán en la siguiente ventana:






Figura 3.4.1.1: Ventana de datos de entrada para el problema dinámico directo

Una vez resueltos los problemas de posición inicial y velocidad, se despliega la

siguiente ventana, en la que se podrán introducir las fuerzas y los momentos:

Figura 3.4.1.2: Ventana de fuerzas y momentos para el problema dinámico directo






Pulsando el botón “Resolver dinámica”, se resolverá el problema dinámico directo.

Para el caso de los de partida de las figuras anteriores, se tiene los siguientes resultados:

aceleraciones angulares (rad/s2) acleraciones del manipulador (m/s2)�1 3,0978 ax123 -0,3193�2 5,9323 ay123 0,2613�3 6,6483 az123 0,5257�4 0,2212 ax145 -0,5500�5 -0,4570 ay145 -0,1382�6 7,0574 az145 0,1355

ax161 -0,7807ay161 0,2613az161 0,4638

3.4.2. Problema dinámico inverso

El algoritmo realizado permite resolver el problema para distintas posiciones,

velocidades y aceleraciones deseadas las cuales se deben introducir en las siguiente

ventana:

Figura 3.4.2.1: Ventana de datos de entrada para el problema dinámico inverso

Una vez resueltos los problemas de posición, velocidad y aceleración, se procede a

la resolución del problema dinámico inverso, en el que se pueden introducir las fuerzas que

se deseen en los vértices de la plataforma móvil, mediante la siguiente ventana:






Figura 3.4.2.2: Ventana de fuerzas exteriores para el problema dinámico inverso

Resolviendo el sistema con los datos de las figuras anteriores, los resultados de

momentos necesarios y fuerzas en las bielas son los siguientes:

Momentos necesarios (N·m) Reacciones en las bielas (N)M1 110,82 Fb1 -1.450,2M2 91,35 Fb2 -1.195,5M3 0,09 Fb3 -1,2M4 31,51 Fb4 -412,4M5 -133,37 Fb5 1.745,4M6 -145,32 Fb6 1.901,8

3.4.3. Problema estático

El algoritmo programado resuelve el problema estático para distintas posiciones, las

cuales se pueden introducir en la siguiente ventana:






Figura 3.4.3.1: Ventana de datos de entrada para el problema estático

Antes de resolver la dinámica, se pueden introducir diferentes valores de la carga

aplicada en el centro de gravedad de la plataforma superior, mediante la siguiente ventana:

Figura 3.4.3.2: Ventana de fuerzas y momentos exteriores

en el centro de gravedad de la plataforma superior






Resolviendo el problema estático con los datos introducidos en las figuras

anteriores los momentos necesarios:

M1 -1,8372M2 -1,4534M3 -0,1033M4 1,7831M5 -1,1139M6 1,9099






4. ESTUDIO DE LAS CONFIGURACIONES

ESTACIONARIAS

4.1. Introducción

Las configuraciones singulares estacionarias o de volquete son posiciones del

manipulador que tienen la particularidad de que cuando se llega a ellas el mecanismo sufre

un cambio en el número de grados de libertad que posee. Estas configuraciones

estacionarias aparecen tanto en mecanismos tridimensionales como en mecanismos planos.

Se considerará primero el caso de las posiciones singulares de un cuadrilátero

articulado

Figura 4.1.1: Cuadrilátero articulado

Las configuraciones estacionarias se darán cuando la manivela (1) y el eslabón

acoplador (2) estén alineados. Existen pues dos posiciones de volquete en el cuadrilátero

articulado, las cuales se muestran a continuación:

Figura 4.1.2: Cuadrilátero articulado en posición singular de superposición

1

2

3

1

2 3






Figura 4.1.3: Cuadrilátero articulado en posición singular de prolongación

Estas posiciones son configuraciones de gran precisión de posición para el eslabón

seguidor (3). En ellas, pequeños errores en la posición de las manivelas de entrada apenas

influyen en la posición del seguidor, de ahí su calificativo de posiciones estacionarias.

En las posiciones de volquete, el par de entrada en la manivela será nulo e

independiente de las fuerzas o momentos que aplicados al eslabón de salida. Esto es debido

a que la reacción que aparece en la articulación de unión de la manivela y el eslabón

acoplador tiene la dirección de la manivela.

En los mecanismos planos, pueden existir configuraciones singulares de

incertidumbre de posición, que suelen resultar perjudiciales o negativas, en las que el

eslabón de salida puede realizar pequeños desplazamientos aunque el eslabón de entrada

permanezca inmóvil, de ahí la incertidumbre de posición. También, el eslabón de salida

puede tener una cierta velocidad, siendo nula la velocidad del eslabón de entrada. Un

ejemplo de este tipo de posiciones se puede dar en el cuadrilátero articulado si se introduce

el movimiento por el eslabón seguidor y se toma la manivela como eslabón de salida. En

este caso, si no se toma ningún tipo de precaución, el mecanismo puede quedar fuera de

control en esas configuraciones, al surgir un nuevo grado de libertad para el eslabón de

salida.

4.2. Configuraciones singulares estacionarias del

manipulador paralelo

El manipulador paralelo está formado por dos plataformas triangulares, una fija y

otra móvil, unidas por seis cadenas actuador-biela-manivela. Puesto que dichas cadenas

cinemáticas poseen posiciones de volquete, el manipulador paralelo también las tendrá.

Estas configuraciones se darán cuando la posición de alguna cadena sea tal que el eje del

actuador, la manivela y la biela se encuentren en el mismo plano.

1

23






Analizando las posibles posiciones del eje del actuador, la manivela y la biela, se

observa que cada cadena tendrá dos posiciones de insensitividad: una cuando la manivela y

biela estén casi en prolongación y otra cuando estén casi superpuestas.

Hallándose una de las cadenas cinemáticas del manipulador paralelo en posición de

volquete, éste perderá un grado de libertad. Cuando esto sucede, a la posición alcanzada

por el manipulador se le denomina configuración estacionaria parcial, puesto que la

plataforma permanecerá fija si se introduce movimiento por el actuador cuya cadena

cinemática correspondiente se encuentre en configuración estacionaria. Así, se pueden

alcanzar infinidad de configuraciones estacionarias parciales, combinando las distintas

posiciones de volquete de las cadenas cinemáticas. Si se alcanzan posiciones de volquete

en las seis cadenas cinemáticas del manipulador, se habrá llegado a una configuración

estacionaria total, también llamada configuración estacionaria. En estas posiciones, la

plataforma móvil permanecerá fija aunque se introduzca movimiento por todos los

actuadores. Puesto que el manipulador paralelo tiene seis cadenas cinemáticas, y cada una

de ellas tiene cuatro posiciones de volquete, se tendrá un total de 26 = 64 configuraciones

estacionarias.

4.2.1. Cálculo de las configuraciones singulares estacionarias del

manipulador paralelo

Para el cálculo de las 64 configuraciones estacionarias o de insensitividad que

presenta el manipulador, se deben plantear las ecuaciones que cumplen dichas posiciones.

Se pueden distinguir dos tipos de ecuaciones: las que cumplen todas las posiciones del

manipulador, las cuales se cumplían en el cálculo cinemático y las propias de las

posiciones de volquete. Estas últimas ecuaciones son obtenidas de la condición de que el

eje del motor, la manivela y la biela están contenidos en un mismo plano.

Por tanto, las ecuaciones que debe cumplir el manipulador en las configuraciones

estacionarias son:

Ecuaciones de longitud constante de la biela:

(x123-x12)2 + (y123-y12)2 + (z123-z12)2 – l22 =0

(x123-x13)2 + (y123-y13)2 + (z123-z13)2 – l32 =0

(x145-x14)2 + (y145-y14)2 + (z145-z14)2 – l42 =0






(x145-x15)2 + (y145-y15)2 + (z145-z15)2 – l52 =0

(x161-x16)2 + (y161-y16)2 + (z161-z16)2 – l62 =0

(x161-x11)2 + (y161-y11)2 + (z161-z11)2 – l12 =0

Ecuaciones de longitud constante de cada lado de la plataforma móvil:

(x161-x123)2 + (y161-y123)2 + (z161-z123)2 – a122 =0

(x145-x123)2 + (y145-y123)2 + (z145-z123)2 – a342 =0

(x145-x161)2 + (y145-y161)2 + (z145-z161)2 – a562 =0

Ecuaciones de longitud constante de las manivelas:

(x11-x01)2 + (y11-y01)2 + (z11-z01)2 – r12 =0

(x12-x02)2 + (y12-y02)2 + (z12-z02)2 – r22 =0

(x13-x03)2 + (y13-y03)2 + (z13-z03)2 – r32 =0

(x14-x04)2 + (y14-y04)2 + (z14-z04)2 – r42 =0

(x15-x05)2 + (y15-y05)2 + (z15-z05)2 – r52 =0

(x16-x06)2 + (y16-y06)2 + (z16-z06)2 – r62 =0

Condición de perpendicularidad entre el eje del motor y la manivela:

(x11-x01)(x02-x01) + (y11-y01)(y02-y01) + (z11-z01)(z02-z01) = 0

(x12-x02)(x02-x01) + (y12-y02)(y02-y01) + (z12-z02)(z02-z01) = 0

(x13-x03)(x04-x03) + (y13-y03)(y04-y03) + (z13-z03)(z04-z03) = 0

(x14-x04)(x04-x03) + (y14-y04)(y04-y03) + (z14-z04)(z04-z03) = 0

(x15-x05)(x05-x06) + (y15-y05)(y05-y06) + (z15-z05)(z05-z06) = 0

(x16-x06)(x05-x06) + (y16-y06)(y05-y06) + (z16-z06)(z05-z06) = 0

Para la condición de que el eje del motor, la biela y la manivela estén en el mismo

plano, se utilizará el producto mixto de tres vectores, que es nulo si los tres vectores se

hallan en un mismo plano:

(x02-x01)(y11-y01)(z161-z11)-(x02-x01)(z11-z01)(y161-y11)+(y02-y01)(z11-z01)(x161-x11)-

(y02-01)(x11-x01)(z161-z11)+(z02-z01)(x11-x01)(y161-y11)-(z02-z01)(y11-y01)(x161-x11)=0


(y01-y02)(x12-x02)(z123-z12)+(z01-z02)(x12-x02)(y123-y12)-(z01-z02)(y12-y02)(x123-x12)=0

(x04-x03)(y13-y03)(z123-z13)-(x04-x03)(z13-z03)(y123-y13)+(x04-x03)(z13-z03)(x123-x13)-










(y06-y05)(x15-x05)(z145-z15)-(z06-z05)(y15-y05)(x145-x15)+(z06-z05)(x15-x05)(y145-y15)=0



Tal y como se ha hecho hasta ahora, se agruparán todas las ecuaciones en el vector

�, de modo que se tendrá:

�(q(t),t) = 0

donde el vector q, estará formado por 27 variables, que serán:

q = {x11, y11, z11, x12, y12, z12, x13, y13, z13, x14, y14, z14, x15, y15, z15, x16, y16, z16, x123,

y123, z123, x145, y145, z145, x161, y161, z161}T

Dado que las ecuaciones que constituyen este sistema no son lineales, también aquí

habrá que utilizar el método de Newton-Raphson.

Se debe tener en cuenta que el sistema, puesto que existen 64 posiciones de

insensitividad, tiene 64 soluciones. Entonces, la solución que dará el método de Newton-

Raphson será la más cercana a la iteración inicial. Así, se realizará un algoritmo que repita

el método 64 veces tomando 64 iteraciones iniciales distintas, cada una de ellas cercana a

una posición singular. La elección de estas 64 posiciones iniciales es sencilla ya que se

sabe que cada cadena cinemática tiene una posición de volquete cuando la manivela y la

biela están casi en prolongación, y otra cuando prácticamente se superponen.

4.2.2. Resultados

En la siguiente tabla se representan las coordenadas de los tres vértices de la

plataforma superior en las 64 configuraciones estacionarias:

Tabla 4.2.2.1: Posición de los vértices de la plataforma móvil

en las configuraciones estacionarias

x123 y123 z123 x145 y145 z145 x161 y161 z161

1 -0,1443 0,2500 0,4428 0,2887 0,0000 0,4428 -0,1443 -0,2500 0,44282 -0,2083 0,3607 0,4054 0,1358 0,0000 0,4444 -0,3493 -0,1109 0,49323 -0,2083 0,3607 0,4054 0,2707 0,2471 0,4932 -0,0679 -0,1176 0,44444 -0,2750 0,4763 0,3219 0,1395 0,2584 0,4971 -0,2935 0,0084 0,49715 -0,0679 0,1176 0,4444 0,2707 -0,2471 0,4932 -0,2083 -0,3607 0,4054






6 -0,1092 0,1892 0,4491 0,1067 -0,2596 0,4935 -0,3911 -0,2236 0,46327 -0,1443 0,2500 0,4428 0,2311 0,0000 0,6585 -0,1443 -0,2500 0,44288 -0,1925 0,3335 0,4179 0,0940 0,0000 0,6561 -0,3583 -0,1328 0,48939 -0,3493 0,1109 0,4932 0,1358 0,0000 0,4444 -0,2083 -0,3607 0,405410 -0,3993 0,2500 0,4524 0,0325 0,0000 0,4188 -0,3993 -0,2500 0,452411 -0,3911 0,2236 0,4632 0,1067 0,2596 0,4935 -0,1092 -0,1892 0,449112 -0,4308 0,3963 0,3631 0,0361 0,2602 0,4791 -0,3340 -0,0755 0,497413 -0,2935 -0,0084 0,4971 0,1395 -0,2584 0,4971 -0,2750 -0,4763 0,321914 -0,3340 0,0755 0,4974 0,0361 -0,2602 0,4791 -0,4308 -0,3963 0,363115 -0,3583 0,1328 0,4893 0,0940 0,0000 0,6561 -0,1925 -0,3335 0,417916 -0,3993 0,2500 0,4524 -0,0060 0,0000 0,6335 -0,3993 -0,2500 0,452417 0,0786 0,3579 0,4932 0,4165 0,0000 0,4054 -0,0679 -0,1176 0,444418 0,0019 0,4505 0,4632 0,2184 0,0000 0,4491 -0,2782 0,0374 0,493519 -0,0169 0,4708 0,4524 0,4161 0,2208 0,4524 -0,0162 -0,0281 0,418820 -0,1278 0,5712 0,3631 0,2324 0,2515 0,4974 -0,2434 0,0988 0,479121 0,1715 0,2222 0,4935 0,3892 -0,2269 0,4632 -0,1092 -0,1892 0,449122 0,1604 0,2400 0,4960 0,1276 -0,2589 0,4960 -0,2881 0,0189 0,496023 0,0728 0,3655 0,4918 0,3891 0,0000 0,6198 -0,0651 -0,1127 0,443524 0,0195 0,4307 0,4721 0,1891 0,0000 0,6612 -0,2812 0,0318 0,494325 -0,1155 0,2001 0,6585 0,2887 0,0000 0,4428 -0,1443 -0,2500 0,442826 -0,1945 0,3369 0,6198 0,1301 0,0000 0,4435 -0,3530 -0,1197 0,491827 -0,1945 0,3369 0,6198 0,2801 0,2458 0,4918 -0,0651 -0,1127 0,443528 -0,2935 0,5083 0,4872 0,1395 0,2584 0,4971 -0,2935 0,0084 0,497129 -0,0470 0,0814 0,6561 0,2942 -0,2439 0,4893 -0,1925 -0,3335 0,417930 -0,0945 0,1637 0,6612 0,1130 -0,2594 0,4943 -0,3827 -0,1984 0,472131 -0,1443 0,2500 0,6498 0,2887 0,0000 0,6498 -0,1194 -0,2069 0,448232 -0,2139 0,3706 0,6026 0,1170 0,0000 0,6587 -0,3447 -0,0999 0,494833 -0,0679 0,1176 0,4444 0,4165 0,0000 0,4054 0,0786 -0,3579 0,493234 -0,1443 0,2500 0,4428 0,2887 0,0000 0,4428 -0,1155 -0,2001 0,658535 -0,1092 0,1892 0,4491 0,3892 0,2269 0,4632 0,1715 -0,2222 0,493536 -0,1925 0,3335 0,4179 0,2942 0,2439 0,4893 -0,0470 -0,0814 0,656137 -0,0162 0,0281 0,4188 0,4161 -0,2208 0,4524 -0,0169 -0,4708 0,452438 -0,0651 0,1127 0,4435 0,2801 -0,2458 0,4918 -0,1945 -0,3369 0,619839 -0,0651 0,1127 0,4435 0,3891 0,0000 0,6198 0,0728 -0,3655 0,491840 -0,1194 0,2069 0,4482 0,2887 0,0000 0,6498 -0,1443 -0,2500 0,649841 -0,2782 -0,0374 0,4935 0,2184 0,0000 0,4491 0,0019 -0,4505 0,463242 -0,3530 0,1197 0,4918 0,1301 0,0000 0,4435 -0,1945 -0,3369 0,619843 -0,2881 -0,0189 0,4960 0,1276 0,2589 0,4960 0,1604 -0,2400 0,496044 -0,3827 0,1984 0,4721 0,1130 0,2594 0,4943 -0,0945 -0,1637 0,661245 -0,2434 -0,0988 0,4791 0,2324 -0,2515 0,4974 -0,1278 -0,5712 0,363146 -0,2935 -0,0084 0,4971 0,1395 -0,2584 0,4971 -0,2935 -0,5083 0,487247 -0,2812 -0,0318 0,4943 0,1891 0,0000 0,6612 0,0195 -0,4307 0,472148 -0,3447 0,0999 0,4948 0,1170 0,0000 0,6587 -0,2139 -0,3706 0,602649 0,1540 0,2500 0,4971 0,5500 0,0000 0,3219 0,1540 -0,2500 0,497150 0,0641 0,3767 0,4893 0,3850 0,0000 0,4179 -0,0470 -0,0814 0,656151 0,1016 0,3270 0,4974 0,5586 0,1749 0,3631 0,2073 -0,1614 0,479152 -0,0169 0,4708 0,4524 0,4161 0,2208 0,4524 0,0030 0,0052 0,633553 0,2073 0,1614 0,4791 0,5586 -0,1749 0,3631 0,1016 -0,3270 0,497454 0,1682 0,2276 0,4943 0,3632 -0,2322 0,4721 -0,0945 -0,1637 0,661255 0,1540 0,2500 0,4971 0,5869 0,0000 0,4872 0,1540 -0,2500 0,497156 0,0858 0,3484 0,4948 0,4279 0,0000 0,6026 -0,0585 -0,1013 0,658757 -0,0470 0,0814 0,6561 0,3850 0,0000 0,4179 0,0641 -0,3767 0,4893






58 -0,1443 0,2500 0,6498 0,2389 0,0000 0,4482 -0,1443 -0,2500 0,649859 -0,0945 0,1637 0,6612 0,3632 0,2322 0,4721 0,1682 -0,2276 0,494360 -0,2139 0,3706 0,6026 0,2588 0,2485 0,4948 -0,0585 -0,1013 0,658761 0,0030 -0,0052 0,6335 0,4161 -0,2208 0,4524 -0,0169 -0,4708 0,452462 -0,0585 0,1013 0,6587 0,2588 -0,2485 0,4948 -0,2139 -0,3706 0,602663 -0,0585 0,1013 0,6587 0,4279 0,0000 0,6026 0,0858 -0,3484 0,494864 -0,1443 0,2500 0,6498 0,2887 0,0000 0,6498 -0,1443 -0,2500 0,6498

Los ángulos de las manivelas en dichas posiciones de insensitividad serán los

mostrados en la siguiente tabla:

Tabla 4.2.2.2: Ángulos en las manivelas en las configuraciones estacionarias

�1 �2 �3 �4 �5 �6

1 4,3973 4,3973 4,3973 4,3973 4,3973 4,39732 4,8347 4,5166 4,5166 4,2513 4,2513 0,93073 4,2513 4,5166 4,5166 4,8347 0,9307 4,25134 4,7222 4,6700 4,6700 4,7222 0,8432 0,84325 4,5166 4,2513 4,2513 0,9307 4,8347 4,51666 4,9300 4,3322 4,3322 0,8203 4,6911 1,01047 4,3973 4,3973 4,3973 1,3137 1,3137 4,39738 4,8537 4,4862 4,4862 1,2178 1,2178 0,94619 4,5166 4,8347 0,9307 4,2513 4,2513 4,516610 4,9521 4,9521 1,0298 4,1356 4,1356 1,029811 4,3322 4,9300 1,0104 4,6911 0,8203 4,332212 4,8032 5,0854 1,1538 4,6182 0,7682 0,905513 4,6700 4,7222 0,8432 0,8432 4,7222 4,670014 5,0854 4,8032 0,9055 0,7682 4,6182 1,153815 4,4862 4,8537 0,9461 1,2178 1,2178 4,486216 4,9521 4,9521 1,0298 1,1394 1,1394 1,029817 4,2513 0,9307 4,8347 4,5166 4,5166 4,251318 4,6911 1,0104 4,9300 4,3322 4,3322 0,820319 4,1356 1,0298 4,9521 4,9521 1,0298 4,135620 4,6182 1,1538 5,0854 4,8032 0,9055 0,768221 4,3322 0,8203 4,6911 1,0104 4,9300 4,332222 4,7111 0,8350 4,7111 0,8350 4,7111 0,835023 4,2454 0,9369 4,8424 1,4201 1,4201 4,245424 4,6973 0,9924 4,9091 1,2852 1,2852 0,824825 4,3973 1,3137 1,3137 4,3973 4,3973 4,397326 4,8424 1,4201 1,4201 4,2454 4,2454 0,936927 4,2454 1,4201 1,4201 4,8424 0,9369 4,245428 4,7222 1,5806 1,5806 4,7222 0,8432 0,843229 4,4862 1,2178 1,2178 0,9461 4,8537 4,486230 4,9091 1,2852 1,2852 0,8248 4,6973 0,992431 4,3514 1,3522 1,3522 1,3522 1,3522 4,351432 4,8250 1,4474 1,4474 1,2347 1,2347 0,922933 0,9307 4,2513 4,2513 4,5166 4,5166 4,834734 1,3137 4,3973 4,3973 4,3973 4,3973 1,313735 0,8203 4,3322 4,3322 4,9300 1,0104 4,691136 1,2178 4,4862 4,4862 4,8537 0,9461 1,2178






37 1,0298 4,1356 4,1356 1,0298 4,9521 4,952138 1,4201 4,2454 4,2454 0,9369 4,8424 1,420139 0,9369 4,2454 4,2454 1,4201 1,4201 4,842440 1,3522 4,3514 4,3514 1,3522 1,3522 1,352241 1,0104 4,6911 0,8203 4,3322 4,3322 4,930042 1,4201 4,8424 0,9369 4,2454 4,2454 1,420143 0,8350 4,7111 0,8350 4,7111 0,8350 4,711144 1,2852 4,9091 0,9924 4,6973 0,8248 1,285245 1,1538 4,6182 0,7682 0,9055 4,8032 5,085446 1,5806 4,7222 0,8432 0,8432 4,7222 1,580647 0,9924 4,6973 0,8248 1,2852 1,2852 4,909148 1,4474 4,8250 0,9229 1,2347 1,2347 1,447449 0,8432 0,8432 4,7222 4,6700 4,6700 4,722250 1,2178 0,9461 4,8537 4,4862 4,4862 1,217851 0,7682 0,9055 4,8032 5,0854 1,1538 4,618252 1,1394 1,0298 4,9521 4,9521 1,0298 1,139453 0,9055 0,7682 4,6182 1,1538 5,0854 4,803254 1,2852 0,8248 4,6973 0,9924 4,9091 1,285255 0,8432 0,8432 4,7222 1,5806 1,5806 4,722256 1,2347 0,9229 4,8250 1,4474 1,4474 1,234757 0,9461 1,2178 1,2178 4,4862 4,4862 4,853758 1,3522 1,3522 1,3522 4,3514 4,3514 1,352259 0,8248 1,2852 1,2852 4,9091 0,9924 4,697360 1,2347 1,4474 1,4474 4,8250 0,9229 1,234761 1,0298 1,1394 1,1394 1,0298 4,9521 4,952162 1,4474 1,2347 1,2347 0,9229 4,8250 1,447463 0,9229 1,2347 1,2347 1,4474 1,4474 4,825064 1,3522 1,3522 1,3522 1,3522 1,3522 1,3522

4.2.3. Utilidad de las configuraciones singulares estacionarias

Las configuraciones estacionarias permiten definir la movilidad del manipulador,

ya que constituyen unas posiciones extremas. La principal característica que poseen las

posiciones de punto muerto es que permiten obtener una gran precisión en el

posicionamiento. Al estar en una posición de volquete, aplicándosele pequeñas

perturbaciones, la plataforma móvil no se desplaza, y por tanto su velocidad es nula. De ahí

su otra denominación, configuraciones estacionarias. En estas posiciones, también el par es

igual a cero.

Otra utilidad que presentan las posiciones de volquete es que permiten conocer el

ángulo máximo y mínimo que puede llegar a formar cada biela con la plataforma fija, ya

que las posiciones estacionarias son posiciones extremas. Este dato será necesario para

poder diseñar correctamente cada unión biela-manivela. El ángulo mínimo, será interesante






para las posiciones en las que la manivela se encuentre por debajo del eje del motor, ya que

en estas posiciones, la biela ocupará un espacio por el que pasa el eje del motor.

4.2.4. Angulos máximos y mínimos en las cadenas biela-

manivela

4.2.4.1. Introducción

Una vez que se hayan calculado todas las configuraciones estacionarias, se deben

conocer los ángulos máximos y mínimos que forman las bielas con la plataforma fija. Para

ello, se realizará un pequeño algoritmo que calcule dichos ángulos en las 64 posiciones de

insensitividad, y que almacene los de mayor y menor valor.

El cálculo se realizará operando sólo con una de las cadenas cinemáticas biela-

manivela, ya que por simetría todas alcanzarán ángulos mínimos y máximos del mismo

valor.

4.2.4.2. Resultados

Llamando �1 al ángulo que forma la biela con la plataforma fija, se tienen los

siguientes resultados:

Angulo mínimo:

�� 4,6700�� 4,7222

�1(rad) 0,7796 �3 0,8432�1(grados) 44,67 �4 0,8432

�� 4,7222�� 4,6700

Angulo máximo:

�� 4,7222�� 1,5806

�1(rad) 1,4728 �3 1,5806�1(grados) 84,39 �4 4,7222

�� 0,8432�� 0,8432






A la derecha, se representan los ángulos de cada plataforma en las correspondientes

posiciones de insensitividad, que se refieren a las posiciones 49 y 11 respectivamente de la

lista anterior.

4.3. Otros cálculos necesarios para el diseño

Antes de empezar con el diseño del manipulador, se debe pensar en las

especificaciones que debe cumplir. Se desea que el manipulador pueda pasar de una

posición de insensitividad a otra en un tiempo determinado, por lo que se deben estudiar

las reacciones que se producirán y los pares necesarios para llevar a cabo dicho recorrido.

El tiempo en el que se desea que se realice el cambio de posición será t = 0.2 seg.

Se debe programar pues un algoritmo que realice dichos cálculos. En él, la

velocidad con que pasa de una posición a otra se considerará constante para simplificar el

cálculo. Así, se resolverá el problema dinámico en varias posiciones intermedias entre la

posición inicial y final, almacenando los máximos valores de par que debe proporcionar el

motor, y los máximos valores de fuerzas en las bielas. En el caso de las bielas, se tomarán

dos valores, el máximo valor positivo, es decir, a tracción, y el máximo negativo, que viene

a ser la máxima compresión.

El algoritmo deberá pasar de cada posición a las 63 restantes, para cubrir todos los

recorridos posibles. Sin embargo, esto no será necesario puesto que las fuerzas generadas y

los pares necesarios durante una trayectoria, serán los mismos en un sentido y en el otro,

con lo que el número de recorridos necesarios se reduce a la mitad.

Los resultados obtenidos son los siguientes:

Momento máximo que debe dar el motor:

M = 1983 N·m

Tracción máxima en las bielas:

F = 26153 N

Compresión máxima en las bielas:

F = -25338 N

Los resultados obtenidos no son satisfactorios, ya que el par máximo que debe

suministrar el motor es excesivamente alto, así como las fuerzas a tracción y compresión

que deben soportar las bielas. Como posibles soluciones, se piensa en reducir las






dimensiones de la manivela para reducir el par, y también se considera reducir la velocidad

de giro.

Tomada la decisión, se acorta la manivela que ahora será de 5cm, y tras calcular las

nuevas posiciones singulares, las cuales se incluyen en el Anexo I, se vuelve a realizar el

presente estudio para hallar el nuevo par máximo, obteniendo los siguientes resultados:


M = 299.6 N·m


F = 8717.4 N


F = -7924.9 N

Se observa una notable reducción, tanto del par máximo como de la tracción y la

compresión que debe soportar la biela. Aun así, se considera demasiado alto el par que

debe proporcionar el motor, por lo que se decide reducir la velocidad del motor. Ahora, se

deberá pasar de una posición de insensitividad otra en 0.9 segundos. Se realiza el nuevo

cálculo, cuyos resultados son los siguientes:


M = 14.6 N·m


F = 428.3 N


F = -389.1 N

Estos nuevos sí se considerarán satisfactorios, puesto que el par máximo que deben

suministrar los motores no es excesivamente alto.






5. ANALISIS DE SENSIBILIDAD

5.1. Introducción

El análisis de sensibilidad, determina la variación de la respuesta del mecanismo en

relación con la variación de ciertos parámetros de diseño. En el presente estudio, se

considerarán las longitudes de las bielas como parámetros de diseño.

El análisis se realiza derivando bien sean las posiciones de los puntos de referencia

del mecanismo, sus velocidades, sus aceleraciones o las fuerzas que actúan sobre el

mecanismo, con respecto de las variables de diseño, según se realice sensibilidad

cinemática o dinámica.

Este estudio se suele realizar como primer paso para la optimización de

mecanismos. En este caso, se derivará una función objetivo definida por el diseñador con

respecto a los parámetros de diseño.

5.2. Sensibilidad de posición

La sensibilidad de posición establece la variación de la posición de las coordenadas

consideradas en función de la variación de los parámetros de diseño. El cálculo se realiza

derivando las ecuaciones de limitación con respeto a las variables de diseño, que son las

longitudes de las bielas, teniendo previamente resuelto el problema de posición. Se

obtiene:

�q·qb + �b = 0

donde �q es la matriz jacobiana del sistema y �b la matriz de derivadas de las

ecuaciones de restricción del sistema respecto a los parámetros de diseño, mostrada a

continuación:






��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

00000000000000000000000L·2L·200000

0L·2000000L·2000000L·200

000L·20

1

6

5

4

3

2

b

Por su parte, qb representa la sensibilidad de posición respecto de los parámetros de

diseño. Puesto que �q y �b son conocidos, se resolverá el sistema para qb, que tendrá la

forma:

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

6

161

5

161

4

161

3

161

2

161

1

161

6

161

5

161

4

161

3

161

2

161

1

161

6

161

5

161

4

161

3

161

2

161

1

161

6

145

5

145

4

145

3

145

2

145

1

145

6

145

5

145

4

145

3

145

2

145

1

145

6

145

5

145

4

145

3

145

2

145

1

145

6

123

5

123

4

123

3

123

2

123

1

123

6

123

5

123

4

123

3

123

2

123

1

123

6

123

5

123

4

123

3

123

2

123

1

123

b

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

q

Si se realiza el producto de esta matriz con un vector que contenga los

desplazamientos de cada biela, se obtendrá el vector de las variaciones de las coordenadas

naturales. Sin embargo, para ello es necesario conocer dichos desplazamientos. Para

conocerlos, se deberá resolver el problema dinámico. Del problema dinámico resuelto

anteriormente, se obtienen los valores de los 6 primeros multiplicadores de Lagrange,






puesto que son éstos los que hacen referencia a las restricciones de longitud constante de

las bielas. El valor de cada multiplicador por dos veces la longitud de la biela respectiva,

representa la fuerza de tracción a la que está sometida esa biela. Con esta fuerza y

conociendo la sección de la biela, se pueden obtener los desplazamientos en las bielas. Así,

ya se puede conocer la sensibilidad de posición de la plataforma móvil.

Se muestran a continuación los resultados numéricos para la variación de la

posición de la plataforma superior, estando el manipulador detenido en la configuración

estacionaria de máxima altura.

�q = qb·�L = [-1.129,-1.129,-0.006,-1.129,-1.129,0.133,-1.129,-1.129,-0.386]T·10-7

Se observa que los resultados son del orden de 10-7, es decir, una diezmilésima de

milímetro. Sumando estas variaciones a las coordenadas, se conoce la posición real del

mecanismo, con una precisión más que aceptable.

Realizando el mismo cálculo para el manipulador detenido en las distintas

configuraciones estacionarias, se observa que la sensibilidad de posición de la plataforma

móvil depende de las fuerzas aplicadas en la plataforma superior y de la posición de la

misma dentro del espacio de trabajo. Se deduce que la aplicación de las mismas fuerzas,

produce distintas variaciones en la posición de la plataforma superior para distintas

configuraciones estacionarias, y asimismo, cada configuración estacionaria tendrá mayor

sensibilidad a la aplicación de fuerzas en unas determinadas direcciones y puntos de

aplicación.

5.3. Sensibilidad de velocidad

Paralelamente a como sucedía con la sensibilidad de posición, la sensibilidad de las

velocidades establece la variación de las mismas en función de la variación de los

parámetros de diseño. Se calcula derivando respecto del tiempo la ecuación que permitía

conocer la sensibilidad de posición.

0q·q· bbqbq ��






donde q�� y b�� son las derivadas respecto del tiempo de las matrices �q y �b

antes vistas, y bq� es la sensibilidad de las velocidades respecto de los parámetros de

diseño, que será de la forma:

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

6

161

5

161

4

161

3

161

2

161

1

161

6

161

5

161

4

161

3

161

2

161

1

161

6

161

5

161

4

161

3

161

2

161

1

161

6

145

5

145

4

145

3

145

2

145

1

145

6

145

5

145

4

145

3

145

2

145

1

145

6

145

5

145

4

145

3

145

2

145

1

145

6

123

5

123

4

123

3

123

2

123

1

123

6

123

5

123

4

123

3

123

2

123

1

123

6

123

5

123

4

123

3

123

2

123

1

123

b

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Lz

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Ly

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

q

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

Para la resolución del sistema, nótese que b�� será nula. Como en el caso anterior,

multiplicando esta matriz por las variaciones de las longitudes de las bielas, se obtiene el

vector de la variación de las velocidades.

Se resuelve este problema para una posición cualquiera y con velocidades angulares

de 1 rad/s en todas las manivelas, con el fin de ver cual es orden de magnitud de las

variaciones en las velocidades de las plataformas. Se muestran a continuación los ángulos

en las manivelas y las variaciones en la velocidad:

� = [0.314, 0.314, 0.314, 1.256, 1.256, 1.256]

q�� = [-1.732, 2.991, -3.201, -4.173, 4.766, -0.192, -2.788, 3.935, -2.052]·10-8

La variación de la velocidad es del orden de 10-8, para las coordenadas de mayor

variación. No obstante, se considera necesario realizar el mismo cálculo para velocidades






mayores. Así, se repite el cálculo para velocidades angulares 10 veces mayores, es decir,

de 10 rad/s, estando el manipulador paralelo en la misma posición, obteniéndose:

q�� = [-2.553, 1.304, -2.726, -5.354, 2.558, -0.501, -3.596, 1.766, -3.567]·10-5

El orden de magnitud de la variación de velocidad ha aumentado

considerablemente, es alrededor de 1.000 veces mayor. Nótese que la coordenada de

mayor valor absoluto para una velocidad angular de 10 rad/s en las manivelas, no coincide

con la de mayor valor absoluto para 10 rad/s. Se deduce pues, que ante un aumento de

todas las velocidades angulares de las manivelas en la misma proporción, las variaciones

en las posiciones de las plataformas no han seguido una misma proporcionalidad.

Para las velocidades que se pretenden aplicar al manipulador paralelo yendo de una

configuración estacionaria a otra, se tendrán velocidades menores de 5 rad/s, por lo que la

sensibilidad de velocidad será del orden de 10-6, con lo que se tendrá una precisión de

milésimas de mm/s en las velocidades de los vértices de la plataforma, precisión que se

puede considerar aceptable.

5.4. Sensibilidad de aceleración

La sensibilidad de las aceleraciones determina las aceleraciones en función de las

variaciones de las longitudes de las bielas. El cálculo se realiza derivando las ecuaciones

de sensibilidad de velocidad con respecto del tiempo, obteniéndose:

0q·q··2q· bbqbqbq ��

donde q�� y b�� son derivadas respecto del tiempo de matrices anteriormente

citadas, y bq�� es la sensibilidad de las aceleraciones con respecto de los parámetros de

diseño, con la forma:






��

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q

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Resolviendo el sistema se obtienen los valores de esta matriz, la cual multiplicada

por la variación en las longitudes de las bielas, permite conocer las variaciones en las

aceleraciones.

Para las condiciones en que se pretende trabajar, las aceleraciones se han

considerado nulas, hecho que aunque no deja de ser una idealización, simplifica

significativamente los cálculos permitiendo obtener resultados cercanos a los reales. Aun

así, estas aceleraciones nulas no llevan a anular los términos de la matriz bq�� , con lo que se

tendrán variaciones en la aceleraciones. Para la misma posición que se ha usado en la

sensibilidad de posición, con velocidades en las manivelas de 1 rad/s y aceleraciones nulas,

se tiene:

q�� = [-0.249, 0.403, -1.864, -2.158, -0.303, 0.115, -2.253, 0.823, -1.675]·10-8

El orden de magnitud de las variaciones de la aceleración es de 10-8, resultado que

indica una escasa pérdida de precisión. Aumentando a 10 rad/s la velocidad se tienen los

siguientes resultados:

q�� = [-4.750, -0.917, -2.089, -5.973, -0.163, 0.519, -5.088, -0.688, -3.316]·10-4






Se observa que el orden de magnitud de las variaciones de la aceleración se ha

multiplicado por 10.000, lo cual supone las variaciones en la aceleración aumentan en

mayor medida que las variaciones en la aceleración, para una misma posición del

manipulador y partiendo de una aceleración nula. También para este caso, se aprecia que

no todas las variaciones han aumentado proporcionalmente.

Para las condiciones que se pretenden aplicar al manipulador, se tendrá una

velocidad menor de 5 rad/s. Realizando el mismo cálculo para estas velocidades, se tienen

unas variaciones del orden de 10-5, que será una desviación del valor real de centésimas de

mm/s2.

Por último, se repite el cálculo para la misma situación pero con una aceleración

angular en las manivelas de 1 rad/s2, y se obtienen resultados del mismo orden de magnitud

que para el caso en que las aceleraciones angulares de las manivelas eran nulas.






6. DISEÑO DEL MANIPULADOR PARALELO

6.1. Introducción

Hasta ahora, se han hecho diferentes estudios para poder conocer el

comportamiento del manipulador paralelo que se desea construir. En esos estudios, se han

obtenido distintos parámetros que serán necesarios a la hora del diseño. En adelante, se

estudiará cómo realizar el diseño ajustándose a esos parámetros.

Para realizar el diseño de cualquier mecanismo, se deben tener en cuenta

numerosos factores, además de los parámetros de diseño. No sólo se debe considerar la

forma final del mecanismo, sino también el modo en que se construirá cada pieza, el

material de la misma y si realmente será posible el ensamblaje de esa pieza con el resto.

6.2. Motores

En el manipulador son necesarios seis motores fijados firmemente a la plataforma

fija. Dichos motores deben ser eléctricos y asíncronos. El modelo del que se dispone es un

AC G0170-4/01-3 de la casa Eurotherm. Puede proporcionar un par máximo de 1.7 N·m y

su velocidad máxima de giro es de 4000 r.p.m. Tiene un potenciómetro con el fin de poder

regular la velocidad de giro. Se muestra a continuación una foto con los diferentes motores

AC G de Eurotherm:

Figura 6.2.1: Servomotores AC G de la casa Eurotherm






El eje de salida del motor debe acoplarse a un reductor, puesto que no interesan

velocidades tan altas como las que proporciona el motor. Además, la adición de un

reductor permite al motor dar un par mayor. La relación de reducción será de 1:30.

Tal como se ha dicho anteriormente, los motores se encuentran fijados firmemente

a la plataforma fija. Es muy importante una buena fijación con el fin de evitar vibraciones

que creen problemas de precisión. Las fijaciones de los motores permiten que la manivela,

dé vueltas completas sin chocar con ningún obstáculo a fin de no dificultar la movilidad

del manipulador.

6.3. Reductores

Como ya se ha dicho, se necesitan unos reductores para adaptar la velocidad de los

motores a las necesidades del proyecto. Se buscan pues unos reductores en la casa

Eurotherm, que sean compatibles con el motor. Se elegirá uno de la gama PG AL, que se

muestra en la siguiente imagen.

Figura 6.3.1: Reductor PG AL de la casa Eurotherm

Dentro de la gama de reductores PG AL, existen diferentes modelos de diversas

dimensiones y características, en función de la reducción deseada y de las dimensiones del

motor al que se acoplará. Se elige el PG AL 07 030 2-S, de dimensiones adecuadas para el

motor. El motor quedara fijado al reductor mediante cuatro tornillos.

Aun así, el diámetro del eje del motor es menor que el del orificio del reductor en el

que debe entrar. Por tanto, es necesario un casquillo para ajustar el eje del motor.

Casquillo para la introducción del motor en el reductor

Este casquillo, deberá tener un diámetro interior coincidente con el diámetro del eje

del motor, y un diámetro exterior coincidente con el del orificio que tiene el reductor.






El casquillo deberá tener una chaveta interior para recibir el movimiento del eje del

motor. En principio, se pensó en hacer una ranura en el interior del casquillo para poder

introducir el eje, pero esta solución debilitaba en exceso el casquillo. Así, y puesto que la

chaveta del eje del motor se puede extraer, se decide que sea el casquillo el que tenga un

chaveta en su interior y se ensamble a la ranura que quedará en el eje del motor al extraer

la chaveta.

Para el ensamblaje al reductor, el casquillo tendrá una chaveta exterior. Así, una

vez colocado este casquillo en el eje del motor, éste tendrá la forma y dimensión necesaria

para un buen ensamblaje con el reductor.

6.4. Manivelas

La manivela debe ir acoplada al reductor por una parte, y a la biela por otra. Para el

acoplamiento al reductor, debe tener un orificio para introducir en él el eje. Este orificio

debe ser pasante; por un lado de la manivela debe quedar el reductor, y por el otro se debe

introducir un tornillo con una arandela para fijar la manivela al reductor. Es de vital

importancia una buena fijación de la manivela al reductor para obtener una buena precisión

en el posicionamiento de la plataforma móvil.

Para el acoplamiento a la biela se utilizará una junta Cardan, ya que debe haber dos

grados de libertad entre ambas. Para proporcionar estos dos grados de libertad a la junta, se

colocarán rodamientos de la casa SKF.

En el diseño de una manivela que cumpla lo descrito, se plantean dos posibilidades:

- Manivela excéntrica: La manivela sería un cilindro, con una perforación en su

base a 5 cm del centro para la introducción del eje del reductor. Acoplados a ella, irían los

rodamientos que la unirían a la biela.

- Disco con un cilindro en voladizo: En este caso, el disco tendría una perforación

para la introducción del eje, y 50 mm de ella, saldría el cilindro en voladizo al cual irían

acoplados los rodamientos.

Para hacer una elección se deben tener en cuenta las características de cada una de

las posibles configuraciones. En el caso de la manivela excéntrica, ésta debe tener un radio

de al menos 80 mm, ya que a 50 mm su centro debe haber una perforación para la

introducción del eje, y se debe dar cierta robustez a la pieza. Así, los rodamientos






necesarios deben tener un radio interior de 80 mm. Consultando el catálogo, se observa que

los rodamientos de este tamaño tienen un espesor de 48 mm. Ahora bien, es necesaria la

colocación de dos rodamientos en serie, para tener un ajuste que dé mayor precisión. Por

tanto, el cilindro debería tener una longitud de más de 100 mm, con lo que invadiría el

espacio de la manivela opuesta, ya que la distancia existente entre el punto 01 y el 02 es de

100 mm.

Figura 6.4.1: Interferencia física entre manivelas excéntricas

En la figura anterior, se ha representado con trazo continuo una de las manivelas

excéntricas, y con trazo discontinuo la otra. Se puede apreciar como una invade el espacio

de la otra, con lo que la manivela excentrica se considera inviable. Por tanto, se elegirá el

modo de disco con cilindro en voladizo.

El cilindro en voladizo se hará hueco para rebajar su peso. Sobre él, se deben

colocar los rodamientos, y junto con ellos irán unas tuercas que ejerzan presión sobre ellos,

como se verá más adelante. Así, será necesario roscar cierta longitud del cilindro. En esta

zona roscada, también habrá que hacer un rebaje para la colocación de la arandela que se

debe situar entre el rodamiento y la tuerca.

Para terminar de concretar la forma de la pieza, se debe estudiar el modo en que se

ajusta al reductor. Ya se ha comentado que el reductor tiene un orificio para ajustar la

manivela, pero no se ha tenido en cuenta que el reductor irá atornillado por la cara del eje a

una placa perteneciente a la plataforma fija, como se verá más adelante. Así, la parte de la

manivela que está pegada al reductor, quedará en el interior de la placa antes mencionada,

con lo que hará falta un rebaje en la manivela, como se muestra en la siguiente figura, en la

que se ha representado en verde el reductor, en azul la plataforma inferior, y en magenta la

manivela:






Figura 6.4.2: Acoplamiento entre reductor, plataforma fija y manivela

6.5. Junta biela-manivela

Antes de pensar en el diseño de la biela, se debe conocer el modo en el que ésta irá

acoplada a la manivela. Se ha comentado anteriormente que se colocarán rodamientos

entre ambos elementos, pero se debe concretar el modo en el que estos rodamientos irán

colocados para permitir el giro en dos direcciones.

Se hace necesaria una pieza a colocar entre biela y manivela, para poder permitir

esos dos grados de libertad. Esta pieza, será un casquillo ajustado interiormente a los

rodamientos colocados en la manivela, y a cuya parte exterior se puedan acoplar otros

rodamientos, a los cuales se ensamble la biela. Dicho casquillo, deberá tener la siguiente

forma:

Figura 6.5.1: Forma del casquillo entre biela y manivela

En el hueco interior deberá tener colocados los rodamientos que están ajustados a la

manivela, y en los dos brazos exteriores se le acoplarán los rodamientos a los que irá

ensamblada la biela.






Antes de dimensionar este casquillo se analizarán los rodamientos que se van a

utilizar.

6.5.1. Rodamientos

Un rodamiento es un elemento que se sitúa entre dos piezas con un eje común, de

manera que pueda girar una respecto a la otra. El rodamiento sustituye el posible

deslizamiento entre los dos elementos por rodadura. En este caso la potencia absorbida por

la rodadura es mucho menor de la que se absorbería por deslizamiento.

Un rodamiento está formado básicamente por cuatro elementos: un aro interior, un

aro exterior, los elementos rodantes y la jaula. El aro exterior y el interior son los

elementos que se fijan solidariamente a los dos elementos que acopla el rodamiento. En

algunos casos se pueden sustituir los aros por un alojamiento sobre la pieza en cuestión

convenientemente mecanizado. Los dos aros tienen unas gargantas, denominadas caminos

de rodadura, por donde rodarán los elementos rodantes (bolas, rodillos o agujas). Estos

elementos rodantes girarán sobre su propio eje produciéndose una rodadura sobre los

caminos de rodadura de los rodamientos, permitiendo el giro relativo entre los dos aros y,

en definitiva, la de las dos piezas que unen. Por último, la jaula es un componente que

agrupa a todos los elementos rodantes, manteniendo su posición relativa, evitando que los

elementos rodantes se desmonten, pero permitiendo el giro y, por consiguiente, la rodadura

de estos elementos.

Los tipos de rodamientos que existen son los siguientes:

- De bolas.

- De rodillos (cilíndricos, esféricos, cónicos, de agujas,...)

La principal causa de elección entre unos y otros es la dirección de la carga a la

que están sometidos. Esta carga podrá ser radial o axial.

A continuación se explican detalladamente los tipos de rodamientos más frecuentes

para posteriormente seleccionar el tipo de rodamiento conveniente.

Rodamientos rígidos de bolas

Este tipo de rodamientos es de uso general, ya que pueden absorber carga radial y

axial en ambos sentidos, así como las fuerzas resultantes de estas cargas combinadas; a su

vez, pueden operar a elevadas velocidades.






Figura 6.5.1.1: Rodamientos rígidos de bolas

Estos rodamientos no son desmontables ni autoalineables, por lo que requieren una

perfecta alineación del asiento del soporte.

Existen varios tipos de estos rodamientos: rodamientos rígidos de bolas

desmontables, rodamientos rígidos de bolas con ranura circunferencial en el anillo exterior

para poder fijarlos axialmente mediante arandelas de retención, rodamientos rígidos de

bolas con agujero cónico, rodamientos rígidos de dos hileras de bolas, etc.

Se fabrican rodamientos prelubricados con tapas de obturación que impiden la

entrada de elementos extraños y previenen la salida de grasa. El sello de estos rodamientos

consiste en un anillo de caucho sintético moldeado a una pletina de acero, incorporado al

anillo exterior. Hay dos tipos de rodamientos sellados: uno usa sellos de contacto con el

anillo interior, presentando una excelente y efectiva protección contra la entrada de polvo;

y el otro usa sellos de no-contacto con el anillo interior, siendo apropiado en las

aplicaciones que requieren un bajo par de operación.

También se fabrican rodamientos de bolas de máxima capacidad con ranuras de

llenado en los anillos interior y exterior. Estos rodamientos disponen de más bolas de acero

que los tipos estándar, presentando una capacidad de carga dinámica entre un 20% y un

35% mayor. Debido a las ranuras de llenado, no son apropiados para aplicaciones con

cargas axiales pesadas, si no, únicamente, en aplicaciones donde la carga radial es

predominante o única.

Rodamientos de bolas con contacto angular

En este tipo de rodamientos, la línea que une los puntos de contacto de las bolas de

acero con los anillos interior y exterior, forma un ángulo con la línea que define la

dirección radial, llamado ángulo de contacto. Este ángulo es de 30º , aunque existen






rodamientos que tienen un ángulo de contacto de 40º y otros de 15º (estos últimos para

elevadas velocidades).

Figura 6.5.1.2: Perfil de los rodamientos de bolas con contacto angular

En adición a las cargas radiales, pueden soportar grandes cargas axiales en un

sentido; en consecuencia, se suelen disponer dos a dos en posición simétrica para soportar

cargas axiales en los dos sentidos (apareado espalda a espalda, o apareado cara a cara);

también se pueden disponer en montaje apareado en serie (tándem) para cargas radiales y

axiales elevadas en un solo sentido.

Figura 6.5.1.3: Disposiciones de los rodamientos de bolas con contacto angular

Existen rodamientos de doble hilera de bolas con contacto angular y rodamientos de

una hilera de bolas con cuatro puntos de contacto, capaces de absorber cargas axiales en

ambos sentidos. Los rodamientos de doble hilera de bolas con contacto angular equivalen a






dos rodamientos de una hilera de bolas con contacto angular en un montaje apareado

espalda a espalda, de tal forma, que los anillos interior y exterior, son respectivamente

formados cada uno, en una sola pieza. Se pueden fabricar con o sin ranuras de llenado; este

último tipo, a su vez, se puede fabricar con tapa de obturación.

Elección de rodamientos

Se han elegido rodamientos de bolas con contacto angular en disposición espalda

con espalda, para poder soportar cargas axiales en los dos sentidos. Se elige esta

disposición tanto para los rodamientos situados sobre la manivela, como para aquellos que

van ubicados en los brazos del casquillo anteriormente visto.

Para el caso de los rodamientos situados en la manivela, se cogerá el modelo 7214

BE de la casa SKF, de 70 mm de diámetro interior. Estos rodamientos tendrán una

arandela colocada entre ellos, para evitar que entren en contacto. Esta arandela, será

diámetro exterior igual al de los rodamientos. Los rodamientos serán presionados por una

tuerca de fijación en su parte inferior por un lado, y por un canto con el que harán tope por

otro. La tuerca y su correspondiente arandela, se obtendrán también de la casa SKF, y

tienen las referencias KM 14 y MB 14 respectivamente. Por otro lado, el canto antes

mencionado se lo tendrá que proporcionar la manivela.

Para los rodamientos de los brazos del casquillo, se elige el modelo 7204 BE, con

un diámetro interior de 20 mm. Como en el caso anterior, estos rodamientos también

necesitarán sus correspondientes tuercas y arandelas, que tienen las referencias KM 4 y

MB 4 respectivamente. En esta ocasión, el canto se lo deberá proporcionar la biela.

Los rodamientos son elementos que proporcionan un grado de libertad entre dos

cuerpos. La rodadura que se permite entre los dos cuerpos, debe absorber la menor energía

posible, y para ello el rozamiento debe ser mínimo. De este modo, se debe evitar que se

cuele en los rodamientos cualquier tipo de suciedad, polvo, etc., hecho que se tendrá en

cuenta en el diseño del casquillo.

6.5.2. Casquillo

El casquillo, tendrá un diámetro interior de 70 mm, como ha quedado definido

anteriormente. Sin embargo, como ya se ha comentado anteriormente, para una buena

fijación de los rodamientos es necesario que hagan tope en el casquillo, al mismo tiempo






que son apretados por el tornillo anteriormente citado. Así pues, en uno de los costados el

radio interior deberá disminuir.

Además del citado canto, el casquillo no debe permitir la entrada de suciedad en el

rodamiento. Para evitarlo, se adoptan dos soluciones diferentes, una para cada costado.

Para la parte interior, la más cercana al disco de la manivela, se piensa en una junta

tórica que esté en contacto tanto con la manivela como con el casquillo. La juntas tóricas

se elegirán de los catálogos de la casa Epidor. Para colocar la junta tórica en el casquillo,

se deberá mecanizar su parte interior de modo que la junta se ajuste.

Como habrá un movimiento relativo entre ambos, se deberá rectificar la

correspondiente parte de la superficie de la manivela, para un mejor desliz. Por supuesto, a

la hora de la utilización del manipulador, esta parte se deberá lubricar adecuadamente.

Para la parte exterior, que coincidirá con el final del voladizo de la manivela, se

utilizará un tapa que irá atornillada al casquillo. La tapa será una sencilla chapa de

aluminio de forma circular, con cuatro orificios por los que pasarán los tornillos. Esta tapa

no debe tocar la manivela, puesto que gira respecto a ésta.

Para que el casquillo no se pueda mover respecto de los rodamientos, ya se ha dicho

que el casquillo tendrá un canto por un lado, pero no se ha mencionado la solución

adoptada para el otro lado. Para este lado, se colocará un casquillo que vaya desde la tapa

hasta el rodamiento, y cuyo diámetro exterior coincida con el diámetro exterior de los

rodamientos.

En la parte exterior del casquillo, se debe tener en cuenta que en los brazos en los

que serán colocados los rodamientos, éstos serán presionados por unos tornillos, por lo que

será necesario roscar esa parte de los brazos. En esta rosca, se hará un rebaje, para una

buena fijación de la arandela que se situará entre el rodamiento y la tuerca.

En este caso, sólo será necesario un rodamiento en cada brazo, pero éstos estarán

puestos en disposición espalda con espalda, ya que será la propia biela la que asegurará el

apriete entre los rodamientos de ambos lados y sus respectivas tuercas.

6.6. Bielas

Ya se ha definido la junta mediante la cual estarán ensambladas la biela y la

manivela, así que se sabe la forma que debe tomar un extremo de la biela. Esta, estará






formada por dos piezas, una herradura que será la que la una a la manivela, y una barra que

se alargue hasta la junta esférica que une la biela con la plataforma superior.

6.6.1. Barra

Para la construcción de la barra, se debe tener en cuenta ángulo mínimo que forma

la biela con el plano horizontal, puesto que puede haber interferencia física entre la biela y

el motor. Por ello, la solución en que se piensa es la de una barra con un codo que evite

dicha interferencia física, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.6.1.1: Barra con codo que evita interferencia física

El ángulo del codo de la biela será de 150º. El problema de este diseño puede ser la

flexión en el codo. Para comprobar si esto será un problema, se calcula el desplazamiento

del extremo superior respecto de su posición teórica. Para ello, se utilizará el Método de

los teoremas de Mohr.

Primer teorema:

�z(S2) - �z(S1) = �2S

1S z

z dxI·E

M






Segundo teorema:

uy(S2) – uy(S1) = �z(S1)·dS2S1 + �2S

1S z

z dxI·E

M

Estos teoremas se utilizan para desplazamientos en barras rectas, por lo que en este

caso, habrá que aplicarlos dos veces. Se tendrá en cuenta que el desplazamiento medido en

la primera parte de la barra, estará en un sistema de referencia distinto al de la segunda,

con lo que habrá que hacer un cambio de coordenadas con las medidas obtenidas en la

primera aplicación de los teoremas de Mohr.

Se aplican los teoremas de Mohr, para distintos diámetros interior y exterior de la

biela, y se obtiene el error que se comete para la máxima fuerza estática, 170 N. Se

muestran a continuación los resultados de dicho cálculo:

Rext (mm) Rint (mm) Desplazamiento (mm)2 1 0,125 15 0,04530 20 0,023

Nótese que se han utilizado secciones huecas, para que no haya excesivo peso.

De los resultados se deduce que es necesario un diámetro demasiado grande para

llegar a una precisión satisfactoria.

Por tanto, se reconsidera la opción elegida, y se decide que es más apropiado

construir una biela recta.

Para realizar el estudio que calcula los desplazamientos en una biela recta sometida

a tracción, no son necesarios los teoremas de Mohr, bastará con aplicar la Ley de Hooke,

según la cual para la zona de deformación plástica de un material, la deformación del

material será proporcional al esfuerzo al que está sometida, como describe la siguiente

ecuación:

� = E·�






donde � = F/A es el esfuerzo en la sección de la biela, y � = �L/L la deformación

unitaria que sufre la biela. La constante E, es el Módulo de Young, que para el acero tiene

el valor E = 211 GPa.

Aplicándolo al caso objeto del presente proyecto, se obtiene que para una biela de

30 mm de diámetro exterior y 20 mm de diámetro interior, el desplazamiento es de 1·10-3

mm, es decir, solamente una milésima de milímetro. Este resultado es favorable, pero se

deberá resolver el problema de la interferencia física con la manivela y el motor. Para

resolver dicho problema, se deberá dar a la herradura las dimensiones adecuadas.

Desde el inicio de este proyecto, se ha considerado que la biela tenía una longitud

de 60 cm. Sin embargo, esta sería la medida para un prototipo idealizado. Concretamente,

ésta sería la medida que debiera tener la biela en el caso de que su extremo superior

coincidiera con el de otra biela y con uno de los vértices de la plataforma móvil en un

punto. Puesto que esto no es físicamente posible, se diseñará la biela más corta, de modo

que la prolongación de su eje coincida en un punto con el de otra biela.

Así, los tres puntos formados por las intersecciones de cada par de ejes de bielas

formarán un triángulo de 0.5 m de lado, en la posición de volquete en la que el mecanismo

está totalmente estirado.

Figura 6.6.1.2: Manipulador paralelo totalmente estirado

Para calcular la verdadera longitud de la barra, no sólo habrá que tener en cuenta el

hecho recientemente citado, sino también las dimensiones de la junta esférica, así como las

de la herradura.






6.6.2. Herradura

La función de la herradura es permitir el giro relativo entre el casquillo

recientemente definido y la biela. La herradura, irá acoplada a los rodamientos colocados

en los brazos del casquillo. En la siguiente figura se representa la forma que deberá tener

esta herradura.

Figura 6.6.2.1: Forma de la herradura

Los rodamientos irán ensamblados en los cilindros que hay soldados en ambos

extremos de la herradura. Por tanto, dichos cilindros tendrán un diámetro interior de 80

mm. Como se ha dicho anteriormente, la herradura debe ejercer de tope en la presión que

los tornillos ejercen sobre los rodamientos, por lo que en uno de los costados de los

cilindros, el diámetro interior deberá disminuir.

Para evitar la entrada de suciedad en los rodamientos, se utilizarán los mismos

métodos descritos para los rodamientos de la manivela.

La herradura será de sección circular, lo suficientemente robusta para asegurar su

rigidez. Para conocer las medidas de su arco, se deberá considerar el ángulo mínimo al que

llega la biela, y se deberá asegurar que en esta posición la biela no interfiere físicamente

con el reductor.

La anchura de la biela viene dada por el casquillo previamente definido. Con esta

anchura, el arco deberá ser de al menos 160 mm de diámetro. Sabiendo que el ángulo

mínimo es de cerca de 57º, se comprueba que este diámetro es suficiente para asegurar que

no haya interferencia física entre la biela y la manivela.






La biela hasta ahora definida, da un buen comportamiento, pero su montaje en el

casquillo resulta imposible. No es posible alojar en su interior una pieza de mayor anchura,

como se puede apreciar en al siguiente figura:

Figura 6.6.2.2: Imposibilidad de acoplamiento

Para resolver este problema, se decide diseñar la herradura en tres piezas. La pieza

principal será la herradura con medio cilindro soldado en cada extremo. Harán falta otros

dos semicilindros que irán atornillados a la pieza principal una vez colocado el casquillo

con los rodamientos y demás complementos. En el proceso de fabricación de esta pieza, se

deberán atornillar los semicilindros a la herradura para mecanizar el interior en el que irán

los rodamientos.

6.6.3. Acoplamiento barra-herradura

El acoplamiento entre la barra y la herradura, se hará mediante una rosca de métrica

12. Puesto que la barra será hueca, es lógico tomarla como hembra de la unión roscada.

Este hueco, tendrá un diámetro de 20 mm, por lo que será necesario soldar una tuerca en el

extremo de la barra.

Al macho, que se colocará en la herradura, se le dará una longitud mayor de la

estrictamente necesaria, para poder regular la longitud de las bielas en caso de que esto sea

necesario. Además, será necesario introducir una tuerca en dicho macho, para que,

presionando la tuerca contra la barra, se logre una buena fijación de la barra.

6.7. Junta esférica

Entre la biela y la plataforma superior, se desea colocar una junta que permita tres

grados de libertad. Para ello, se utilizará una rótula o junta esférica, la cual se elegirá de la

casa Hephaist.






Figura 6.7.1: Junta esférica de la casa Hephaist

Para permitir el giro en los tres ejes, la rótula está rodeada por una jaula esférica,

concéntrica a la rótula, de pequeño espesor con orificios uniformemente repartidos en los

que se alojan las bolas. La pista exterior o cavidad que alberga a la rótula y la jaula

consiste en una cavidad esférica concéntrica a la rótula y a la jaula con un bajo nivel de

rugosidad.

Este tipo de unión esférica tiene un funcionamiento superior respecto a los tipos

convencionales de rótulas esféricas en cuanto a precisión y rigidez. El movimiento

oscilante de la rótula posee una baja fricción gracias a la rodadura de las bolas de bolas.

De entre los tamaños existentes, se elegirá la menor de las que aguanten las cargas

exigidas. Las características de los diferentes modelos se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 6.7.1: Características de las juntas esféricas

Las medidas de esta tabla, se corresponden con la siguiente figura:






Figura 6.7.2: Medidas correspondientes con la tabla 6.7.1

Con los datos de los cálculos realizados en la sección 3.3, se elige el modelo

SRJ016C, de 56 mm de diámetro exterior y 370 g de peso.

Nótese que será necesario tener en cuenta las longitudes E y F a la hora determinar

la longitud de la biela, mientras que el diámetro A se utilizará para el diseño de la

plataforma superior. Será necesario también un rebaje en la superficie sobre la que se vaya

a ubicar la rótula. Dicho rebaje será circular de diámetro M.

6.8. Plataforma móvil

La plataforma superior será de forma triangular, y se tratará de diseñarla de manera

que tenga el menor peso posible, con lo que el material elegido para su fabricación será el

aluminio.

Se tenía dimensionada a priori como un triángulo de medio metro de lado, pero

estas dimensiones estaban sujetas a ciertas idealidades ya comentadas. Se sabe ahora que el

triángulo de medio metro de lado será el formado por las prolongaciones de los ejes de las

bielas. Así, el triángulo que definirá la plataforma será el formado por los ejes que unan los

centros de las rótulas. Este triángulo, quedará definido de forma que la distancia entre los

centros de las rótulas pertenecientes a un mismo vértice sea mínima, evitando eso sí la

interferencia física entre ellas. Así, esta distancia será de 58 mm, de modo que queden 2

mm entre las rótulas, tal y como se muestra en la figura:






Figura 6.8.1: Separación entre rótulas

Se hará un rebaje de un milímetro en la superficie inferior de la plataforma, para un

mejor ensamblaje de las rótulas. También se deben hacer los cuatro agujeros pasantes para

atornillar la rótula a la plataforma, como se aprecia en la figura.

La rótula, como ya se ha mencionado en el apartado anterior, necesita otro rebaje

circular, el cual le dará la movilidad. Este rebaje será de 25 mm de diámetro, y tendrá un

profundidad de 4 mm respecto del anterior rebaje.

En cuanto al espesor de la plataforma, este será de 8 mm, medida que se considera

que dará una combinación adecuada entre resistencia y peso, ya que la plataforma pesará

en torno a 5 Kg.

Se redondean los vértices de la plataforma, para evitar tener un canto demasiado

cortante.

6.9. Plataforma fija

La plataforma sobre la que se asienta toda la estructura del manipulador estará

formada por tres vigas soldadas cuyos ejes formen un triángulo equilátero de un metro de

lado. El ala sobrante en los vértices del triángulo se eliminará. El perfil elegido será el

HEB 140.

En la parte exterior del ala superior de las vigas, irán soldadas las placas sobre las

que se fijarán los reductores. Estas placas serán rectangulares de 200x100 milímetros, y de

15 mm de espesor. Irán soldadas en posición vertical, perpendiculares al eje de la viga. Se

colocarán dos en cada viga, quedando la cara interior de cada una de ellas a 115 mm del

punto medio del lado del triángulo formado por las vigas.






Siendo la placa rectangular, puede que la biela pegue en la posición en la que tiene

ángulo mínimo, por lo que se le redondearán los vértices superiores del rectángulo.

Los reductores se atornillarán a las placas a una distancia de la viga, tal que cuando

la manivela esté en su posición más baja, esta no interfiera físicamente con la viga. Las

placas, tendrán un orificio de 52 mm de diámetro en el que irá encajado el reductor. Se

harán cuatro agujeros pasantes de 5 mm alrededor de dicho orificio, cada 90 grados, por

los que se introducirán los tornillos mediante los cuales se fijará el reductor a la placa.

Teniendo en cuenta que el motor y el reductor quedarán en voladizo, es conveniente

reforzar la placa para que ésta se mueva lo mínimo posible. El modo en que se reforzará

será colocando dos escuadras soldadas tanto a la placa en la que irán los motores como a la

viga. Sólo se podrán colocar en el lado exterior de la placa, puesto que en lado interior no

dejaría moverse a la manivela.

6.10. Manipulador paralelo

Tras el diseño de todas las piezas, el manipulador paralelo tomará la siguiente

forma:

Figura 6.10.1: Imagen del manipulador paralelo






6.11. Tolerancias dimensionales de las piezas.

La tolerancia de una pieza son los márgenes dentro de los cuales la pieza se

considera aceptable. Cuando las tolerancias afectan a las medidas a las medidas de una

pieza, se denominan tolerancias dimensionales. Cuando afectan a una forma o a la posición

de un elemento se denominan tolerancias geométricas.

En las tolerancias dimensionales se utilizan en general los términos de eje y agujero

cuando se trata de una pareja de elementos, uno macho y otro hembra, que encajan entre sí,

independientemente de la forma de la sección que tengan. El término de eje y agujero se

usa porque la gran mayoría de las uniones están formadas por elementos cilíndricos,

aunque los elementos pueden ser de revolución o no.

A la hora de fabricar piezas que forman parte de un mecanismo, no todas las

medidas tienen igual importancia, algunas de las medidas requerirán mayor precisión para

un buen funcionamiento del mecanismo, lo cual requiere una menor tolerancia.

Con el manipulador paralelo, se desea conseguir una elevada precisión en el

posicionamiento de la plataforma superior. Esto se debe tener en cuenta en la fabricación

de las piezas. Se detallan a continuación las cotas en las que se debe tener mayor precisión.

Plataforma fija: es necesaria gran precisión en la distancia entre las placas a las

que van acoplados los reductores.

Manivelas: el orificio en el que entrará el eje del reductor debe asegurar un buen

acoplamiento, así como el cilindro en el que se colocarán los rodamientos. También se

requiere gran precisión en la distancia entre el canto que hace tope con los rodamientos y la

zona que estará contacto con el reductor, y en la distancia entre el eje del reductor y el

cilindro en el que irán ensamblados los rodamientos.

Casquillo: tanto la parte que estará en contacto con el rodamiento interior, como

los diámetros de los dos brazos en los que irán los rodamientos exteriores. La distancia

entre la cara más cercana a la placa de la plataforma y el eje vertical de simetría de los

brazos también requerirá gran precisión.

Herradura: es importante una buena simetría de la herradura, teniendo que

precisar la distancia entre la cara donde estará apoyado cada rodamiento y el eje de






simetría. También el hueco donde se sitúa el rodamiento debe ser mecanizado con

precisión.

Plataforma móvil: se debe mantener la simetría triangular, atendiendo a la

distancia entre los ejes de los rebajes en los que encajarán las juntas esféricas.

6.12. Materiales a emplear

Los elementos que conforman la estructura del manipulador, dadas las condiciones

a las que están sometidos deben poseer una serie de características. Estas características, no

serán las mismas para todas las piezas, pero sí hay algunas que son comunes, como pueden

ser la resistencia a cargas axiales importantes, mínima deformación, densidad

relativamente baja y buena resistencia a la fatiga. El material utilizado habitualmente

cuando se desean estas características, es el acero, debido en parte a su buen precio.

6.12.1. Acero

El acero está formado principalmente por hierro y carbono, aunque también suele

estar aleado con otros metales y metaloides. Tanto la cantidad de carbono como las de los

distintos aleantes, darán al acero distintas propiedades mecánicas. También los diferentes

tratamientos térmicos que se le pueden aplicar harán variar las propiedades. Estas

variaciones en las propiedades mecánicas, serán debidas a cambios en la estructura

cristalina, tanto a deformaciones que puede sufrir la red en la que cristaliza, como al hecho

de poder cristalizar en distinto tipo de red.

Dependiendo de su composición, se pueden dividir los aceros en dos clases

fundamentales: aceros al carbono y aceros aleados. Se consideran aceros al carbono

aquellos que estando formados esencialmente por hierro y carbono, no superan ciertas

cantidades de otros elementos (fundamentalmente tendrán manganeso y silicio). Los aceros

aleados son los que contienen, además del carbono e impurezas, elementos de aleación

voluntaria, como cromo, níquel, molibdeno, vanadio, wolframio, etc.

Así, se tendrá una inmensa gama de aceros, de entre los cuales se elegirá el que

mejor se ajuste a los requerimientos mecánicos y económicos de este proyecto.






6.12.2. Clasificación de los aceros

Según el Centro Nacional de Investigaciones Metalúrgicas, que ordena los aceros

atendiendo a sus aplicaciones, estos son los distintos grupos de los que se dispone:

Serie F-1XXX: Aceros finos de construcción general.

Serie F-2XXX: Aceros para usos especiales.

Serie F-3XXX: Aceros resistentes a la oxidación y corrosión.

Serie F-4XXX: Aceros de emergencia.

Serie F-5XXX: Aceros para herramientas.

Serie F-6XXX: Aceros comunes.

Serie F-7XXX: Aceros para moldear.

Serie F-8XXX: Fundiciones.

Serie F-9XXX: Aleaciones férreas especiales.

Cada una de estas series se subdivide a su vez en grupos. Para el manipulador

paralelo, los aceros utilizados serán de la serie F-1000, aceros finos de construcción

general, cuyos subgrupos se describen a continuación:

6.12.2.1. F-11XX: Aceros al carbono

El grupo de aceros al carbono o de construcción, está formado por aceros cuyas

composiciones oscilan entre los siguientes límites:

Carbono: 0,10% - 0,80%

Silicio: 0,15% - 0,30%

Manganeso: 0,30% - 0,70%

Estos aceros están fabricados, en general, en horno eléctrico, garantizando su

composición entre límites muy estrechos y contenidos de azufre y fósforo en general

menores que 0,03%. La cantidad de carbono que contenga hará variar su soldabilidad,

siendo menor la de los aceros de mayor contenido en carbono. Al no contener aleantes,

será la cantidad de carbono la que determine la dureza de estos aceros, siendo más duros

cuanto más carbono contengan.

Principalmente existen 5 tipos de aceros, F-1110, F-1120, F-1130, F-1140, F-1150,

cuyos porcentajes medios de carbono son 0,15, 0,25, 0,35, 0,45 y 0,55%, respectivamente.






6.12.2.2. F-12XX y F-13XX: Aceros aleados de gran resistencia

Las características mecánicas de los aceros al carbono son siempre bajas en piezas

de cierto espesor y volumen, ya que tienen baja templabilidad. Para mejorarla, y mejor así

las características mecánicas, se les suelen añadir elementos aleados. Se consiguen así

aceros aleados con mayor tenacidad y mayor resistencia. Sin embargo, estas mejores

propiedades mecánicas se deben pagar, ya que estos aceros presentan precio más elevado.

Los aleantes influyen de muy diversas maneras en las propiedades de los aceros, sin

embargo, la mejora principal que se obtiene con los elementos de adición es el aumento en

la templabilidad, y por eso los elementos aleados que más se utilizan son los que

contribuyen a este fin.

Estos aceros se emplean principalmente para la construcción de piezas y elementos

de maquinas, motores, vehículos, etc. Se clasifican, atendiendo a su composición, de la

siguiente manera:

F-1210: Aceros al níquel.

F-1220, F-1230 y F-1320: Aceros al cromo-níquel.

F-1240 y F-1250: Aceros al cromo-molibdeno.

F-1310: Aceros al cromo-vanadio.

F-1260, F-1270, F-1280, F-1290 y F-1330: Aceros al cromo-níquel-molibdeno.

6.12.2.3. F-15XX y F-16XX: Aceros para cementar

Los aceros cementados, consiguen combinar una buena tenacidad con una gran

dureza superficial. Esta combinación es muy adecuada para piezas de maquinaria como

engranajes, etc. que deben tener la superficie muy dura para resistir al desgaste, y el núcleo

de los dientes muy tenaz para resistir los golpes que se puedan producir en alteraciones de

la máquina, como arranques y paradas bruscas.

Se pueden cementar tanto aceros al carbono como aceros aleados, mejorando su

dureza superficial sin alterar las características propias del acero base. El espesor mas

corriente de la capa cementada es de entre 0,50 y 1,50 mm, dependiendo del tamaño de la

pieza.

Los tipos de aceros que hay en este subgrupo son los siguientes:

F-1510: aceros al carbono.






F-1520: Aceros al níquel.

F-1530 y F-1540: Aceros al cromo-níquel.

F-1550: Aceros al cromo-molibdeno.

F-1560 y F-1570: Aceros al cromo-níquel-molibdeno.

F-1580 y F-1590: Aceros de baja aleación al cromo-níquel-molibdeno.

6.12.2.4. F-17XX: Aceros para nitrurar

La nitruración consiste en endurecer la superficie del acero por absorción de

nitrógeno en condiciones adecuadas. Los aceros nitrurados tienen una alta dureza

superficial, manteniéndose las características tenaces del núcleo.

Los aceros para nitrurar son siempre aleados con un contenido de carbono

comprendido entre 0,25 y 0,50%, según las características que se desean obtener en el

núcleo. Los elementos más utilizados de aleación son el aluminio, el molibdeno, el

vanadio, el cromo y el níquel.

Las principales aplicaciones de estos aceros nitrurados son la construcción de

maquinaria, motores, máquinas-herramientas, etc.

En este subgrupo se tienen los tipos F-1710, F-1720 y F-1730, que son aceros al

cromo-molibdeno-vanadio, y el F-1740, que es acero al aluminio-cromo-molibdeno.

6.12.3. Aceros elegidos

Se deben elegir materiales que ofrezcan una buenas propiedades mecánicas, como

son resistencia y tenacidad, además de una buena soldabilidad, puesto que algunas de ellas

estarán compuestas por dos partes soldadas.

6.12.3.1. Plataforma inferior

La plataforma inferior, estará formada por tres vigas HEB 140 soldadas entre sí.

Estas vigas, se suelen construir de acero al carbono. Se elige el acero F-1120, cuya

composición química es la siguiente:

Carbono: 0,20-0,30%

Manganeso: 0,50-0,80%

Silicio: 0,15-0,40%






Máximo residuo de azufre: 0,035%.

Máximo residuo de fósforo: 0,035%

Es un acero soldable y fácilmente deformable, cuya resistencia, normalizada, oscila

entre 48 y 55 Kg/mm2.

6.12.3.2. Resto de piezas

El resto de piezas, a excepción de la plataforma superior, se fabricarán de acero F-

1210, acero al níquel, con la siguiente composición:

Carbono: 0,25-0,35%

Manganeso: 0,40-0,70%

Silicio: 0,10-0,35%

Níquel: 2,25-3,50%

Máximo residuo de azufre: 0,04%

Máximo residuo de fósforo: 0,04%

La adición de níquel da a este acero una mayor dureza y una mayor tenacidad. Así,

se tendrá una resistencia de 80 a 100 Kg/mm2, superior a la del acero de la plataforma fija.

6.12.4. Material para la plataforma superior

Como ya se ha dicho anteriormente, la plataforma superior será de aluminio, a

diferencia del resto de las piezas. Esto se debe al hecho de ser la pieza de mayor volumen,

y por tanto la de mayor peso. Se considera el acero demasiado pesado, y por tanto se elige

el aluminio, material de peores propiedades mecánicas pero con una densidad tres veces

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