MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Departamento de Matemáticas. I.E.S. José Saramago.

EJEMPLOS PROBABILIDAD Ejemplo 1: describir los espacios maestrales de los experimentos lanzar dos dados equilibrados y anotar la suma de los resultados, y lanzar dos monedas.

Por lo tanto 𝐸 = {2, 3, 4, 5, … , 12} y consta de once casos o sucesos elementales.

En el experimento de lanzar dos monedas, el espacio muestral es 𝐸 = {(𝑐, 𝑐), (𝑐, +), (+, 𝑐), (+, +)} que consta de cuatro sucesos elementales. Ejemplo 2: se lanza un dado equilibrado 100 veces y se anotan los resultados obtenidos que son los siguientes: Resultados 1 2 3 4 5 6 Nº veces 20 10 15 13 30 12

Sean los sucesos A: “sale un dos” y B: “sale número impar”. Calcular las frecuencias. Frecuencias absolutas: 𝑓(𝐴) = 10 y 𝑓(𝐵) = 20 + 15 + 30 = 65. Frecuencias relativas: 𝑓 (𝐴) = = 0,1 y 𝑓 (𝐵) = = 0,65. Ejemplo 3: se lanzan dos dados. Sean A:” la suma de los resultados es par” y B: “los dos resultados son pares y su suma impar”. Calcular la probabilidad de ambos sucesos. 𝑃(𝐴) = = = 0,5.

𝑃(𝐵) = 0 , ya que la suma de dos números pares siempre es par. Ejemplo 4: En la experiencia aleatoria “lanzar un dado” consideramos los sucesos A=” número par” y B=” múltiplo de tres”.

a) Describir E, A, B, AUB, BA , A-B, B-A, A y B . 𝐸 = {1,2,3,4,5,6} 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4,6} 𝐵 − 𝐴 = {3}

𝐴 = {2,4,6} 𝐴 ∩ 𝐵 = {6} �̅� = {1,3,5}

𝐵 = {2,4,6} 𝐴 − 𝐵 = {2,4} 𝐵 = {1,2,4,5}

Observación: El libro de texto denota el complementario o contrario de A como A´. En general �̅� = 𝐴´ = 𝐴 .

b) Justifica gráficamente las dos leyes de De Morgan.

La demostración gráfica la podéis buscar en YouTube en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=6I7gqSN36oc Ahora comprobaremos las dos leyes con los datos del ejemplo.

+ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

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I. 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,5} �̅� ∩ 𝐵 = {1,3,5} ∩ {1,2,4,5} = {1,5}

II. 𝐴 ∩ 𝐵 = {1,2,3,4,5} �̅� ∪ 𝐵 = {1,3,5} ∪ {1,2,4,5} = {1,2,3,4,5}

Ejemplo 5: haremos estas demostraciones en clase. No obstante, si tenéis mucha curiosidad podéis mirarlo en este enlace de YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=6a0wa-2Ra8c

Ejemplo 6: sabiendo que 6,0)(y 2,0)( ;7,0)( BPBAPBAP , calcular )(AP .

𝑃(𝐵) = 1 − 0,6 = 0,4 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 0,7 = 𝑃(𝐴) + 0,4 − 0,2 ⇒ 𝑃(𝐴) = 0,5.

Ejemplo 7: Si 12

1)(

4

1)(,

3

1)( BAPyBPAP . Calcula:

a) 12

11

12

11)(1)()( BAPBAPBAP

b) .2

1

2

11)(1)( BAPBAP

Ya que 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = + − = .

Ejemplo 8: Supongamos que en una clase de 2º de Bachillerato hay hombres y mujeres de ojos azules o negros. La distribución de los individuos de dicha clase es la que se detalla en la siguiente tabla de contingencia: A N H 5 18 23 M 12 8 20 17 26 43

Se elige un individuo de esta clase al azar, calcula:

a) La probabilidad de que sea hombre y tenga ojos azules. 𝑃(𝐻 ∩ 𝐴) = =

b) La probabilidad de que sea hombre. 𝑃(𝐻) =

c) La probabilidad de que tenga los ojos azules sabiendo que es un hombre. 𝑃(𝐴 𝐻⁄ ) =

Con estos resultados justifica la fórmula de la probabilidad condicionada.

Se comprueba por tanto que = ∙ ⇒ 𝑃(𝐻 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐻) ∙ 𝑃(𝐴 𝐻⁄ ) ⇒ 𝑃(𝐴 𝐻⁄ ) =( ∩ )

( )

Ejemplo 9: Si 5

4)(

5

3)(,

2

1)( BAPyBPAP , demostrar que A y B son independientes.

Para que dos sucesos A y B sean independientes, ha de cumplirse que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵). Calculamos la probabilidad de la intersección: 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

⇒ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 310

Por otro lado 10

3

5

3

2

1)()( BPAP . De modo que A y B son independientes.

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Ejemplo 10: A y B son dos sucesos independientes tales que 9,0)(y 6,0)( BAPAP . Calcula la probabilidad de B. Como A y B son sucesos independientes: )(6,0)()()( BPBPAPBAP

Por otro lado 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 0,9 = 0,6 + 𝑃(𝐵) − 0,6 ∙ 𝑃(𝐵)

⇒ 0,3 = 0,4 ∙ 𝑃(𝐵) ⇒ 𝑃(𝐵) = = 0,75.

Ejemplo 11: de los 160 alumnos de bachillerato de un centro, 40 fuman (F), 30 beben habitualmente (B) y 20 fuman y beben.

a) Representa los datos en una tabla de contingencia

b) Si elegimos a uno de los alumnos al azar, calcula F) P(B/noy P(B/F) F),y P(B F), noy B P(no ),(BP

𝑃(𝐵) =30

160=

3

16𝑃(𝐵 ∩ 𝐹) =

110

160=

11

16𝑃(𝐵 ∩ 𝐹) =

20

160=

1

8

𝑃(𝐵 𝐹) =20

40=

1

2𝑃(𝐵 𝐹) =

10

120=

1

12

c) ¿Podemos decir que los sucesos F y B son independientes?

𝑃(𝐹 ∩ 𝐵) =1

8

d) Por otro lado 64

3

16

3

160

40)()( BPFP .

Como ≠ ⇒ F y B son sucesos dependientes (no son independientes).

Ejemplo 12: Lanzamos un dado y dos monedas. Calcula la probabilidad de obtener: En ambos casos el experimento está compuesto por etapas independientes.

a) Un uno y dos caras.

𝑃(1 𝑦 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠) = 𝑃({1}) ∙ 𝑃({𝐶}) ∙ 𝑃({𝐶}) =1

6∙

1

2∙

1

2=

1

24

b) Puntuación mayor que 4, una cara y una cruz. 𝑃(𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 4, 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧) =

= 𝑃({5,6}) ∙ 𝑃({𝐶}) ∙ 𝑃({+}) + 𝑃({5,6}) ∙ 𝑃({+}) ∙ 𝑃({𝐶}) = 2 ∙2

6∙

1

2∙

1

2=

1

6

Ejemplo 13: Tenemos un dado y dos urnas: URNA I con 3 bolas blancas (3b) y 2 negras (2n); URNA II con 1 b y 4 n. se lanza el dado: si sale 1 ó 2, sacamos una bola de la URNA I. Si sale 3, 4, 5 ó 6, sacamos una bola de la URNA II. Calcula las siguientes probabilidades: Representamos el experimento mediante un diagrama de árbol:

F 𝐹 B 20 10 30 𝐵 20 110 130 40 120 160

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1/3

2/3

3/5

2/5

1/5

4/5

3/5

2/5

2/6

4/6

1/6

5/6

a) 𝑃(𝑏 1⁄ ) =

b) 𝑃(1 ∩ 𝑏) = ∙ =

c) 𝑃(𝑏 6⁄ ) =

d) 𝑃(6 ∩ 𝑏) = ∙ =

Ejemplo 14: URNA I: 3b y 2n; URNA II: 1b y 4n. EXPERIENCIA: Extraemos una bola (1ª) de la primera urna, la echamos en la segunda urna y removemos. A continuación, extraemos una bola (2ª) de la segunda urna. De nuevo representamos la situación con un diagrama de árbol:

Calcula:

a) 𝑃(2º𝑛 1º𝑛) = b) 𝑃(1º𝑛 ∩ 2º𝑏) = ∙ =

c) 𝑃(2º𝑛 1º𝑏) = = d) 𝑃(1º𝑏 ∩ 2º𝑛) = ∙ =

Urna I: 3b2n

b: Urna II 2b4n

b

n

n: Urna II 1b5n

b

n

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0,8

0,2

0,8

0,2

0,9

0,1

Ejemplo 15: En las mismas condiciones que en el ejemplo 13, calcula la probabilidad de que la bola extraída sea blanca. Usaremos la fórmula de la probabilidad total (es decir, sumaremos dos ramas del árbol).

𝑃(𝑏) = 𝑃({1,2} ∩ 𝑏) + 𝑃({3,4,5,6} ∩ 𝑏) =2

6∙

3

5+

4

6∙

1

5=

6

30+

4

30=

10

30=

1

3

Ejemplo 16: En las mismas condiciones que en el ejemplo 14, calcula la probabilidad de que la segunda bola sea: a) blanca 𝑃(𝑏) = 𝑃(1º𝑏 ∩ 2º𝑏) + 𝑃(1º𝑛 ∩ 2º𝑏) = ∙ + ∙ = + = =

b) negra 𝑃(𝑛) = 𝑃(1º𝑏 ∩ 2º𝑛) + 𝑃(1º𝑛 ∩ 2º𝑛) = ∙ + ∙ = + = =

Se puede comprobar que 𝑃(𝑛) = 1 − 𝑃(𝑏). Es decir, b y n son sucesos complementarios. Ejemplo 17: Lanzamos un dado. Si sale 1 ó 2, extraemos una bola de la URNA I (3b, 2n) y en caso contrario, extraemos una bola de la URNA II (1b y 4n). Realizada la experiencia se ha obtenido bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que haya salido de la URNA I? Usaremos el diagrama del ejemplo 13. En este caso aplicaremos la fórmula de Bayes o de la probabilidad condicionada. Es importante destacar que la información que sabemos es acerca de lo que acabó sucediendo en la última etapa de la experiencia.

𝑃(𝑈𝑟𝑛𝑎 𝐼 𝑏) =𝑃(𝑈𝑟𝑛𝑎 𝐼 ∩ 𝑏)

𝑃(𝑏)=

13

∙35

13

=3

5

La probabilidad de blanca la hemos calculado en el ejemplo 15. Ejemplo 18: El despertador de Javier no funciona bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 0,2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es de 0,9. Representamos la situación con un diagrama de árbol donde S=” el despertador suena” y T=” Javier llega tarde a clase”.

a) Determinar la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador. b) La probabilidad de que llegue temprano a clase. c) Javier ha llegado tarde. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sonado su despertador?

ST

T

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a) 𝑃(𝑆 ∩ 𝑇) = 0,8 ∙ 0,2 = 0,16. b) 𝑃(𝑇) = 0,8 ∙ 0,8 + 0,2 ∙ 0,1 = 0,64 + 0,02 = 0,66.

c) 𝑃(𝑆 𝑇⁄ ) =( ∩ )

( )=

,

,≈ 0,47.

Ejemplo 19: En cierto instituto el 40% de los alumnos de Bachillerato son varones, el 30% usan gafas y el 15% son varones y usan gafas. Se selecciona un alumno al azar. Usamos una tabla de contingencia sobre un total de 100 individuos: H=” hombre”; M= “mujer”; G=” llevar gafas”.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? 𝑃(𝑀 ∩ 𝐺) = = 0,45.

b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea varón? 𝑃(𝐻 �̅�) = ≈ 0,36. Al tener la tabla, no es necesario escribir la fórmula de

Bayes.

H 𝑀 G 15 15 30 �̅� 25 45 70 40 60 100